1、小学数学核心素养曾小平曾小平首都师范大学初等教育学院首都师范大学初等教育学院思考两个问题思考两个问题 鞋店里某双鞋进价鞋店里某双鞋进价45，售价，售价88，顾客拿出，顾客拿出100元钱买这双元钱买这双鞋。鞋店老板没有零钱找，就向邻居换了鞋。鞋店老板没有零钱找，就向邻居换了100元零钱。顾元零钱。顾客走后，邻居发现客走后，邻居发现100元为假币，找到鞋店老板，鞋店老元为假币，找到鞋店老板，鞋店老板又给邻居板又给邻居100元真币。元真币。 请问，在这场交易中，鞋店老板实际赔了多少元？请问，在这场交易中，鞋店老板实际赔了多少元？三个骰子叠放在桌面上：三个骰子叠放在桌面上：1.看不见的五个面，数字之看
2、不见的五个面，数字之和是多少？和是多少？2.哪个图形能够折成骰子？哪个图形能够折成骰子？什么是素养？什么是素养？ 1素质与教养；素质与教养； 2平时所养成的良好习惯。平时所养成的良好习惯。 素养，由训练和实践而获得的技巧或能力。素养，由训练和实践而获得的技巧或能力。 汉书汉书李寻传李寻传：“马不伏历，不可以趋道；士不素养，马不伏历，不可以趋道；士不素养，不可以重国。不可以重国。” 陆游陆游 上殿札子上殿札子：“气不素养，临事惶遽。气不素养，临事惶遽。”什么是数学素养？什么是数学素养？ 顾沛：顾沛：数学素养就是把所学的数学知识都排出或忘掉后剩数学素养就是把所学的数学知识都排出或忘掉后剩下的东西。
3、下的东西。 米山国葬：我研究了多年的数学教育，发现学生们在初中、米山国葬：我研究了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中阶段学习的数学知识高中阶段学习的数学知识离校后不到一两年，便会很离校后不到一两年，便会很快忘光了。然而，无论他们从事什么工作，唯有深深铭刻快忘光了。然而，无论他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思维方法、研究方法于头脑中的数学精神、数学思维方法、研究方法却随却随时的发生作用，使他们是受益终生时的发生作用，使他们是受益终生” PISA 个体确定和理解数学在现实世界所起的作用，做出有充分个体确定和理解数学在现实世界所起的作用，做出有充分根据的判断和从事数学，以此
4、来满足一个人在当前和未来根据的判断和从事数学，以此来满足一个人在当前和未来生活中作为积极的，参与的和反思的公民所需要的能力。生活中作为积极的，参与的和反思的公民所需要的能力。澳大利亚澳大利亚 有效处理生活和工作中出现的数量问题，所需要的技能、有效处理生活和工作中出现的数量问题，所需要的技能、知识、信念、气质、思维习惯、交流能力、问题解决能力知识、信念、气质、思维习惯、交流能力、问题解决能力的聚合。的聚合。中国课标研制组中国课标研制组 数学素养包含具有数学基本特征的必备思维品格和关键能数学素养包含具有数学基本特征的必备思维品格和关键能力，是数学知识、技能、能力及情感、态度、价值观的综力，是数学知
5、识、技能、能力及情感、态度、价值观的综合体现。合体现。数学素养的要素（数学素养的要素（PISA） 思考思考 论证论证 交流交流 建模建模 推理推理 问题提出与解决问题提出与解决 运用符号的、形式化和专业性的语言和操作运用符号的、形式化和专业性的语言和操作 运用辅助手段和工具运用辅助手段和工具数学素养的要素（数学素养的要素（TIMSS） 四年级分为“知道”“运用”和“推理”初中 1 柯明把鸡蛋放在盒子里，每个盒子最多放6枚鸡蛋，他一共有94枚鸡蛋。请问他至少需要多少个盒子，才能把这些鸡蛋都放进去？数学素养的要素（数学素养的要素（NCTM） 1989:认识数学的价值；建立做数学的认识数学的价值；建
