1、第第2章章 逻辑代数基础逻辑代数基础数字电子技术基础数字电子技术基础教学课件教学课件逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算2.2逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.4逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式32.3概述概述32.132.5逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法目录目录广东工业大学 自动化学院具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简2.7逻辑函数的化简逻辑函数的化简32.6目录广东工业大学 自动化学院2.1 概述概述广东工业大学 自动化学院逻辑代数是从哲学领域中的逻辑学发展而来的。逻辑代数是从哲学领域中的逻辑学发展而来的。 1847
2、1847年年, ,英国数学家乔治英国数学家乔治布尔布尔(G.Boole)(G.Boole)提出了用数学分提出了用数学分 析方法表示命题陈述的逻辑结构，并成功地将形式逻辑归结为析方法表示命题陈述的逻辑结构，并成功地将形式逻辑归结为 一种代数演算，从而诞生了著名的一种代数演算，从而诞生了著名的“布尔代数布尔代数”。 19381938年年，克劳德，克劳德向农向农(C.E.Shannon)(C.E.Shannon)将布尔代数应用于将布尔代数应用于 电话继电器的开关电路，提出了电话继电器的开关电路，提出了“开关代数开关代数”。 随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触随着电子技术的发展，集成电
3、路逻辑门已经取代了机械触 点开关，故点开关，故“开关代数开关代数”这个术语已很少使用。为了与这个术语已很少使用。为了与“数字数字 系统逻辑设计系统逻辑设计”这一术语相适应，人们更习惯于把开关代数叫这一术语相适应，人们更习惯于把开关代数叫 做做逻辑代数。逻辑代数。 逻辑代数是数子系统逻辑设计的理论基础和重要数学工具！逻辑代数是数子系统逻辑设计的理论基础和重要数学工具！2.1 概述概述广东工业大学 自动化学院逻辑逻辑： 指事物的因果关系指事物的因果关系 逻辑运算逻辑运算：逻辑变量与及常量之间逻辑的推理运算，：逻辑变量与及常量之间逻辑的推理运算，不是数量之间的运算。不是数量之间的运算。 逻辑代数描述
4、客观事物间的逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系逻辑关系，相应的函数，相应的函数称称逻辑函数逻辑函数，变量称，变量称逻辑变量逻辑变量。 逻辑变量和逻辑函数的取值都只有逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个两个，通常用，通常用 1和和 0 表示。表示。 与普通代数比较与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。 相似处：相似处： 相异处：相异处：2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算广东工业大学 自动化学院 逻辑代数是一个封闭的代数系统，它由一个逻逻辑代数是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集，常量辑变量集，常量0和和1以
5、及以及“与与”、“或或”、“非非”三种基三种基本运算所构成。本运算所构成。 下面用三个指示灯的控制电路来分别说明三种基本下面用三个指示灯的控制电路来分别说明三种基本逻辑运算的物理意义。逻辑运算的物理意义。2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算广东工业大学 自动化学院 与与（AND） 或或（OR） 非非（NOT） 设设开关开关A、B为逻辑变量，约定开关为逻辑变量，约定开关闭合闭合为逻辑为逻辑1、开关开关断开断开为逻辑为逻辑0；设；设灯灯为逻辑函数为逻辑函数Y，约定，约定灯亮灯亮为逻辑为逻辑1，灯灭灯灭为逻辑为逻辑0。 广东工业大学 自动化学院只有只有决定某一事件发生的多个条件决
6、定某一事件发生的多个条件同时同时具备时，具备时， 事件才能发生，则这种因果关系称之为事件才能发生，则这种因果关系称之为“与与”逻辑。逻辑。A BA BY Y0 00 00 00 10 10 01 01 00 01 11 11 12.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算-将逻辑变量所有可能取值的组合与其一一对将逻辑变量所有可能取值的组合与其一一对应的逻辑函数值之间的关系以表格的形式表示出应的逻辑函数值之间的关系以表格的形式表示出来，叫做来，叫做逻辑函数的真值表逻辑函数的真值表。广东工业大学 自动化学院2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算Y = A AND B
