1、第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 1第六章第六章 常微分方程常微分方程 第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第四节第四节 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构 第五节第五节 二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 2第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程本节主要内容本节主要内容: :一、可分离变量的一阶微分方程一、可分离变量的一阶微分方程 二、齐次方程
2、二、齐次方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 3 一、一、 可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程 下面介绍几种常用的一阶微分方程的基本类型及其解下面介绍几种常用的一阶微分方程的基本类型及其解法法 一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为( , )yF x y (1) ( )d( )dg yyf xx 的形式，称的形式，称(1)式为式为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程其中其中f(x)只只是是x的函数的函数,g(y)只是只是y的函数的函数. (2)如果一阶微分方程如果一阶微分方程 (1)式可
3、以化为形如式可以化为形如或或( , ,)0F x y y 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 45422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 这类方程的这类方程的特点特点是：是：经过适当整理，可使方程的一边只含有一个变量和其微经过适当整理，可使方程的一边只含有一个变量和其微分分.第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 5求解步骤求解步骤： （1）分离变量）分离变量 d( )d( )yf xxg y ； （2）两边积分）两边积分 d( )d( )yf xxg y ； （3）求出积分得通解）求出积分得通解 G yF x
4、C . 其中其中 G y, F x分别是分别是 g y, fx的原函数的原函数. 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 6dsin dyeyx x dsin dyeyx x cosyxeC ln(cos)yxC 这个通解是以隐函数形式给出的，也可以显化为这个通解是以隐函数形式给出的，也可以显化为得方程的通解得方程的通解两边积分两边积分解解 将方程分离变量，得将方程分离变量，得例例1 求微分方程求微分方程 y- ey sinx = 0 的通解的通解 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 7例例2 求微分方程求微分方程xyy
5、的通解的通解解解 将方程分离变量，有将方程分离变量，有y yx x dd两边积分得两边积分得 Cyx 2211222xyC22故通解为故通解为第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 8例例3 求微分方程求微分方程解解 将方程分离变量，有将方程分离变量，有2ddddxy yxyxy y21dd11yyxyx 两边积分得两边积分得 211ln1ln12yxC12221(1)Cyxe12221(1)Cyex 的通解的通解第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 9221(1)yC x (3) 12Ce 因为因为 是不为零的任意常数，把
6、它记作是不为零的任意常数，把它记作C，便得到，便得到方程的通解方程的通解 1y 可以验证可以验证C = 0时时 ， , 它们也是原方程的解，它们也是原方程的解，因此（因此（3）式中的）式中的C可设为任意常数可设为任意常数 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 10 解方程中，如果积分后出现对数，理应都需作类似解方程中，如果积分后出现对数，理应都需作类似上述的讨论为方便起见，例上述的讨论为方便起见，例2可作如下简化处理：可作如下简化处理：两边积分得两边积分得 分离变量后得分离变量后得 2dd11y yxyx 22ln(1)ln(1)lnyxC故通解为故通解为
7、221(1)yC x其中其中C为任意常数为任意常数 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 11两边积分得方程通解两边积分得方程通解 解解 方程变形后分离变量得方程变形后分离变量得 ，得，得 1C 由初始条件由初始条件 01xy 1sin xCy 故所求特解为故所求特解为 2cosdyyxdx 求微分方程求微分方程例例4满足满足11sinyx 2cosdyxdxy 初始条件初始条件的特解的特解0|1xy 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 121.定义定义)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次
8、方程.2.解法解法作变量代换作变量代换,令令,xuy 即即,dxduxudxdy 代入原式代入原式),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程 二、二、 齐次方程齐次方程 分离变量，得分离变量，得 d1d( )uxf uux ,yux 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 13解解 将方程变形为齐次方程的形式将方程变形为齐次方程的形式 例例5 求微分方程求微分方程 的通解的通解(1lnln)xyyyx d(1ln)dyyyxxx令令 yux , 则方程化为则方程化为 d(1ln ),duuxuux第六章第六章 常微分方
9、程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 14分离变量后，得分离变量后，得 两边积分，得两边积分，得 d1dlnuxuux lnlnlnlnuxC 即即 lnuCx Cxue 以以yux 代回，得通解代回，得通解Cxyxe 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 15例例 6 求解微分方程求解微分方程解解2dyyydxxx,xyu 令令,udxxdudy 则则2 duuxuudx 22.dyxxyydx第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 162duxudx 1ln.xCu微分方程的通解为微分方程的通解为.lnxy
10、xC 即即2.dudxux 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 17例例7 求解微分方程求解微分方程解解，xyu 令令，udxxdudy 则则, 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu 微分方程的通解为微分方程的通解为.lnsinCxxy , 0coscos)cos(2 uduxudxxudxuuxx, 0cos2 uduxxdx0yy( xycos)dxxcosdy.xx第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 18解解xyxydxdy 11令令xyu 则则dxduxu
11、dxdy 代入化简代入化简并分离变量并分离变量dxxduuu1112 两边积分两边积分cxuulnln)1ln(21arctan2 换回原变量换回原变量cxxyxylnln)1ln(21arctan22 或或22arctanyxcexy 例例8dyxydxxy 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 19利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解9例例解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdy ,arctanCxu 解得解得,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy ,uxy代代回回得得
