1、离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望1 A, B A, B两人赌技相同，各押赌注两人赌技相同，各押赌注3232个金币，规定先胜三局者为个金币，规定先胜三局者为胜胜, ,赌博进行了一段时间，赌博进行了一段时间，A A赌徒已胜赌徒已胜2 2局，局，B B赌徒胜赌徒胜1 1局，发生局，发生意外，赌博中断。意外，赌博中断。A赌徒赌徒B赌徒赌徒实力相当实力相当两人该如何分这两人该如何分这6464金币？金币？21 1、有、有1212个西瓜，其中有个西瓜，其中有4 4个重个重5kg5kg，3 3个重个重6kg6kg，5 5个重个重7kg7kg，求西，求西瓜的平均质量。瓜的平均质量。).(1273
2、12573645kg解：西瓜的平均质量为解：西瓜的平均质量为1212个西瓜的总质量除以西瓜的总个数，个西瓜的总质量除以西瓜的总个数，即：即： 上式也可以写成：上式也可以写成：).(1273125712361245kg由上式可知，平均质量等于各个质量乘相应的比例再求和。由上式可知，平均质量等于各个质量乘相应的比例再求和。3问题问题1 1：混合后，每：混合后，每1kg1kg糖的平均价格为多少？糖的平均价格为多少？问题问题2 2：若在混合糖果中任取一粒糖果，用随机变量：若在混合糖果中任取一粒糖果，用随机变量 X X表示这颗糖果的单价（元表示这颗糖果的单价（元/kg/kg），写出），写出X X的的 分
3、布列。分布列。2 2、某商场要将单价分别为、某商场要将单价分别为1818元元/kg/kg，2424元元/kg/kg，3636元元/kg/kg的的3 3种糖果种糖果按按3 3：2 2：1 1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？612636362418PX)36(36)24(24)18(18XPXPXP合理价格：)/(23613662246318kg元平均价格为问题问题3: 3: 作为顾客，买了作为顾客，买了1kg1kg糖果要付糖果要付2323元，而顾客元，而顾客 买的这买的这1kg1kg糖果的真实价格一定是糖果的真实价格一定是2323元吗？元吗？4
4、一、离散型随机变量取值的均值一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：nniipxpxpxpxEX2211则称为随机变量X的均值或数学期望。P1xix2x1p2pipnxnpX它反映了离散型随机变量取值的它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均水平。5X1234Pa4141411 1、随机变量、随机变量X X的概率分布为：的概率分布为：求求X X的数学期望。的数学期望。2 2、A A、B B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现的次品的概率如下表所示：品时，出现的次品的概率如下表所示：次品数次品数X X0123P0.70.20.06 0
5、.04A A机床：机床：次品数次品数Y Y0123P0.80.06 0.04 0.1B B机床：机床：问：哪一台机床加工质量较好？问：哪一台机床加工质量较好？6 3 3、A, BA, B两人赌技相同，各押赌注两人赌技相同，各押赌注3232个金币，规定先胜三局个金币，规定先胜三局者为胜者为胜, ,赌博进行了一段时间，赌博进行了一段时间，A A赌徒已胜赌徒已胜2 2局，局，B B赌徒胜赌徒胜1 1局，局，发生意外，赌博中断。两人该如何分配这发生意外，赌博中断。两人该如何分配这6464个金币？个金币？7问题问题3 3：离散型随机变量：离散型随机变量X X的期望与的期望与X X可能取值的算术平均数相可
6、能取值的算术平均数相同吗？同吗？ 期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值。随机变量的平均值。随机变量X X取每个值时概率不同导致了期望不同取每个值时概率不同导致了期望不同于初中所学的算术平均数。于初中所学的算术平均数。问题问题4 4：离散型随机变量：离散型随机变量X X的期望与的期望与X X可能取值的算术平均数何可能取值的算术平均数何时相等？时相等？8X123456p6 61 16 61 16 61 16 61 16 61 16 61 127616615614613612611EX276654321为可能取值的算术平均数X 例例1