7、= A&B=AB=AB=AB广东工业大学 自动化学院在决定某一事件发生的多个条件中，只要有在决定某一事件发生的多个条件中，只要有一个一个 或或一个以上一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因条件成立，事件便可发生，则这种因 果关系称之为果关系称之为“或或”逻辑。逻辑。A BA BY Y0 00 00 00 10 11 11 01 01 11 11 11 12.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算广东工业大学 自动化学院2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算Y = A OR B = A + B = AB广东工业大学 自动化学院如果某一事件的发生取决于条件的如果某
8、一事件的发生取决于条件的否定否定，即事件，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为“非非”逻辑。逻辑。A A Y Y0 0 1 11 1 0 02.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算广东工业大学 自动化学院2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算AAAANOTY 广东工业大学 自动化学院 与非与非(NAND) 2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算 或非或非(NOR) 与或非与或非(AND-OR-INVERT) 异或异或(Exclusive - OR) -若两个输入变量的值相异，输
9、出为1，否则为0。广东工业大学 自动化学院A BY0 00 00 00 10 11 11 01 01 11 11 10 0 BAY 2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算“不同为不同为 1，相同相同为为 0”BABA 广东工业大学 自动化学院同或同或(Exclusive - NOR，即异或非，即异或非) -若两个输入变量的值相同，输出为1，否则为0。A BY0 00 01 10 10 10 01 01 00 01 11 11 1 Y= A B)( BAABBAY2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算“相同为相同为 1，不，不同同为为 0”注意注意：异或和同或
10、互为反函数：异或和同或互为反函数广东工业大学 自动化学院2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算 例例 试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。解：解：Y1有有0出出0 全全1出出1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1Y2Y3 相同出相同出 0 相异出相异出 1广东工业大学 自动化学院2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式一、基本公式一、基本公式根据与、或、非的定义，得根据与、或、非的定义，得P24表表2.3.1的布尔恒等式的布尔恒等式序号序号公公 式式序号序号公公 式
11、式10 1 1 = 0 0; 0 0= 1 110 0 A = 0 0111 1 + A= 1 121 1 A = A120 0 + A = A3A A = A13A + A = A4A A= 0 014A + A = 1 15A B = B A15A +B = B + A6A (B C) = (A B) C16A + (B +C) = (A + B) + C7A (B +C) = A B + A C17A + B C = (A +B)(A +C)8(A B) = A + B18(A+ B) = AB9(A ) = A证明方法：推演证明方法：推演 真值真值表表广东工业大学 自动化学院二、若干常
12、用公式二、若干常用公式(P25)(P25)序序 号号公公 式式21A + A B = A22A +A B = A + B23A B + A B = A24A ( A + B) = A25A B + A C + B C = A B + A CA B + A C + B CD = A B + A C26A (AB) = A B ; A (AB) = A 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式广东工业大学 自动化学院 -在任何一个包含在任何一个包含A的逻辑等式中，若用另一个的逻辑等式中，若用另一个逻辑式代入式中所有逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。的位置，则等式依