12、2dy( xy ).dx求求的的通通解解第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 20三、三、 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 (5)d( )( )dyP x yQ xx的方程（其中的方程（其中称为称为一阶线性微分方程，一阶线性微分方程，( ),( )P x Q x是是x的已知函数），的已知函数），称为自由项称为自由项Q(x)1.Q(x) 0，方程，方程(5)变为变为(6)d( )0dyP x yx形如形如方程方程(6)称为称为一阶线性齐次微分方程；一阶线性齐次微分方程；第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 212.Q(x)
13、 0，方程，方程(5)变为变为d( )( )dyP x yQ xx(7)方程方程(7)称为称为一阶线性非齐次微分方程；一阶线性非齐次微分方程；例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx 线性的线性的;, 32 xyyy, 1cos yy非线性的非线性的.第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 221.1.一阶线性齐次微分方程的解法一阶线性齐次微分方程的解法,)( dxxPydy齐次方程的通解为齐次方程的通解为是可分离变量的方程，是可分离变量的方程，一阶线性齐次微分方程：一阶线性齐次微分方程：d( )dyP xxy d( )0dyP x yx分离变量得分
14、离变量得两边积分得两边积分得 ln( )dlnyP xxC ()dP xxyCe (8)第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 23为了书写方便，约定以后不定积分符号只表示被积函为了书写方便，约定以后不定积分符号只表示被积函数的一个原函数，如符号数的一个原函数，如符号 是是P(x)的的一个一个原函原函数数.( )dP xx 说明：说明：第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 24常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法实质实质: 未知函数的变量代换未知函数的变量代
15、换.),()(xyxC原原未未知知函函数数新新未未知知函函数数作变换作变换( )( )P x dxyC x e 2.2.一阶线性非齐次微分方程的解法一阶线性非齐次微分方程的解法()dP xxyCe ( )( )( )( )( ),P x dxP x dxyC x eC xP x e 的形式，其中的形式，其中C(x)是待定的函数是待定的函数第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 25代入原方程得代入原方程得和和将将yy ),()()(xQexCdxxP 积分得积分得,)()()(CdxexQxCdxxP 一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解
16、为:)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxxPdxxPdxxPCedxexQe)()()()(对应齐次方对应齐次方程通解程通解非齐次方非齐次方程特解程特解( )d( )d( )d( )( ) ( )( ) ( )( )P xxP xxP xxCx eP x C x eP x C x eQ x第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 26非齐次线性方程的通解非齐次线性方程的通解相应齐方程的通解相应齐方程的通解= =非齐次方程的一个特解非齐次方程的一个特解即即 非齐通解非齐通解= =齐通解齐通解+ +非齐特解非齐特解线性微分方程解的结构，是很优良的性质。
17、线性微分方程解的结构，是很优良的性质。+ +第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 27 原方程即原方程即解解两边积分，得两边积分，得 (tan)secyx yx 解法一解法一 用常数变易法：用常数变易法： 的通解分离变量得的通解分离变量得先求先求 (tan)0yx y dtan dyx xy 1lnlncoslnyxC故故 1cosyCx 例例10(cos) (sin)1x yx y 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 28变换常数变换常数C1，令，令 ，则，则 整理得整理得 把把
18、y , y代入原方程，得代入原方程，得 于是于是 ( )cosyC xx ( )cos( )sinyCxxC xx ( )cos( )sin( )costansecCxxC xxC xxxx 2( )secCxx ( )tanC xxC 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 29代入代入得到该非齐次方程的通解得到该非齐次方程的通解.把把( )tanC xxC ( )cosyC xx (tan)cosyxCx 解法二解法二 利用通解公式求解，这时必须把方程化成利用通解公式求解，这时必须把方程化成(5)的形式有的形式有 ( )tan , ( )secP xx Q
19、 xx 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 30故故 ( )d( )d( )dP xxP xxyeQ x exC tan dtan dsecdx xx xexexC lncoslncossecdxxexexC 2cossecdxx xC (tan)cosxCx 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 31例例11解解( )cot ,p xx ( )2 sin ,Q xxx cotcot 2 sinxdxxdxyexxedxC 2sin xx dxC lnsinlnsin 2 sinxxexxedxC 求解微分方程求解微分方
20、程 cot2 sindyyxxxdx第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 32例例12 求微分方程求微分方程 满足初始条件满足初始条件的特解的特解.42xyyx 116xy 将原方程变形为将原方程变形为 解解32yyxx 32( ),( )P xQ xxx223()dxdxxxyex edxC 621()6xCx426xCx第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 33所以原方程的通解为所以原方程的通解为 426xCyx把初始条件把初始条件代入上式，得代入上式，得 116xy 46xy 故所求方程的特解为故所求方程的特解为 0
21、C 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 34例例13 求解微分方程求解微分方程解解1( ),P yy sin( ),yQ yy sinydxxdyydy将方程变形为将方程变形为1sindxyxdyyy这是一个一阶线性微分方程，其中这是一个一阶线性微分方程，其中第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 3511sindydyyyyxeedyCy 1sin ydyCy 1cos.yCylnlnsinyyyeedyCy 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 3636 内容小结内容小结 可分离变量一阶微方程解法可分离变量一阶微方程解法: :第一步第一步: :分离变量分离变量; ;第二步第二步: :两端积分两端积分-隐式通解隐式通解. .一阶线性微分方程解法一阶线性微分方程解法: :第一种方法第一种方法: :常数变易法常数变易法第二种方法第二种方法: :公式法公式法齐次方程齐次方程: :先变量代换化为可分离变量方程先变量代换化为可分离变量方程