6、立做数学的信心；成为数学问题的解决者；学会信心；成为数学问题的解决者；学会数学的交流；学会数学的推理。数学的交流；学会数学的推理。 2000：问题解决，推理与证明，交流，问题解决，推理与证明，交流，关联，表征关联，表征。数学素养的要素（数学素养的要素（CCSSM） 熟练地理解与解决问题熟练地理解与解决问题 熟练地进行数量与抽象推理熟练地进行数量与抽象推理 构建观点进行论证构建观点进行论证 利用数学建模解决问题利用数学建模解决问题 适当选择数学工具适当选择数学工具 准确使用概念和清晰的推理准确使用概念和清晰的推理 发现数学的模式与结构发现数学的模式与结构 关注解决问题的过程与结果关注解决问题的过
7、程与结果高中数学课程标准高中数学课程标准修订组修订组 数学核心素养是数学课程目标的集中数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是学业质量要求的集中反映。体现，是学业质量要求的集中反映。 高中阶段的数学素养应该包括数学抽高中阶段的数学素养应该包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象和数据分析直观想象和数据分析。数学抽象数学抽象原型原型关系关系模型模型概念概念6个桃子分给个桃子分给2只小猴，每只小猴，每只小猴分到的桃子一样多，只小猴分到的桃子一样多，每只小猴分到几个桃子？每只小猴分到几个桃子？6平均分成平均分成2份，每份是份，每份是3。a平均分成平均分成
8、b份，每份份，每份是是c。（等。（等分除）分除）一个有限一个有限集合集合A（基数为（基数为a），能够），能够分解为分解为c个个具有相同具有相同基数基数b的子的子集集 B ， 其， 其结果记为结果记为ab =c。每每4个桃子装一袋，装个桃子装一袋，装12个桃子需要几个袋子？个桃子需要几个袋子？12中包含中包含3个个4。a 中 包 含中 包 含 c个个b。（包。（包含除）含除）小猴有小猴有3只，小鸭有只，小鸭有6只，只，小鸭的数目是小猴的几倍？小鸭的数目是小猴的几倍？6是是3的的2倍。倍。 a是是b的的c倍。倍。（ 倍 比 关（ 倍 比 关系）系）逻辑推理逻辑推理 归纳推理 演绎推理数学建模数学建
9、模 要修一段公路，甲队单独修要修一段公路，甲队单独修30天可以完成，乙队天可以完成，乙队单独修单独修20天可以完成。甲乙两队合修，多少天可天可以完成。甲乙两队合修，多少天可以完成？以完成？ 一个水池配有两个水管，单开甲管，一个水池配有两个水管，单开甲管，5小时可以注小时可以注满全池，单开乙管，满全池，单开乙管，6小时可以放干全池。如果两小时可以放干全池。如果两管齐开，多少小时可以注满全池？管齐开，多少小时可以注满全池？ 甲乙两人沿着操场跑道散步，甲走一圈需要甲乙两人沿着操场跑道散步，甲走一圈需要6分钟，分钟，乙走一圈需要乙走一圈需要4分钟。甲乙两人从操场入口处背向分钟。甲乙两人从操场入口处背向
10、而行散步，出发后而行散步，出发后20秒钟，有人在操场入口处叫秒钟，有人在操场入口处叫乙取东西，乙返回出发点，取东西又用去乙取东西，乙返回出发点，取东西又用去20秒钟。秒钟。问乙取完东西，再次出发散步，多长时间和甲相遇？问乙取完东西，再次出发散步，多长时间和甲相遇？运算能力运算能力 例例1 计算直观想象直观想象 五年级学生站在学校运动场的内圈跑道上，如果五年级学生站在学校运动场的内圈跑道上，如果1米站一米站一人，则有一个人，则有一个41米的大豁口，如果米的大豁口，如果1.2米站一人，则刚好米站一人，则刚好合适。请问五年级有多少名同学？合适。请问五年级有多少名同学？数据分析数据分析 某工厂某工厂2
11、015年实现产值年实现产值1060万元，其中一季度万元，其中一季度250万元，万元，二季度二季度270万元，三季度万元，三季度280万元，四季度万元，四季度260万元万元。通过通过这些数据，你能发现什么结论？这些数据，你能发现什么结论？ 课例：平均数（吴正宪）课例：平均数（吴正宪）中国台湾（小学）中国台湾（小学） 演算能力演算能力 抽象化能力抽象化能力 推理能力推理能力 连结能力连结能力 解题能力解题能力 沟通能力沟通能力 使用科技工具能力使用科技工具能力中国香港（小学）中国香港（小学）培养学生的培养学生的“数字感数字感”和和“空间感空间感”，欣赏数和图形的规律，欣赏数和图形的规律及结构。及结