13、然成立。 应用举例：应用举例： 式（式（17） A+BC = (A+B)(A+C) 2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围。A+B(CD) = (A+B)(A+C)(A+D) = (A+B)(A+CD)广东工业大学 自动化学院-对任一逻辑式对任一逻辑式Y，若将式中，若将式中原变量反变量反变量原变量，0110YY则可将变换顺序变换顺序 先括号，先括号，然后乘，最后加然后乘，最后加不属于不属于单单个变量的个变量的上的上的反反号保留不变号保留不变2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理广东工业大学 自动
14、化学院 应用举例：应用举例： 例例1： 若若 Y=A(B+C)+CD ，求，求 Y )(DCCBAYDCBDACBCA例例2：若：若 Y=（AB +C）+D）+C ，求，求 Y 2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理 Y=（A +B ）C ）D ）C 广东工业大学 自动化学院 -对任一逻辑式对任一逻辑式Y，若将式中，若将式中0110，DYY 则可求变换顺序变换顺序 先括号，先括号，然后乘，最后加然后乘，最后加 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。即：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。即：利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式。2
15、.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理DDYYYY2121则，若 广东工业大学 自动化学院 应用举例应用举例：)( )(CABAYACABYBCAYCBAYDD则，若则，若ACABCBA)(7）可知：由公式（)(CABABCA2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法一、逻辑函数一、逻辑函数逻辑代数中函数的定义与普通代数中函数的定义类似，逻辑代数中函数的定义与普通代数中函数的定义类似，即即随自变量变化的因变量。随自变量变化的因变量。但和普通代数中函数的概念相但和普通代数中函数的概念相比，逻辑函数具有如下比，逻辑函数具
16、有如下特点：特点： 1逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有0和和1两种可能两种可能 ； 2函数和变量之间的关系是由函数和变量之间的关系是由“或或”、“与与”、“非非”三三种基本运算决定的种基本运算决定的 。 任何一个逻辑电路的功能都可由相应的逻辑函数完全描述，任何一个逻辑电路的功能都可由相应的逻辑函数完全描述，因此，能够借助抽象的代数表达式对电路加以分析研究。因此，能够借助抽象的代数表达式对电路加以分析研究。广东工业大学 自动化学院二、逻辑函数的表示方法二、逻辑函数的表示方法 真值表真值表 逻辑函数式逻辑函数式 逻辑图逻辑图 波形图波形图 卡诺图卡诺图 计算机软件中
17、的描述方式计算机软件中的描述方式 各种表示方法之间可以相互转换各种表示方法之间可以相互转换2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法广东工业大学 自动化学院1、真值表、真值表 若两个逻辑函数若两个逻辑函数相等相等，则它们的，则它们的真值表真值表一定一定相相同同；反之，若两个函数的真值表完全；反之，若两个函数的真值表完全相同相同，则这两，则这两个函数个函数一定相等一定相等。因此，要证明两个逻辑函数是否。因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真值表是否相同即可。值表是否相同即可。2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及
18、其表示方法 -用来反映用来反映输入变量的各种取值组合及其对应输输入变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数值的表格称真值表。出逻辑函数值的表格称真值表。广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2、 逻辑函数式逻辑函数式 -表示输出函数和输入变量逻辑关系的表达式。表示输出函数和输入变量逻辑关系的表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。 逻辑表达式是由逻辑变量和逻辑表达式是由逻辑变量和“或或”、“与与”、“非非” 等逻辑等逻辑运算符以及括号所构成的式子。运算符以及括号所构成的式子。 常用的逻辑表达式有常用的逻辑表达式有与或与或表达式、表达式、或