7、1：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X X的期望。的期望。 9变式：将所得点数的变式：将所得点数的2 2倍加倍加1 1作为得分数，即作为得分数，即Y=2X+1Y=2X+1，试求，试求Y Y的的 期望？期望？所以随机变量所以随机变量Y Y的均值为的均值为: :=2EX+1=2EX+1 P13119753Y161616161616861136111619617615613EY10设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量（1） Y的分布列是什么？（2） E(Y)=？思考：P1xix2x1p2pipnxnpXnniipxpxpxpxXE2211)(11P1x
8、2x1p2pnxnpXP1x2x1p2pnxnpXbax 1bax 2baxn nnpbaxpbaxpbaxYE)()()()(2211)()(212211nnnpppbpxpxpxa bXaE)(Y YaXaXb b12一、离散型随机变量取值的均值nniipxpxpxpxEX 2211P1xix2x1p2pipnxnpX二、随机变量数学期望的性质（线性性质）baEXbaXE )(131、随机变量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)则E(X)= . 2、随机变量的分布列是2.4(2)若Y=2X+1，则E(Y)= . 5.847910P0.3ab0.2E（）=7.5,则a= b= .0
9、.40.114例例1.1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，罚不中得分，罚不中得0 0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.70.7，则他罚球，则他罚球1 1次的得分次的得分X X的均值是多少？的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1p则则pppEX)1 (01(一一)两点分布的均值两点分布的均值(数学期望数学期望)15变式变式1.1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，罚不中得分，罚不中得0 0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.70.7，
10、则他，则他连续罚球连续罚球3 3次次的的得分得分X X的均值是多少？的均值是多少？X0123P33 . 0分析：分析： X XB B（3 3，0.70.7）2133 . 07 . 0 C3 . 07 . 0223 C37 . 0322321337 . 033 . 07 . 023 . 07 . 013 . 00 CCEX1 . 27 . 03 (二二)二项分布的均值二项分布的均值(数学期望数学期望)16例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？变式变式2.2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每
11、次罚球命中得1 1分，罚不中得分，罚不中得0 0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为p p，则他，则他连续罚球连续罚球n n次次的得分的得分X X的均值是多少？的均值是多少？x x01knp111nnC p q kkn knC p q 0nnnC p qX X的分布列如下：的分布列如下：00nnC p q分析：分析： X XB B（n n，p p）则则 .npEX 17证明：证明：n n) ), ,0 0, ,1 1, ,2 2, ,( (k kq qp pC Ck k) )P P( (X Xk kn nk kk kn n 所以所以若XB(n，p)，则EXnp 证明：若
12、XB(n，p)，则EXnp 3-332-221 -11003210nnnnnnnnqpCqpCqpCqpCEX0qpCnqpCknnnknkkn322121111001(nnnnnnqpCqpCqpCnp)0111)1()1(111qpCqpCnnnknkknnpqpnpn1)(18一、离散型随机变量取值的均值一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：nniipxpxpxpxEX2211则称为随机变量为随机变量X X的的均值或数学期望均值或数学期望。P1xix2x1p2pipnxnpX它反映了离散型随机变量取值的它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均水平。192 2、如果随机变量、如果随机变量