12、构。 探究探究 传意传意 推理推理 构思构思 解决问题解决问题澳大利亚（澳大利亚（2015） 理解理解 流畅流畅 问题解决问题解决 推理推理新加坡（新加坡（2006）数学素养的表现水平（数学素养的表现水平（PISA) 水平水平1：能够回答信息完全清晰的问题；根据明确指令执：能够回答信息完全清晰的问题；根据明确指令执行常规操作；根据明显且给定的刺激完成操作。行常规操作；根据明显且给定的刺激完成操作。 水平水平2：能够理解和识别无需推理的问题；从简单的资源：能够理解和识别无需推理的问题；从简单的资源中提取并表达信息；利用基本算法、公式和程序；直接推中提取并表达信息；利用基本算法、公式和程序；直接推
13、理，并对结果字面上解释。理，并对结果字面上解释。水平2 水平水平3：能够执行描述清晰的程序；选择并利用解决简单：能够执行描述清晰的程序；选择并利用解决简单问题的策略；理解和使用基于不同信息源的陈述，并进行问题的策略；理解和使用基于不同信息源的陈述，并进行直接的推理；交流其理解、成果以及推理。直接的推理；交流其理解、成果以及推理。 水平水平4：能够有效利用复杂且具体问题的模型，鉴别模型：能够有效利用复杂且具体问题的模型，鉴别模型的约束条件或假设条件；选择并结合不同的陈述，建立与的约束条件或假设条件；选择并结合不同的陈述，建立与现实情境的关系；灵活使用技能、推理能力、洞察力；根现实情境的关系；灵活
14、使用技能、推理能力、洞察力；根据理解、论证和行为，建立和表达其解释。据理解、论证和行为，建立和表达其解释。 水平水平5：能够建立和利用复杂问题的模型，鉴别其约束条：能够建立和利用复杂问题的模型，鉴别其约束条件和假设条件；选择、比较、评价问题解决策略；利用广件和假设条件；选择、比较、评价问题解决策略；利用广泛而成熟的思维和推理技能，联结符号、公式和运算，洞泛而成熟的思维和推理技能，联结符号、公式和运算，洞察现实问题；对自我行为进行思考，表达和交流其解释和察现实问题；对自我行为进行思考，表达和交流其解释和推理。推理。 某电视播报员根据图示，做出论断，1999年某地抢劫案件大幅度增加。 她的话对吗，
15、为什么？ 水平水平6：能够基于对复杂问题的调研和建模所得到的信息，：能够基于对复杂问题的调研和建模所得到的信息，能够概念化，概括，并使用；联系不同信息源之并灵活转能够概念化，概括，并使用；联系不同信息源之并灵活转化利用；具有高级的数学思维和推理能力；利用洞察力和化利用；具有高级的数学思维和推理能力；利用洞察力和理解能力，掌握符号、公式和数学运算，建立方法和策略理解能力，掌握符号、公式和数学运算，建立方法和策略来解决新的问题；简洁、精确地表达观点，发现、理解并来解决新的问题；简洁、精确地表达观点，发现、理解并论证。论证。小学数学核心素养小学数学核心素养数感 数的意义大小的理解数的意义大小的理解
16、数的等量表征形式的理解和使用数的等量表征形式的理解和使用 运算的意义和作用的理解运算的意义和作用的理解 运算策略的使用运算策略的使用 运算结果的预测和估计运算结果的预测和估计 小明家住在小明家住在4楼，他家离地面大约多少米？楼，他家离地面大约多少米？ 每套校服每套校服112元，三（元，三（4）班有）班有42人，每人买一套校服，人，每人买一套校服，6000元够吗？元够吗？ 你从出生到现在，大约经历了多少天？你从出生到现在，大约经历了多少天？ 数字迷数字迷 杀手数独杀手数独 课例：分数的基本性质（陈新华）课例：分数的基本性质（陈新华）形象形象 根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描根据
