1、 第一章第一章 函数与极限函数与极限 主 要 内 容1 1 1、 函数函数 2 2、初等函数、初等函数 3 3、数列的极限、数列的极限 4 4、函数的极限、函数的极限 5 5、无穷大与无穷小、无穷小的比较、无穷大与无穷小、无穷小的比较 6 6、极限运算法则、极限运算法则 7 7、极限存在准则、两个重要极限、极限存在准则、两个重要极限 8 8、函数的连续性与间断点、函数的连续性与间断点 9 9、连续函数的运算与初等函数的连续性、连续函数的运算与初等函数的连续性 1010、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质2 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1、理解一元函数、复合函数的定义；、理解
2、一元函数、复合函数的定义；2、了解函数的表示和函数的简单性态、了解函数的表示和函数的简单性态有界性、单调性、有界性、单调性、奇偶性、周期性；奇偶性、周期性；3、熟悉基本初等函数与初等函数（包含其定义区间、简单、熟悉基本初等函数与初等函数（包含其定义区间、简单性态和图形）；性态和图形）；4、理解数列极限的概念；、理解数列极限的概念；5、了解数列极限的存在准则、了解数列极限的存在准则单调有界准则、夹逼准则；单调有界准则、夹逼准则；6、理解函数的极限的定义、理解函数的极限的定义;7 7、熟练掌握极限的四则运算法则（包括数列极限与函数极、熟练掌握极限的四则运算法则（包括数列极限与函数极限）限） 基基
3、本本 要要 求求38、掌握两个重要极限：、掌握两个重要极限：9、熟悉无穷小量的概念及其运算性质、无穷小量的比较；、熟悉无穷小量的概念及其运算性质、无穷小量的比较；10、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；11、理解函数的连续性的概念、了解函数的间断点的分类；、理解函数的连续性的概念、了解函数的间断点的分类；1212、了解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数性质。、了解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数性质。 基基 本本 要要 求（续）求（续）01sinlim(1)lim1xxxxexx4一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合: :具有某种特
4、定性质的事物的具有某种特定性质的事物的全体全体.组成集合的事物称为该集合的组成集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA 记作记作个体个体总体总体 第一节第一节 函数函数 5数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN .,相相等等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为
5、空集空集.)(记作记作例如例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.62.2.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxab符号符号 表示表示“对每对每(任）一个任）一个”。7bxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间
6、区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.83.3.常量与变量常量与变量: : 在某过程中始终保持一个数值的量称为在某过程中始终保持一个数值的量称为常量常量,注意注意 常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而不断改变数值的量称为而不断改变数值的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示等表示变变量量. 例如：人的身高例如：人的身高,在研究少儿发育成长的过程中是在研究少儿发育成长的过程中是变量变量；
7、而在研究成人的健康状况时通常是；而在研究成人的健康状况时通常是常量常量94.4.绝对值绝对值: : 00aaaaa)0( a运算性质运算性质:;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax.xaxa或绝对值不等式绝对值不等式: ax.baba .axa 10函数概念函数概念例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长nnrSn sin2, 5 , 4 , 3 n3S5S4S6S圆内接正圆内接正n 边形边形Orn )11 邮件的费用依赖与邮件的重量，邮局公布的费用表可根据邮件的费用依赖与邮件的重量，邮局公布的费用表可根据邮件的重量邮件的重量W W确定邮件的费用确
8、定邮件的费用C C。W W1 W2 WNC C1 C2 CN 自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形可以找出在一天中的某个时刻可以找出在一天中的某个时刻t t的温度值的温度值T T。tTo 真空中初速为零的自由落体，下落路程真空中初速为零的自由落体，下落路程S S与时间与时间t t的关系为：的关系为： ，设这一运动花费，设这一运动花费T T秒钟，则秒钟，则t t 0,T0,T。221gts 12因变量因变量自变量自变量.)(,000处处的的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfXx .),()(称称为为函函数数的的值