19、与或与表达式、表达式、与非与非与非与非表达式、表达式、或非或非或非或非表达式、表达式、与或非与或非表达式表达式等。等。广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法3、逻辑图、逻辑图 -由逻辑由逻辑（图形）（图形）符号及相应连线构成的符号及相应连线构成的，用用来表示逻辑变量之间关系的图形称为逻辑电路图，来表示逻辑变量之间关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。简称逻辑图。 4、 波形图（时序图）波形图（时序图） -将输入变量所有可能将输入变量所有可能出现的出现的取值与对应取值与对应的的输输出按时间顺序出按时间顺序依次依次排列起来画成排列起来画成的的时间波形。时间波形。
20、广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法广东工业大学 自动化学院6、 EDA中的描述方式中的描述方式 HDL (Hardware Description Language) VHDL (Very High Speed Integrated Circuit ) Verilog HDL EDIF DTIF 。 2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法5、 卡诺图卡诺图广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法三、各种表示方法间的相互转换三、各种表示方法间的相互转换1. 列真值表列真值表列列真真值值表表方方法法 ( (1) )按按
21、 n 位二进制数递增的方式列位二进制数递增的方式列 出输入变量的各种取值组合。出输入变量的各种取值组合。( (2) ) 分别求出各种组合对应的输出分别求出各种组合对应的输出 逻辑值填入表格逻辑值填入表格。广东工业大学 自动化学院举例：举重裁判电路举例：举重裁判电路（ P29 ）A B C Y0 0 00 0 00 0 10 0 10 1 00 1 00 1 10 1 11 0 01 0 01 0 11 0 11 1 01 1 01 1 11 1 12.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 设开关设开关 A、B、C断开断开时为时为 0 状状态，态，闭合闭合时为时为 1 状态；灯状态；灯Y
22、亮亮时为时为 1 状态，灯状态，灯灭灭时为时为 0 状态。则可列状态。则可列出真值表为出真值表为3 个输入变量有个输入变量有 23 = 8 种取值组合。种取值组合。00000111( (1) )找出函数值为找出函数值为 1 的项。的项。( (2) )将这些项中输入变量取值为将这些项中输入变量取值为 1 的用的用原变原变量量代替，取值为代替，取值为 0 的用的用反变量反变量代替，则得到代替，则得到一系列一系列与项与项( (乘积项）乘积项）。( (3) )将这些与项相加即得逻辑式。将这些与项相加即得逻辑式。广东工业大学 自动化学院2. 真值表真值表 逻辑式逻辑式A BCY0000001001000
23、11110001011110111102.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法例如例如: 方法方法: 广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法3. 逻辑式逻辑式 真值表真值表 一般一般首先首先按自然二进制码的顺序列出函数所含逻辑变按自然二进制码的顺序列出函数所含逻辑变量的所有不同取值组合，量的所有不同取值组合，再再确定其对应的函数值。确定其对应的函数值。 例例： 列出下面逻辑函数的真值表列出下面逻辑函数的真值表 解：解：（1）按）按自然二进制码的顺序自然二进制码的顺序列出变量列出变量A、B、C的所有不同取值组合。的所有不同取值组合。（2）逐个逐个将变量将
24、变量A、B、C的各个取值组合的各个取值组合代入逻辑函数中，求出相应的函数值。代入逻辑函数中，求出相应的函数值。A BCY00000101001110010111011101111110广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法3. 逻辑式逻辑式 真值表真值表 一般首先按自然二进制码的顺序列出函数所含逻辑变一般首先按自然二进制码的顺序列出函数所含逻辑变量的所有不同取值组合，再确定其对应的函数值。量的所有不同取值组合，再确定其对应的函数值。 例例： 列出下面逻辑函数的真值表列出下面逻辑函数的真值表 A BCY000001010011100101110111011111
25、10快捷的快捷的方法？方法？广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法4. 逻辑式逻辑式 逻辑图逻辑图 -用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。 例如例如: )(CBAY 先括号，然后与，先括号，然后与，用两级电路实现用两级电路实现广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法5. 逻辑图逻辑图 逻辑式逻辑式 -从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式 例如例如: )( BAB)(BAA)()( BABA)()()(BABABABA BABABA广东