17、物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；述的实际物体； 想象物体的方位和相互之间的位置关系；想象物体的方位和相互之间的位置关系； 描述图形的运动和变化；描述图形的运动和变化； 依据语言的描述画出图形等依据语言的描述画出图形等； 利用图形利用图形来来描述和分析问题描述和分析问题、探索解决问题的思路，预测探索解决问题的思路，预测结果结果。砌砌积木积木 小珊喜欢用图中的小正方体砌成不同大小的方块：小珊喜欢用图中的小正方体砌成不同大小的方块： 首先，她用首先，她用8块小正方体砌成图块小正方体砌成图A的实心的实心方块方块 然后，再砌成图然后，再砌成图B和图和图C的实心方块的实心方块。
18、 小珊要用多少块小正方体才可砌出图小珊要用多少块小正方体才可砌出图B的方的方块？小珊要用多少块小正方体才可砌出图块？小珊要用多少块小正方体才可砌出图C的实心方块？的实心方块？ 小珊发现她砌图小珊发现她砌图C的方块时，比实际需要多用了一些小正方的方块时，比实际需要多用了一些小正方体。她发现可以砌出一个像图体。她发现可以砌出一个像图C的方块，但里面是空心的。的方块，但里面是空心的。那么，她最少要用多少块小正方体，才可以砌出一个看起来那么，她最少要用多少块小正方体，才可以砌出一个看起来像是图像是图C但却是空心的方块？但却是空心的方块？ 小珊又要砌一个看起来像是实心的方块，这个方块长小珊又要砌一个看起
19、来像是实心的方块，这个方块长6块小块小正方体，正方体，宽宽5块小正方体，高块小正方体，高4块小正方体。她要用最少数目块小正方体。她要用最少数目的小正方体，而方块里要保留最大的空心。那么，她最少要的小正方体，而方块里要保留最大的空心。那么，她最少要用多少块小正方体来砌成这个方块？用多少块小正方体来砌成这个方块？ 用一根绳子去测量一口井的深度。如果把绳子平均折成用一根绳子去测量一口井的深度。如果把绳子平均折成3段，则长了段，则长了1米；如果把绳子平均折成米；如果把绳子平均折成4段，则短了段，则短了1米。米。求绳子的长度和井的深度求绳子的长度和井的深度？ 姐姐比妹妹大几岁。当姐姐像妹妹这么大时，妹妹
20、才姐姐比妹妹大几岁。当姐姐像妹妹这么大时，妹妹才2岁岁；当妹妹到姐姐这么大时，姐姐就到了；当妹妹到姐姐这么大时，姐姐就到了20岁。问现在姐姐岁。问现在姐姐和妹妹各几岁？和妹妹各几岁？ 课例：多边形面积（岳志刚）课例：多边形面积（岳志刚）推理 归纳推理（完全归纳、不完全归纳、类比推理、合情推理）归纳推理（完全归纳、不完全归纳、类比推理、合情推理） 演绎推理（三段论推理）演绎推理（三段论推理） 必然推理（演绎推理，完全归纳推理）必然推理（演绎推理，完全归纳推理） 或然推理（不完全归纳，类比推理，合情推理）或然推理（不完全归纳，类比推理，合情推理）身高身高 某一天的数学课上，所有学生都测量了身高。男
21、生平均某一天的数学课上，所有学生都测量了身高。男生平均身高为身高为160公分，女生平均身高为公分，女生平均身高为150公分。晓蕾是最高公分。晓蕾是最高的的，她的身高是她的身高是180公分。俊克是最矮的公分。俊克是最矮的，他的身高是他的身高是130公分。那天上课有两位学生缺席，但隔天他们都来上公分。那天上课有两位学生缺席，但隔天他们都来上课了。他们也测量了身高，并重新计算身高的平均。令人课了。他们也测量了身高，并重新计算身高的平均。令人惊讶的是，男生和女生的平均身高都没有改变。从这些讯惊讶的是，男生和女生的平均身高都没有改变。从这些讯息可以获得下列何种推论？息可以获得下列何种推论？两位学生都是女