9、值域域函函数数值值全全体体组组成成的的数数集集XxxfyyXf 数集数集X叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 13函数的表示法有函数的表示法有:公式法、图像法和表格法公式法、图像法和表格法, 这三这三种表述各有特点并可以相互转化种表述各有特点并可以相互转化 例例1 在出生后在出生后 16个月期间内个月期间内,正常婴儿的体重近似正常婴儿的体重近似满足以下关系满足以下关系:xy603., 61x公式法公式法注意注意 在实际问题中在实际问题中, ,定义域是由实际问题决定的定义域是由实际问题决定的. .14tTo370t)(0tT 例例2 监护仪自动记录了某患者一段时间内体温监护仪自动
10、记录了某患者一段时间内体温T的的变化曲线变化曲线,如下图示如下图示: 例例3 某地区统计了某年某地区统计了某年112月中当地流行性出血热月中当地流行性出血热的发病率的发病率,见下表见下表 (月份)()12345678910111216.68.3 7.1 6.5 7.0 10.0 2.5 3.5 5.7 10.0 17.1 7.0ty15例例1 1 求求 y y = =arcsinarcsin 的定义域和值域。的定义域和值域。x2解：解： 120 x函数的定义域为函数的定义域为: : .20:, 21 yx函数的值域为函数的值域为得定义域为得定义域为 x 0 0 且且, 2, 1 x解：解： 0
11、, 2, 1, 0,12xkkxkxx例例2 2 求求xx2arccoscoty 的定义域的定义域 . . 16()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则.xyX)(Xf定义域和对应法则完全相同的两个函数为相同定义域和对应法则完全相同的两个函数为相同函数函数.21xy 例如，例如，.1 , 0 :)(,1 , 1 :XfX 211xy )., 1 :)(),1 , 1(: XfX17例例3 3 判断下列几对函数是否相等判断下列几对函数是否相等. .(1)f(x)=2lnx, (1)f(x)=2lnx, (x(
12、x)=lnx)=lnx2 2 ; ;(2)f(x)=x, (2)f(x)=x, (x(x)=|x|;)=|x|;(3)f(x)=sin(3)f(x)=sin2 2x+cosx+cos2 2x, x, (x(x)=1.)=1.解：解：f(xf(x) )的定义域为的定义域为),0(，(x(x) )的定义域为的定义域为0 x所以它们不相等。所以它们不相等。解：解： f(xf(x) )与与(x(x) )的对应规律不同的对应规律不同 ，所以是不同的函数。，所以是不同的函数。解：解：f(xf(x) )与与(x(x) )的对应规律相同的对应规律相同 ，定义域也相同，定义域也相同，所以所以 f(xf(x)=)
13、=(x(x) )。181函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ;)()(的的减减少少上上是是单单调调增增加加在在区区间间则则称称函函数数Ixf)()(21xfxf 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI例：例：y=x, y=ey=x, y=ex x 在（在（-,+)-,+)内单调增加。内单调增加。)(xfy )(1xf)(2xfxyoI),)()(21xfxf 二、函数的特性二、函数的特性192函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原
14、点对称设设,DxD , )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf.)(为为偶偶函函数数称称xf20有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD ),()(xfxf .)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 例例1 1 判断函数判断函数 的奇偶性的奇偶性. .)1ln()(2xxxfy 解：解：)(1ln()(2xxxf )()1ln(2xfxx f(xf(x) )是奇函数是奇函数. .例例2 2 设设f(xf(x) )在在R R上定义，证明上定义，证明f(xf(x) )可分解为一个奇函数与可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。
15、一个偶函数的和。证明：设证明：设显然显然 g g( (x x) )是偶函数，是偶函数，h h( (x x) )是奇函数是奇函数, ,而而 )()()(),()()(xfxfxhxfxfxg 2)()()(xhxgxf 故命题的证故命题的证. . 223函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的（通常说周期函数的周期周期是指其是指其最小正周期最小正周期）.2l 2l23l 23l在在(无穷无穷)多个正周期中多个正周期中若若存在一个最小数，此最小数称为存在一个最小数，此最小数称为最小正周期最小正周期。,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的()( ).