26、工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法6. 波形图波形图 真值表真值表A BCY00000 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 01 1 1 1广东工业大学 自动化学院四、逻辑函数的两种标准形式四、逻辑函数的两种标准形式2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法任何一个逻辑函数，其表达式的形式都任何一个逻辑函数，其表达式的形式都不是唯一不是唯一的。下的。下面从分析与应用的角度出发，介绍逻辑函数表达式的面从分析与应用的角度出发，介绍逻辑函数表达式的基本形基本形式式、标准形式标准形式及其相互转换。及其相互转
27、换。 例如例如 CBBAY)(CBBA)()( CBBA)()( CBBA)(BCBA与或与或表达式表达式 或与或与表达式表达式 与非与非 - - 与非与非表达式表达式 或非或非 - - 或非或非表达式表达式 与或非与或非表达式表达式 广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法-“与与- -或或”表达式和表达式和“或或- -与与”表达式。表达式。 1.1.“与与- -或或”表达式表达式-指由若干指由若干“与项与项”进行进行“或或”运算构成的表达式。运算构成的表达式。 每个每个“与项与项”可以是单个变量的原变量或者反变量，也可可以是单个变量的原变量或者反变量，也可以
28、由多个原变量或者反变量相以由多个原变量或者反变量相“与与”组成。组成。 CCABBACBAY)(、例如例如： “与项与项”又被称为又被称为“乘乘积项积项”或或 “积项积项”，相应地相应地“与与-或或”表表达式又称为达式又称为“积之和积之和”表达式。表达式。 广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.2.“或或- -与与”表达式表达式-指由若干指由若干“或或项项”进行进行“与与”运算构成的表达式。运算构成的表达式。 每个每个“或或项项”可以是单个变量的原变量或者反变量，也可可以是单个变量的原变量或者反变量，也可以由多个原变量或者反变量相以由多个原变量或者反变量相
29、“或或”组成。组成。 CCBABACBAY)()(、例如例如： “或或项项”又被称为又被称为“和和项项”，相应地相应地“或或-与与”表达式又称为表达式又称为“和和之之积积”表达式。表达式。 但不论什么形式都可以变换成两种基本形式。但不论什么形式都可以变换成两种基本形式。 逻辑函数表达式可以被表示成任意的混合形式。例如，逻辑函数表达式可以被表示成任意的混合形式。例如， B)CBC)(AB(AF(A,B,C)广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法逻辑函数的两种基本形式都不是逻辑函数的两种基本形式都不是唯一唯一的。的。例如例如： BCCAABF为了在逻辑问题的研究中
30、使逻辑功能能和为了在逻辑问题的研究中使逻辑功能能和唯一唯一的逻的逻辑表达式对应，引入了逻辑函数表达式的辑表达式对应，引入了逻辑函数表达式的标准形式标准形式。逻。逻辑函数表达式的标准形式是建立在辑函数表达式的标准形式是建立在最小项最小项和和最大项最大项概念概念的基础之上的。的基础之上的。 CAAB广东工业大学 自动化学院 m是乘积项是乘积项 包含包含n个因子个因子 n个变量均以个变量均以原变量原变量和和反变量反变量的形式在的形式在m中出现一次中出现一次n个个变量可以变量可以构成构成2n个最小项个最小项2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法（1）最小项定义（）最小项定义（n变量的逻辑函数
31、）变量的逻辑函数）（P35）（2）最小项的数目）最小项的数目广东工业大学 自动化学院最小项举例：最小项举例： 两变量两变量A, B的最小项的最小项 三变量三变量A,B,C的最小项的最小项）4个（22ABBABABA,）8个（32ABCCABCBACBABCACBACBACBA,2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法广东工业大学 自动化学院最小项最小项取值取值对应的对应的十进制数十进制数编号编号A B C0 0 00 0 00m00 0 10 0 11m10 1 00 1 02m20 1 10 1 13m31 0 01 0 04m41 0 11 0 15m51 1 01 1 06m61