13、X X服从二项分布，即服从二项分布，即 则则结论：1 1、一般地，如果随机变量、一般地，如果随机变量X X服从两点分布服从两点分布 , , 则则 ; ;)(pnBX，npEX )1 (p，pEX 3 3、已知、已知X,YX,Y是随机变量，是随机变量，a,ba,b是常数。若是常数。若 ，则则 . .baEXEYbaXY201 1、一个袋子里装有大小相同的、一个袋子里装有大小相同的3 3 个红球和个红球和2 2个黄球，从中有放个黄球，从中有放回地取回地取5 5次，求取到红球次数的数学期望。次，求取到红球次数的数学期望。2 2、随机变量、随机变量 , ,已知已知X X的均值的均值 EX=2EX=2，
14、求，求P(X=3).P(X=3).3 3、袋中有、袋中有3 3个白球和个白球和3 3个黑球，每次从中任取一球，若取出白球，个黑球，每次从中任取一球，若取出白球，则将球放回袋中，再加入一个白球和一个黑球；若取出黑球，则将球放回袋中，再加入一个白球和一个黑球；若取出黑球，则将球放回袋中即可。如此连续取则将球放回袋中即可。如此连续取2 2次球，次球，X X表示表示2 2次取球后袋中次取球后袋中白球的个数，求白球的个数，求X X的分布列和均值。的分布列和均值。)8(pBX，4 4、一次单元测验由、一次单元测验由2020个选择题构成，每个选择题有个选择题构成，每个选择题有4 4个选项个选项. .其其中仅
15、有一个选项正确，每题选对得中仅有一个选项正确，每题选对得5 5分分. .不选或选错不得分，满分不选或选错不得分，满分100100分分. .学生甲选对任一题的概率为学生甲选对任一题的概率为0.90.9，学生乙则在测验中对每，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个题都从各选项中随机地选择一个. .分别求学生甲和学生乙在这次分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值测验中的成绩的均值. .21例例3 3、一个袋子里装有大小相同的、一个袋子里装有大小相同的3 3 个红球和个红球和2 2个黄球，从中摸个黄球，从中摸出出3 3个球，求得到黄球个数个球，求得到黄球个数的分布列和数学期望。的分布列
16、和数学期望。小结：若随机变量小结：若随机变量X X服从参数为服从参数为N,M,nN,M,n的的超几何分布超几何分布, ,则则 NMnXE(三三)超几何分布的均值超几何分布的均值(数学期望数学期望)变式：一个袋子里装有大小相同的变式：一个袋子里装有大小相同的N N个球，其中黄球有个球，其中黄球有M M个，从个，从中摸出中摸出n n个球，求得到黄球个数个球，求得到黄球个数的分布列和数学期望。的分布列和数学期望。221 1、若随机变量、若随机变量X X服从参数为服从参数为N=20N=20，M=5M=5，n=3n=3的超几何分布，的超几何分布，求求X X的数学期望。的数学期望。2 2、一个口袋中有、一
17、个口袋中有N(N3)N(N3)个大小相同的球，其中个大小相同的球，其中3 3个红球和个红球和(N-3)(N-3)个白球，从中随机取出一个球是红球的概率为个白球，从中随机取出一个球是红球的概率为0.60.6，不，不放回的从袋中取放回的从袋中取3 3个球，求取到白球的个数个球，求取到白球的个数X X的期望。的期望。3 3、甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每对三人，每人回答一个问、甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每对三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。甲队中每人答对的题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。甲队中每人答对的概率均为概率均为 ，乙队中三人答对的概率分别为，乙队中三人答对的概
18、率分别为 , , , , ,且且各人答对与否相互之间没有影响。各人答对与否相互之间没有影响。 (1)(1)若用若用X X表示甲队的总得分，求随机变量表示甲队的总得分，求随机变量X X的分布列和数学期望；的分布列和数学期望； (2)(2)用用A A表示事件表示事件“甲、乙总得分之和为甲、乙总得分之和为3 3”，用，用B B表示事件表示事件“甲队甲队总得分大于乙队总得分总得分大于乙队总得分”，求，求P(AB).P(AB).21234 4甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面试合格者可签约。甲、乙面试合格就签约；丙、丁面试都合格则试合格者