16、f xlf x且为周为周则称则称)(xf.)( ,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl恒 成 立 ,23一个周期函数有无穷多个周期，一个周期函数有无穷多个周期， 如如y=sin x，2,4均为周期。均为周期。一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数都存在最小正周期都存在最小正周期. 如如: f(x) = c例例 设设 c c 0 , x0 , x (-(- , +, + ), ), f(x+cf(x+c)=-)=-f(xf(x),),证明证明f(xf(x) )为周期函数。为周期函数。证明
17、证明: : f(x+2c)= f(x+2c)=f(x+c)+cf(x+c)+c)=-)=-f(x+cf(x+c)=)=f(xf(x) )f(xf(x) )为周期为为周期为2 2c c的函数的函数. .事实上事实上, , 对任何对任何y y (-(- , +, + ) )都有都有f(x+yf(x+y)=)=f(xf(x).).注意注意24oyM-Mxy=f(x)D有界有界无界无界M-MyxoD0 x,)(, 0,)(MxfDxMxfD 有有若若的的定定义义域域是是设设4函数的有界性函数的有界性:.)(否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数Dxf25),)()(, 0MxfMxfDx
18、M（有若.)(上有上（下）界在则称Dxf注注：1.有界函数一定有上、下界，反之，有界函数一定有上、下界，反之，同时同时有上、有上、下界的函数才是有界的！下界的函数才是有界的！ 2.有界不是绝对的，是相对于所给定的有界不是绝对的，是相对于所给定的D而言的。而言的。 3.有界函数的界不唯一。有界函数的界不唯一。例例 y=siny=sin2 2x, y=x, y=cosxcosx在（在（-,+)-,+)上均为有界上均为有界函数函数,y=x, y=x,y=x, y=x2 2在在(-,+)(-,+)上无界上无界. .26基本初等函数基本初等函数1.幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(
19、112xy xy xy1 xy 二二 初等函数初等函数272.指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 283.对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 294.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin o30 xycos xycos 余弦函数余弦函数o31正切函数正切函数xytan xytan o32xycot 余切函数余切函数xycot o33正割函数正割函数xysec xysec o34xycsc 余割函数余割函数xycsc o355.反三角函数反三角
20、函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数o365.反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数o37xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数o38xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数o39 常数函数，常数函数， 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数统称为三角函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arco40复合函数复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义: 设函数设函数y=f(u),u U，函数，函数u=
21、 (x), x X, 其值域其值域为为 (X)=u|u= (x), x X U，则称函数，则称函数y=f (x)为为x的的复合函数复合函数。,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y代入法代入法41例例 设设,)(,)(xxxgxxf12试求试求)(),(xffxgf).(),(xggxfg解解42221xxxffxxxgf)()(,)()(xxxxxxxggxxxfg21111122)(,)(42注注: :不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 复合函数可以由两个以上的函
22、数经过复合构复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 43)coslg()(xy211 3kxay21 2)(例例 将下列复合函数将下列复合函数“分解分解”为简单函数为简单函数)sin()(cbxay 1xvvuuycos,lg)(211 3解解cbxuuay,sin)( 1kxvuuayv,)(21 2442. 初等函数初等函数定义定义: 由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。运算所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。例
23、：例：不是初等函数不是初等函数为初等函数为初等函数1sin2xeyx1xxy00 xx不是初等函数不是初等函数nnxaxaay10为初等函数为初等函数nnxaxaay1045 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同对应法则用不同的的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.3.分段函数分段函数464.反函数反函数0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(yx 反函数反函数o习惯上习惯上, 反函数反函数 x= (y)写成写成 y = (x) = f 1(x).定义定
24、义1 设有函数设有函数y=f(x)(x X)，其值域，其值域Y=f(X).若对于若对于Y中每一个中每一个y值值, 都可由方程都可由方程f(x)=y确定唯一的确定唯一的x值值:x= (y), 称称为为y=f(x)的的反函数反函数,记作记作x=f-1(y), 读读“f逆逆” 。47)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 48例例1 1.,3 xxy例例2 2 证明若函数证明若函数 y = y = f f (x)(x)是奇函数且存在反函数是奇函数且存在反函数 x = x = f f
25、 1 1(y), (y), 则反函数也是奇函数则反函数也是奇函数。证明：证明： xxy,3的反函数是的反函数是).()()()(1111yfxxffxffyf 反函数是奇函数。反函数是奇函数。例例3 3.0101)(2的反函数的反函数求求 xxxxxf解解: : 当当x x 0 0时时,y,y 1,1,1122 yxxy当当xx0 0时时,y1,x=y-1,y0).解：解： 1）m=n, 原式原式0010101111limbaxbxbbxaxaannnnx 2）mn, 原式原式011lim1010 mmmnmnmnxxbxbbxaaxxa3）mn，原式，原式=.82例例.147532lim23