32、 1 11 1 17m72.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法（3）最小项的编号）最小项的编号CBACBACBA CBA CBACBA CBA CBA -用用mi表示最小项。表示最小项。（以（以3个变量为例）个变量为例） 3 变量全部最小项的真值表A B Cm0m1m2m3m4m5m6m70 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001 全部最小项的和必为全部最小项的和必为1。ABCABC 任意两个不同的最小项的乘积必为任意两
33、个不同的最小项的乘积必为0。mi mj = 0 广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法（4）最小项的性质）最小项的性质1201niim 任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。（以（以3个变量为例）个变量为例）广东工业大学 自动化学院 两个两个相邻相邻的最小项之和可以的最小项之和可以合并合并，并消去一对因子，并消去一对因子，只留下公共因子。只留下公共因子。BCACBA与BCACBA2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法例：例：（4）最小项的性质）最小项的性质相邻最小项相邻最小项两个最小项中两个最小项中只有一
34、个只有一个变量互为反变量，其余变量变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。 )(CCBABA广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法由若干最小项相由若干最小项相“或或”构成的逻辑表达式称为构成的逻辑表达式称为标准与标准与-或或表达式，也叫做表达式，也叫做最小项表达式最小项表达式。 该函数表达式又可简写为该函数表达式又可简写为 F(A，B，C) = m1 + m2 + m4 + m7 = m(1,2,4,7)例如，如下所示为一个例如，如下所示为一个3变量函数的标准变量函数的标准“与与-或或”表表达式达式 AB
35、CCBACBACBAF(A,B,C)广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法将一个任意逻辑函数表达式转换成标准将一个任意逻辑函数表达式转换成标准与与-或或式有两种式有两种常用方法，一种是常用方法，一种是代数转换法代数转换法，另一种是，另一种是真值表转换法真值表转换法。 （1）代数转换法代数转换法 -就是利用逻辑代数的公理、定理和规则进行逻辑变就是利用逻辑代数的公理、定理和规则进行逻辑变换，将函数表达式从一种形式变换为另一种形式。换，将函数表达式从一种形式变换为另一种形式。 一般步骤如下：一般步骤如下： Step1：先先将函数表达式变换成将函数表达式变换成一般一般
36、“与与-或或”表达式。表达式。 Step2：反复使用反复使用将表达式中所有非最小项的将表达式中所有非最小项的“与项与项”扩展成最小项。扩展成最小项。 )YX(YX五、逻辑函数形式的变换五、逻辑函数形式的变换广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法例例1：)7 , 6 , 3(m)(AABCCABBCAABCCABBCCABCBAY),(将逻辑函数表达式将逻辑函数表达式 转换成标转换成标准准“与与-或或”表达式。表达式。 BCCABCBAY),(（1）代数转换法代数转换法 广东工业大学 自动化学院例例2：)(),( ABCBBACBAY)()( ABCBBAABC
37、BBA )()(ABCBBA)(ABBCCABA)7 , 6 , 3 , 1 , 0(m2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法将逻辑函数表达式将逻辑函数表达式 转转换成标准换成标准“与与-或或”表达式。表达式。 )( ABCBBAY(A,B,C)解解 : Step1 将函数表达式变换成将函数表达式变换成一般一般“与与-或或”表达式。即：表达式。即：Step2 把把“与与-或或”式中非最小项的式中非最小项的“与项与项”扩展成最小项。扩展成最小项。)()()()(),(CCABBCAABBCACCBACBAYCABABCBCAABCCBABCACBACBA广东工业大学 自动化学院2.5
38、逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法（ 2 ） 真值表真值表转换法转换法 逻辑函数的最小项表达式与真值表具有逻辑函数的最小项表达式与真值表具有一一对应一一对应的关的关系系，因此，可以通过函数的真值表写出最小项表达式。因此，可以通过函数的真值表写出最小项表达式。 由于函数的真值表与函数的标准表达式之间存在一一对由于函数的真值表与函数的标准表达式之间存在一一对应的关系，而任何个逻辑函数的真值表是唯一的，可见，任应的关系，而任何个逻辑函数的真值表是唯一的，可见，任何一个逻辑函数的标准形式也是唯一的。何一个逻辑函数的标准形式也是唯一的。 广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数