19、可签约。甲、乙面试合格就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是 , ,且面试是否合格互不影响求：且面试是否合格互不影响求： (1)(1)至少有三人面试合格的概率；至少有三人面试合格的概率；(2)(2)恰有两人签约的概率；恰有两人签约的概率；(3)(3)签约人数的数学期望签约人数的数学期望5 5、编号、编号1 1，2 2，3 3的三位学生随意入座编号的三位学生随意入座编号1 1，2 2，3 3的三个座位，的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是
20、X.X.求随求随机变量机变量X X的概率分布列和期望。的概率分布列和期望。246、一厂家向用户提供的一箱产品共、一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有件，其中有n件次品，用件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查取一件产品检查(取出的产品不放回箱子取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品(1)若这箱产品被
21、用户接收的概率是若这箱产品被用户接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的条件下，记抽检的产品次品件数为的条件下，记抽检的产品次品件数为X，求，求X的分布列和的分布列和数学期望数学期望n n2 2.1828109()123.5454545E X 257 7、PM2.5PM2.5是指大气中直径小于或等于是指大气中直径小于或等于 的颗粒物，我国采的颗粒物，我国采用用PM2.5PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5PM2.5日均值在日均值在 以下空气质量为一级，在以下空气质量为一级，在 空气质量为二级空气质量为二级，在，在 以上空气质量为
22、超标。以上空气质量为超标。 某市环某市环保局随机抽取保局随机抽取1515天的天的PM2.5PM2.5监测数据，监测值如下：监测数据，监测值如下：(1)(1)从这从这1515天的天的PM2.5PM2.5日均检测值，日均检测值， 随机抽出随机抽出3 3天，求恰有一天空气质天，求恰有一天空气质 量达到一级的概率；量达到一级的概率； (2)(2)从这从这1515天的天的PM2.5PM2.5日均检测值，日均检测值， 随机抽出随机抽出3 3天，天，X X为抽到空气质量超标为抽到空气质量超标 的天数，求的天数，求X X的分布列和期望；的分布列和期望； (3)(3)以这以这1515天的天的PM2.5PM2.5
23、日均值来估计一日均值来估计一 年的空气质量情况，则一年年的空气质量情况，则一年( (按按360360天天 计算计算) )中平均有多少天的空气质量达中平均有多少天的空气质量达 到一级或二级？到一级或二级？m5 .23/35mg33/75/35mgmg3/75mg8743962PM2.5PM2.5日均值日均值( )( )3/ mg23467895 1 4 35835268 8、如图所示的直角边长为、如图所示的直角边长为4 4的三角形地块的每个格点的三角形地块的每个格点( (横、纵直横、纵直线的交叉点以及三角形的顶点线的交叉点以及三角形的顶点) )处都种了一株相同品种的作物，处都种了一株相同品种的作
24、物，一株作物的年收获量一株作物的年收获量Y(Y(单位：单位：kg)kg)与它与它“相近相近”作物株数作物株数X X之间之间的关系如下：的关系如下： 两注作物两注作物“相近相近”：它们之间的直线距离不超过：它们之间的直线距离不超过1. 1. (1)(1)从三角形内部和边界上分别随机选一株作物，求它们从三角形内部和边界上分别随机选一株作物，求它们“相近相近”的概率；的概率； (2)(2)从所种作物中随机选一株，求它的年收从所种作物中随机选一株，求它的年收 获量的分布列和期望。获量的分布列和期望。X1234Y514845424 44 40 0279 9、现对甲项目每投资、现对甲项目每投资1010万元
25、，一年后收益是万元，一年后收益是1.21.2万元、万元、1.181.18万元、万元、1.171.17万元的概率分别为万元的概率分别为 ， ， ；乙项目的利润与产品价格的调；乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是整有关，在每次调整中价格下降的概率都是p(0p1),p(0p1),乙项目产乙项目产品价格在一年内进行品价格在一年内进行2 2次独立调整，次独立调整，X X为乙项目产品价格在一年内为乙项目产品价格在一年内下降的次数，对乙项目没投资下降的次数，对乙项目没投资1010万元，万元，X X取取0,1,20,1,2时，一年后相应时，一年后相应的利润是的利润是1.31.3万元