22、生。两位学生都是女生。 是是 / 否否 一个学生是男生，另一个是女生。一个学生是男生，另一个是女生。 是是 / 否否 两个学生有相同的身高。两个学生有相同的身高。 是是 / 否否 所所有有学生的平均高度没有改变。学生的平均高度没有改变。 是是 / 否否 俊克仍是最矮的。俊克仍是最矮的。 是是 / 否否 测验分数 下图是两组学生参加科学测验的结果，这两组学生分别称为A组和B组。A组的平均分数是62.0分，B组的平均分数是64.5分。当学生得分为50分或以上时他们便通过这个测验。 由上图，老师认为B组学生比A组学生的表现较好。但A组学生不同意老师的看法。他们试图说服老师B组并不一定比较好。依据上图
23、，写出一个A组学生可能使用的数学论点。 课例：三角形内角和（岳志刚）课例：三角形内角和（岳志刚）问题解决问题解决 什么是问题？什么是问题？ 问题的发现与提出；问题的发现与提出； 问题的分析与解决；问题的分析与解决； 解决的回顾与反思。解决的回顾与反思。种树种树 农夫将苹果树种在正方形的果园。为了保护苹果树不怕风农夫将苹果树种在正方形的果园。为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树。吹，他在苹果树的周围种针叶树。 在下图里，你可以看在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数到农夫所种植苹果树的列数(n)，和苹果树数量及针叶树，和苹果树数量及针叶树数量的规律：数量的规律：完成下表的空格n
24、苹果树数 针叶树数 1 1 8 2 4 3 4 5 你可以用以下的你可以用以下的2个公式来计算上面提到的苹果树数量及针个公式来计算上面提到的苹果树数量及针叶树数量的规律：苹果树的数量叶树数量的规律：苹果树的数量 =n2 针叶树的数量针叶树的数量 = 8n ，n代表苹果树的列数代表苹果树的列数。当当n为某一个数值时，苹果树数量会等为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量。找出于针叶树数量。找出n值，并写出你的计算方法。值，并写出你的计算方法。 若农夫想要种更多列，做一个更大的果园，当农夫将果园扩若农夫想要种更多列，做一个更大的果园，当农夫将果园扩大时，那一种树会增加得比较快？是苹果树的数量或是
25、针叶大时，那一种树会增加得比较快？是苹果树的数量或是针叶树的数量？解释你的想法。树的数量？解释你的想法。汇率汇率 来自新加坡的美玲准备前往南非当交换学生来自新加坡的美玲准备前往南非当交换学生3个月。她需个月。她需要将新加坡币要将新加坡币(SGD)兑换为南非币兑换为南非币(ZAR)。 问题问题 1：美玲发现两国间的货币汇率为：美玲发现两国间的货币汇率为： 1 SGD = 4.2 ZAR 。依此汇率中，美玲将依此汇率中，美玲将3000元的新加坡币兑换为南元的新加坡币兑换为南非币。美玲可兑换成多少元的南非币？非币。美玲可兑换成多少元的南非币？ 问题问题 2：3个月后回到新加坡时，美玲身上还有个月后回
26、到新加坡时，美玲身上还有3900元的元的南非币，她想要换回新加坡币，此时两国间的汇率为：南非币，她想要换回新加坡币，此时两国间的汇率为：1 SGD = 4.0 ZAR 。美玲可换得多少新加坡币？美玲可换得多少新加坡币？ 问题问题 3：在这：在这3个月间，汇率从每个月间，汇率从每1元新加坡币兑换元新加坡币兑换4.2元元南非币，变成为南非币，变成为4.0元南非币。元南非币。 此时以这个汇率换回新加此时以这个汇率换回新加坡币，对美玲而言是否有利？请写出你的理由。坡币，对美玲而言是否有利？请写出你的理由。谁吃的饼多？谁吃的饼多？ 有一些孩子和一些匹萨饼。有一些孩子和一些匹萨饼。7个女孩平分个女孩平分2