26、23 xxxxx求求解解.,分分母母的的极极限限都都是是无无穷穷大大分分子子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 ( (无穷小因子分出法无穷小因子分出法) )83020)2(lim)(lim2lim925lim22229519512 xxxxxxxxxxxx例例 592lim0925lim2lim592lim22519222xxxxxxxxxxxxx由上例知，由上例知，又例又例84.,1)1(lim0Nnxxnx ),1(lim22 xxxx练习练习,11lim
27、1mnxxx,323) 2(lim11nnnnn313)32( 21)32(lim323) 2(lim11nnnnnnnn85AC(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 四、两个重要极限四、两个重要极限86,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02
28、lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx87nnnx)11 ( ).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn 21!2)1(1! 11nnnnnnnnnnnn1!)1()1( ).11 ()221)(111 ()!1(1)111 ()221)(111 (!1)111 (! 2111)111 (11nnnnnnnnnnnnxnn先利用单调有界数列必有极限证明先利用单调有界数列必有极限证明ennn)11 (lim(2)exxx )11(lim88,1nnxx 显显然然 ;是是单单调调递递增增的的
29、nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存存在在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e又因为又因为89复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则定理定理 设函数设函数y=f(u)及及u= (x)构成构成复合函数复合函数y= f (x), 在在x0某个去心邻域某个去心邻域, 若若且且 (x) l , 则复合函数则复合函数y= f (x)在在 xx0时时的极限为的极限为Auflxluxx )(lim,)(lim0.)(lim)(lim0Aufxfluxx 说明说明:Aufxfluxuxx )(lim)(lim)(0令令
30、又称变量代换法又称变量代换法90例例6 6.cos1lim)120 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 20)sin(lim21ttt002txtx时，则当令91,5tanlim)20 xxx又又515coslim5sin5lim515cos5sinlim)2000 xxxxxxxxx原式原式xxxarcsinlim)303) 设设 u=arcsinx x0时时u0,1/sin1limsinlim00 uuuuuu原式原式92例例7 7.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1
31、lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例8 8.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 例例9 9 求求131)23(lim xxx解：解：原式原式131)1(21 lim xxx66210)21(lim e93其他几个重要极限其他几个重要极限:axxxxaxaxln/1)1(loglim)1(loglim/100 )1:(ln1lim0 xxxauaxa令令1)1ln(lim0 xxx11lim0 xexx xxxexexxxxxxx)1ln()1ln(1lim1lim1)1(lim)1ln(0)1ln(00)ln(lnxxeex
32、94常用等价无穷小常用等价无穷小,0时时当当 xaxxxxxexxxxxxxxxxax1)1(.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin295定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ).limlim,lim, 则则存在存在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 等价无穷小代换等价无穷小代换求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.96例例1 1.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代
33、换，只可对函数的因子作不能滥用等价无穷小代换，只可对函数的因子作等价无穷小代换。等价无穷小代换。对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意97例例2 2.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 98.)31ln(1limsin0 xexx 求求313sinlim0 xxx原式原式例例3 3解解,0时时当当 x,3)31ln(xx
34、 ,sin1sinxex xxxxxarctan1sin1lim20 例例4 4 xxxxxx1limsinlim03099例例5 已知当已知当x0时，时，1)1(312 ax1cos x与与是等价无穷小，求是等价无穷小，求a ., 12131lim1cos1)1(lim2203120 xaxxaxxx.23 a则则100思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？101思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时x,1)(xxf xxxgsin)( 都是无穷小量都是无穷小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时
35、时x)(xf和和)(xg不不能能比比较较.102103一、连续函数的概念一、连续函数的概念二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质第三节函数的连续性第三节函数的连续性104连续变化的曲线对应的函数为连续函数连续变化的曲线对应的函数为连续函数如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映0 xy1.概念概念.,),(000
36、的的增增量量称称为为自自变变量量在在点点 xxxxxUx .)(),()(0的增量的增量相应于相应于称为函数称为函数xxfxfxfy 一、函数的连续性一、函数的连续性xy00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y )(xfy 曲线不断曲线不断曲线断开曲线断开.),()(0内内有有定定义义在在设设函函数数 xUxf函数函数f(x)随随x的改变而的改变而逐渐改变逐渐改变 有突变现象有突变现象1052.连续的定义连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如如果当自变量的增量果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函对应的