26、、万元、1.251.25万元、万元、0.20.2万元。随机变万元。随机变 量量 、 分别分别表示对甲、乙两项目各投资表示对甲、乙两项目各投资1010万元一年后的利润。万元一年后的利润。 (1)(1)求求 、 的分布列和期望；的分布列和期望； (2)(2)当当 时，求时，求p p的取值范围。的取值范围。612131EE281010、某商场有单价分别为、某商场有单价分别为1818元元/kg/kg， 2424元元/kg/kg， 3636元元/kg/kg的三种的三种水果，为了利于销售，将这三种糖按水果，为了利于销售，将这三种糖按a a：2 2：1( )1( )的比例混的比例混合合, ,混合后价格不能超
27、过混合后价格不能超过2323元元/kg/kg但也不能低于但也不能低于2020，求，求a a的值。的值。 Na1111、随机抽取某厂的某种产品、随机抽取某厂的某种产品200200件，经质检，其中有一等品件，经质检，其中有一等品126126件、二等品件、二等品5050件、三等品件、三等品2020件、次品件、次品4 4件已知生产件已知生产1 1件一、件一、二、三等品获得的利润分别为二、三等品获得的利润分别为6 6万元、万元、2 2万元、万元、1 1万元，而万元，而1 1件次件次品亏损品亏损2 2万元设万元设1 1件产品的利润（单位：万元）为件产品的利润（单位：万元）为X X（1 1）求）求X X的分
28、布列；的分布列；（2 2）求）求1 1件产品的平均利润（即件产品的平均利润（即X X的数学期望）；的数学期望）；（3 3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%1%，一等品率提高为一等品率提高为70%70%如果此时要求如果此时要求1 1件产品的平均利润不小于件产品的平均利润不小于4.734.73万元，则三等品率最多是多少？万元，则三等品率最多是多少？29解：解：(1)设设“至少有至少有3人面试合格人面试合格”为事件为事件A，则则P(A)(2)设设“恰有恰有2人签约人签约”为事件为事件B，“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约甲、乙两人签
29、约，丙、丁两人都不签约”为事件为事件B1；“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件为事件B2；则：则：BB1B2P(B)P(B1)P(B2)30(3)设设X为签约人数为签约人数X的分布列如下：的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=31X01234P52024161620()01234.81848181819E X 32随机变量的均值与样本平均值有何区别和联系？ 区别：随机变量的均值是一个常数，而样本平均值随着样本的不同而变化的，是一个随机变量。 联系：随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值（随机变量
30、的均值）。33应用概念步骤期望的概念期望为我们提供了实际问题决策的理论依据。求期望的三个步骤 方法求期望的三种方法34反思：1、用定义求随机变量均值的一般步骤：1）找出随机变量的可能取值；反思：2、求随机变量均值的一般方法：1）利用定义求均值；2）求出分布列3）利用定义（公式）求均值。2）利用线性性质求均值。3）两点分布，二项分布直接用公式求均值。35其规律为其规律为独立独立且两者到站的时间相互且两者到站的时间相互的的但到站的时刻是随机但到站的时刻是随机都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站某车站每天某车站每天按规定按规定.,00:1000:9,00:900:8, 到站时刻到站时刻概率概率10:
31、910:830:930:850:950:8616362.,00:8(i)望望求他候车时间的数学期求他候车时间的数学期到车站到车站一旅客一旅客.,20:8(ii)望望求他候车时间的数学期求他候车时间的数学期到车站到车站一旅客一旅客实例实例636).(以分计以分计设旅客的候车时间为设旅客的候车时间为 X解解的分布律为的分布律为X(i)Xkp106130635062候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为625063306110)( XE).(33.33分分 37的分布律为的分布律为X(ii)Xkp10633062506161 706361 906261 62619063617061615062306310)( XE).(22.27分分 候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为38
