1、第 1 页 共 4 页 上海科技大学 2019 年攻读硕士学位研究生 招生考试试题上海科技大学 2019 年攻读硕士学位研究生 招生考试试题 科目代码：992 科目名称：数值代数 考生须知： 科目代码：992 科目名称：数值代数 考生须知： 1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、考虑矩阵A ? ?31?2?12?22315?4?16202?1. 找出一个单位下三角阵L ?和一个上三角阵U ?，使得A ? LU。 （8分）2. 使用题 1 中获得的LU分解（即三角分解） ，求解线性方程组Ax ? y
2、，其中y ? ?0010?。 （8 分）3. 求A的行列式。 （4 分）4. 题 1 获得的L ?和U ?是否是唯一满足A ? LU的单位下三角阵和上三角阵？为什么？（5 分）5. 是否存在一个A的 Cholesky 分解？如果你认为存在，求出该 Cholesky 分解；如果你认为不存在，请说明理由。 （5 分）二、考虑矩阵A ?，m ? n。假设 A 共有k个非零的奇异值? ? ?，1 ? k ? n，并且令 ? ?为对角元是?,?,?的对角阵。1. 证明存在U ?和 V ?满足U?U ? 和V?V ? I（I表示单位矩阵） ，科目代码：992科目名称：数值代数第 2 页 共 4 页 使得
3、A ? UV?。另外，这样的U 和 V是否一定唯一？为什么？（10 分）2. 证明上述V的每一列均为A?A的一个特征向量。另外，找出其对应的特征值。（6 分）3. 令y ?并假设A的秩为n。用上述U，V， 以及 y 来表示线性方程组 Ax ?y 的最小二乘解。 （7 分）4. 现在考虑m ? n ? k的情况。证明A 关于 2 范数的条件数?A? ? A ? A?（7 分）三、假设我们获得了 m 组数据?s?,g?，i ? 1,2,.,m，s? ，g? ，并希望找到x?,x?,x? ，1 ? 使得?x?s? x?s? ? x?s? x?g?最小。已知上述问题可以表达成一个最小二乘问题min?
4、Ax ? b ?，其中x ? ?x?x? ?。1. 用?s?,g?， i ? 1,2,.,m表示出最小二乘问题中的矩阵A ?和向量b ?。（8 分）2. 上述最小二乘问题的最小二乘解是否一定唯一？如果是，请阐述理由；否则请提供数据?s?,g?， i ? 1,2,.,m需要满足的条件， 以使最小二乘解唯一。（7 分）3. 现假设该最小二乘问题具有唯一的最小二乘解。 我们对 A 进行 QR 分解， 得到A ? Q? R 0?其中Q ? ?q?q? ?是正交矩阵，R ?是上三角阵。证明R 为满秩。另外，用q?,q? ?，R以及 b 来表示该最小二乘解。 （10 分）4. 继续假设该最小二乘问题具有唯
5、一的最小二乘解。写出采用最速下降法解决该最小二乘问题的算法形式。方便起见，算法可直接使用A 和 b 进行表示。 （10分）四、 考虑采用共轭梯度法求解线性方程组Ax ? b， 其中A ?为对称正定矩阵，b ?。令x ?为该线性方程组的解。已知共轭梯度法可表达成以下形式：科目代码：992科目名称：数值代数第 3 页 共 4 页 x? x? ?d? ， k ? 0,1,2,其中? 为步长， d? ?为搜索方向， x? ?为k次迭代后对于x的估计值。已知共轭梯度法的搜索方向满足span?d?,d? ? span?r?,Ar?,A?r?,A?r?，其中r? b ? Ax?。1. 证明对于所有的k ?
6、1，b ? Ax? r? A span?r?,Ar?,A?r?,A?r?（7 分）2. 已知共轭梯度法产生的序列?x?满足?x? x?A?x? x? ? 2?A? ? 1?A? ? 1?x? x?A?x? x?， k ? 0,1,2,其中?A? ? A ? A?为 A 关于 2 范数的条件数。根据上面的不等式给出?x?关于 1 范数的收敛速度，即找出C ? 0和q ?0,1?，使得 x? x? Cq? x? x?， k ? 0,1,2,（10 分）3. 令k ? 2。假设存在z x? span?r?,Ar?,A?r?,A?r?使得不等式?z?Az ?b?z ?x?Ax ? b?x对于所有的x
7、x? span?r?,Ar?,A?r?,A?r?都成立。找出z和共轭梯度法产生的 x?之间的关系。（5 分）4. 现在令A ? ?2112?， b ? ?10?并且让共轭梯度法的初始值x? ?00?。 求出共轭梯度法每次迭代产生的步长和搜索方向。 （8 分）五、考虑采用具有如下形式的单步线性定常迭代法求解线性方程组Ax ? b，其中 A ?为非奇异，b ?：x?x? g,k ? 0,1,2科目代码：992科目名称：数值代数第 4 页 共 4 页 其中M ?，g ?，x? ?。1. 证明如果max?|M?|? 1，其中M? 为矩阵M第i行第j列的元素，那么上述单步线性定常迭代法产生的序列?x?收
8、敛。 （5 分）2. 现假设n ? 5。把上述单步线性定常迭代法中的M分别取为M? ?和M? ?，且已知 M?有两个复数特征值?j，?j 和三个实数特征值?，?，?， M?有两个复数特征值?j，?j 和三个实数特征值?，?， ?。那么这两个单步线性定常迭代法各自产生的序列?x?是否收敛？为什么？（8 分）3. 如果采用幂法求解题 2 中M?和M?的谱半径，那么哪个矩阵对应的幂法收敛速度更快？为什么？（4 分）4. 假设A ? ?3124?，b ? ?52?。如果选择M ? ?，是否能够让上述单步线性定常迭代法收敛到Ax ? b的解？如果能够实现， 选择一个合适的g； 如果不能实现，请说明原因。 （8 分）