37、函数的增量数的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点 x0 0连续连续, ,x0 0称为称为)(xf的连续点的连续点. .,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是106注：注：1) 函数函数 f(x) 在在 x0 连续的连续的等价等价写法写法(满足定义满足定义1的条件的条件):. )()(lim000 xfxxfx . )()(lim00 xfxfxx 2) 若若 y = f (x) 在在 x0 处不连续，则称处不连续，则称 y
38、 = f(x)在在 x0 处间断。处间断。3) 极限与连续的关系极限与连续的关系: 极限极限 连续连续 连续函数必有极限连续函数必有极限, 有极限不一定是连续函数有极限不一定是连续函数. 例如例如.0/sin, 1/sinlim0处处不不连连续续在在但但函函数数 xxxxxx;)(lim0Axfxx . )()(lim00 xfxfxx 107例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 1083.单侧连续单侧连续;)(),
39、()(,()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()(,),)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf109例例2 2.0, 0, 0, 0,)(/1处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxexfx解解0lim)(lim/100 xxxexf),0(f ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf xxxexf/100lim)(lim110解解abaxxfx
40、x)(lim)(lim00又又afxfxfxx )0()(lim)(lim00ba 例例3 设设 在点在点 处连处连续续,00 xxbxxbxaxf,sin,)(0 x问、应满足什么关系问、应满足什么关系?abbbxbxbxbxxxsinlimsinlim00af)0(1114.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点
41、内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如, 基本初等函数在其定义域上连续基本初等函数在其定义域上连续,初等函数在其初等函数在其定义区间上连续定义区间上连续.112二、四则运算的连续性二、四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如, ,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连
42、续续故故xxxx113极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;意义意义定理定理2 2.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 例如例如, ,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy)(lim0 xfxx ).()()(lim000ufxfxfxx 三、复合函数的连续性三、复合函数的连续性114初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在其在其定义域内不
43、一定连续定义域内不一定连续;例如例如, , 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义. .,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0 0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义. .), 1上上连连续续函函数数在在区区间间 注注:定理定理3 3 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .115:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存在
44、存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf四、函数的间断点四、函数的间断点116可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨
45、论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为为函函数数的的可可去去间间断断点点 x117跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例6 6.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy118如例如例5中中, 2
46、)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy112注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 x119第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例7 7.0, 0, 0,1
47、)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间120例例8 8.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为的的振振荡荡间间注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.121例例9 研究下列函数在研究下列函数在x=0的连续性，若是间
48、断的，的连续性，若是间断的，指出间断点类型。指出间断点类型。.0,10,sin)() 1 xxxxxf（a为任意实数）为任意实数）.0,10,sin)()2 xxxxxf.0,0,1sin)()3 xaxxxf.0,0,1sin)()4 xaxxxxf1sinlim)(lim00 xxxfxx.0),0()(lim0是是连连续续点点 xfxfx解：解：1)1221|sinlim)(lim0000 xxxfxxx=0为跳跃间断点。为跳跃间断点。xx1sinlim0不存在，不存在，x=0为第二类间断点。为第二类间断点。4）01sinlim0 xxx当当a=0时时f4(x)在在x=0处连续。处连续。
49、a0时时 x=0为为f(x)的可去间断点。的可去间断点。1sinlim|sinlim)(lim000000 xxxxxfxxx2)3）123小结小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)124可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x125,)21()21
50、(21sinsin21sin3)21ln(66xxxxxxxxexx 利用定理利用定理2 2及极限的运算法则及极限的运算法则, ,便有便有.)21(lim6)21ln(6lim021sin0sin3eexxxxxxxx 则则如果如果一般地一般地,)(lim, 0)(lim,bxvaxu .)(lim)(bxvaxu 例例10.)21(limsin30 xxx 求求解解 因为因为126定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .ab xyo)(xfy ).()(),()(,)(xffxffbax