27、个匹萨饼，个匹萨饼，3个个男孩平分男孩平分1个匹萨饼。个匹萨饼。 A. 每个女孩分得的匹萨饼与每个男孩分得的匹萨饼一样每个女孩分得的匹萨饼与每个男孩分得的匹萨饼一样多吗？解释或展示你是如何找到答案的。多吗？解释或展示你是如何找到答案的。 B如果每个女孩分得的匹萨饼和每个男孩分得的匹萨饼如果每个女孩分得的匹萨饼和每个男孩分得的匹萨饼不一样多，谁分得更多一些？不一样多，谁分得更多一些？ 每个男孩将分得每个男孩将分得1/31/3个匹萨饼，而每个女孩个匹萨饼，而每个女孩将分得将分得2/72/7个匹萨饼。个匹萨饼。 如果要比较如果要比较1/31/3和和2/72/7的大小，只要把这两个的大小，只要把这两个
28、分数通分（分数通分（1/3=7/211/3=7/21，2/7=6/212/7=6/21，7/21-7/21-6/21=1/216/21=1/21）或是把它们都转化为小数（）或是把它们都转化为小数（1/3=0.33, 1/3=0.33, 2/7=0.29, 0.33-0.29=0.042/7=0.29, 0.33-0.29=0.04），就可知道），就可知道1/31/3大大于于2/72/7。中国超过中国超过9090% %，美国约，美国约20%20%。 解法解法1 1：三个女孩分一个匹萨饼，另外三个女孩分另：三个女孩分一个匹萨饼，另外三个女孩分另一个匹萨饼。这六个女孩中的每个女孩都与三个男孩中一个匹
29、萨饼。这六个女孩中的每个女孩都与三个男孩中的每个男孩分得同样多的匹萨饼。但是有一个女孩没有的每个男孩分得同样多的匹萨饼。但是有一个女孩没有分得匹萨饼。所以每个男孩分得的匹萨饼更多。分得匹萨饼。所以每个男孩分得的匹萨饼更多。 解法解法2 2：三个女孩分一个匹萨饼，剩下的四个女孩分：三个女孩分一个匹萨饼，剩下的四个女孩分一个匹萨饼。剩下的四个女孩每人分得的匹萨饼要少于一个匹萨饼。剩下的四个女孩每人分得的匹萨饼要少于每个男孩分得的匹萨饼。所以男孩分得的匹萨饼更多每个男孩分得的匹萨饼。所以男孩分得的匹萨饼更多。 解法解法3 3：7 7个女孩有个女孩有2 2个匹萨饼，个匹萨饼，3 3个男孩有个男孩有1
30、1个匹萨饼。个匹萨饼。女孩所拥有的匹萨饼是男孩所拥有的匹萨饼的女孩所拥有的匹萨饼是男孩所拥有的匹萨饼的2 2倍。但女孩倍。但女孩的人数却不止男孩人数的的人数却不止男孩人数的2 2倍，所以男孩分得的匹萨饼更多。倍，所以男孩分得的匹萨饼更多。 解法解法4 4：每个匹萨饼被分成：每个匹萨饼被分成4 4块。每个女孩分得块。每个女孩分得1 1块，块，还剩余还剩余1 1块。每个男孩分得块。每个男孩分得1 1块，也还剩余块，也还剩余1 1块。剩下的块。剩下的1 1块块必须由必须由7 7个女孩再次来分，而另外剩下的个女孩再次来分，而另外剩下的1 1块只需要块只需要3 3个男个男孩再次来分，所以男孩分得的匹萨饼
31、更多孩再次来分，所以男孩分得的匹萨饼更多。我们面临的困境 尽管常规的策略明显地非常有效，并且易于应尽管常规的策略明显地非常有效，并且易于应用到解决其他的类似问题，但是这种常规策略却用到解决其他的类似问题，但是这种常规策略却显示不出什么创意。显示不出什么创意。 相反地，尽管非常规的策略显示出学生思维上相反地，尽管非常规的策略显示出学生思维上的创意，但这些策略不太适用于解决其他类似的的创意，但这些策略不太适用于解决其他类似的问题。问题。 此案例说明：中国课堂教学在培养学生的常规此案例说明：中国课堂教学在培养学生的常规策略上具有有效性；美国课堂教学在发展创造性策略上具有有效性；美国课堂教学在发展创造性数学思维上具有有效性。数学思维上具有有效性。提高教师的数学素养提高教师的数学素养 芝诺悖论与无限芝诺悖论与无限初等数学到高等数学初等数学到高等数学； 海岸线的长度问题海岸线的长度问题分形与混沌分形与混沌； 丰投针问题丰投针问题什么是创新什么是创新； 变换的方法变换的方法化繁为简化繁为简； 哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题抽象的观点抽象的观点。