39、及其表示方法例例 ：BCCABCBAY),(将逻辑函数表达式将逻辑函数表达式 转换成标转换成标准准“与与-或或”表达式。表达式。 解解:首先首先，列出，列出Y的真值表如下表所示的真值表如下表所示:ABCCABBCAY(A,B,C)然后然后，根据真值表可直接写出，根据真值表可直接写出Y的最小项表达式的最小项表达式 。A BC Y00000010010001111000101011011111),m(763 广东工业大学 自动化学院2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法写写出出 的的与非与非表达式。表达式。CBBAY)()( CBBA)( CBBAY例例 ：还原律还原律摩根定律摩根定律广
40、东工业大学 自动化学院（例例.）2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法)(CBBAY)()( CBBA) )(CBBAY例例 ：还原律还原律摩根定律摩根定律或非或非式：或非或非式：)(BCBA摩根定律摩根定律与或非式：与或非式：广东工业大学 自动化学院2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法实现某一逻辑功能的逻辑电路的复杂性与描述该功能的实现某一逻辑功能的逻辑电路的复杂性与描述该功能的逻辑表达式的复杂性直接相关。一般说，逻辑函数表达式越逻辑表达式的复杂性直接相关。一般说，逻辑函数表达式越简单，设计出来的相应逻辑电路也就越简单。简单，设计出来的相应逻辑电路也就越简单。由于由于“与与
41、-或或”表达式和表达式和“或或-与与”表达式可以很方便地表达式可以很方便地转换成任何其他所要求的形式。因此，从这两种基本形式出转换成任何其他所要求的形式。因此，从这两种基本形式出发讨论函数化简问题，并将重点放在发讨论函数化简问题，并将重点放在“与与-或或”表达式的化表达式的化简上。简上。 为了降低系统成本、减小复杂度、提高可靠性，必须对逻为了降低系统成本、减小复杂度、提高可靠性，必须对逻辑函数进行化简。辑函数进行化简。 逻辑函数化简有逻辑函数化简有3种常用方法。种常用方法。即：即：代数化简法代数化简法、卡诺卡诺图化简法图化简法和和列表化简法列表化简法。 广东工业大学 自动化学院CBACYACD
42、CBABCY21 化简的目的：化简的目的：2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法例例 ：CABCFCAABCF21 最简与最简与 - - 或式标准或式标准： ( (1) )乘积项乘积项( (即与项即与项) )的个数最少的个数最少( (2) )每个乘积项中的变量数最少每个乘积项中的变量数最少 与门个数最少与门个数最少与门与门的输入端的输入端数最少数最少广东工业大学 自动化学院2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法 -反复应用基本公式和常用公式，消去多余反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子，的乘积项和多余的因子，得到最简形式。得到最简形式。一、公式（代数）化简法一、
43、公式（代数）化简法 这种方法没有固定的步骤可以遵循，主要取决于这种方法没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对逻辑代数中对逻辑代数中基本公式基本公式、定理和规则的熟练掌握及、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。灵活运用的程度。 几种常用方法如下：几种常用方法如下： 广东工业大学 自动化学院2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法项法项法运用运用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。将两项合并为一项，并消去一个变量。 ABAABCBACBAYBA )()(CBCBACBBCAY)()(CBACBAA 运用运用A+AB =A 吸收吸收多余的与项。多余的与项。 广东工业大学 自动化学院2.6 逻辑
44、函数的化简方法逻辑函数的化简方法2 2. .吸收吸收法法CA )(EFDCABCAYBCA BCDACBBCAAY )()()()(DACBBCABCA广东工业大学 自动化学院2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法项法项法运用运用 ，消去多余的，消去多余的与项。与项。 CAABBCCAAB)(CBBAACYCBBAACCBACBDDCDAABCYBDCADABC)(BDDACACB )(DACACB)(DCDAABC广东工业大学 自动化学院2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法4 4. .消因子消因子法法运用吸收律运用吸收律 ，消去多余因子。，消去多余因子。BABAACBCAABY
45、CBAAB)(CABAB)(CAB CDBAABCDBABAY)(BAABCDBABA)()(BACDBACDBA)(CDBABA广东工业大学 自动化学院2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法实际应用中遇到的逻辑函数往往比较复杂，化简时应灵实际应用中遇到的逻辑函数往往比较复杂，化简时应灵活使用所学的公理、定理及规则，综合运用各种方法。活使用所学的公理、定理及规则，综合运用各种方法。（参（参见见P42例例2.6.7） 代数化简法的优点：代数化简法的优点：不受变量数目的不受变量数目的限制限制；当对公理、定；当对公理、定理和规则十分熟练时，化简比较方便。理和规则十分熟练时，化简比较方便。 代数
46、化简法的代数化简法的缺点缺点：没有一定的规律和步骤，技巧性很强，没有一定的规律和步骤，技巧性很强，而且在很多情况下难以判断化简结果是否最简。而且在很多情况下难以判断化简结果是否最简。 2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法广东工业大学 自动化学院二、卡诺图化简法二、卡诺图化简法卡诺图是最小项按一定卡诺图是最小项按一定规则排列成的方格图。规则排列成的方格图。 卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。故又称为最小项方格图。 结构特点：结构特点：(1) n个变量的卡诺图由个变量的卡诺图由2n个小方格构成；个小方格
47、构成；(2) 几何图形上处在几何图形上处在相邻、相对、相重相邻、相对、相重位置的小方格所位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。代表的最小项为相邻最小项。 卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，但任何一种排卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，但任何一种排 列方案都必须具备以上特点。列方案都必须具备以上特点。 2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法变量取变量取 0 的代以反变量的代以反变量 取取 1 的代以原变量的代以原变量AB二二变变量量卡卡诺诺图图010 10 00 11 01 10 00 1AB010 1m0m1m2m3 0 1 2 3ABAAB BABABABAB2.6 逻辑函数的化
48、简方法逻辑函数的化简方法三三变变量量卡卡诺诺图图ABC0100 11 10 m6 m7 m4 m2 m3000 m0 m5001 m1 6 7 5 4 2 3 1 0 以循环码排列以保证相邻性以循环码排列以保证相邻性 01广东工业大学 自动化学院2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法四四变变量量卡卡诺诺图图 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCD0001111000 01 11 10广东工业大学 自动化学院五变量的卡诺图五变量的卡诺图2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法广东工业大学 自动化学院2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法
49、ABCDCDDCDCDCBABAABBAABCDCDBADCBADCBADCBADCBADBCABCDACDBADCBADCBADCBADCABDCABDABCDCBA相邻项相邻项在在几何位置几何位置上也相邻上也相邻卡诺图特点：卡诺图特点：循环相邻性循环相邻性同一列最同一列最上与最下上与最下方格相邻方格相邻同一行最同一行最左与最右左与最右方格相邻方格相邻广东工业大学 自动化学院2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法如何写出卡诺图方格对应的最小项？如何写出卡诺图方格对应的最小项？ 已知最小项如何找相已知最小项如何找相应小方格？应小方格？ 例如例如: 原变量取原变量取 1，反变量取，反变量取
50、 0。DCBA1001 ？ABCD0001111000 01 11 10 ABCDDCBA1用原变量表示，用原变量表示，0用反变量表示。用反变量表示。广东工业大学 自动化学院2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法 ( (1) ) 求逻辑函数真值表或者标准与求逻辑函数真值表或者标准与 - - 或式或者与或式或者与 - - 或式。或式。 ( (2) ) 画出变量卡诺图。画出变量卡诺图。 ( (3) ) 根据真值表或标准与根据真值表或标准与 - - 或式或与或式或与 - - 或式填图。或式填图。 基基本本步步骤骤用卡诺图表示逻辑函数举例用卡诺图表示逻辑函数举例 例例 试画出函数试画出函数 Y
