1、导数与微分在经济学中的简单应用导数与微分在经济学中的简单应用一一 、边际分析、边际分析二、二、 弹性弹性 第六节 第四四章 目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回复习复习 成本函数成本函数 、收入函数、利润函数、收入函数、利润函数目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回)(.xCCxC记为记为成本函数成本函数构成的函数关系称为总构成的函数关系称为总所所与产量与产量总成本总成本在生产过程中，产品的在生产过程中，产品的可表示为：可表示为：于是总成本于是总成本本，记为本，记为变化的部分称为变动成变化的部分称为变动成随产品的产量增减而随产品的产量增减而记为记为分称为固定成本分称为固定成本变化的部变化
2、的部不随产品的产量增减而不随产品的产量增减而成本两部分成本两部分本包括固定成本和变动本包括固定成本和变动生产某一种产品的总成生产某一种产品的总成)().(;,:10 xCxCC)()(10 xCCxC成本函数成本函数 目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回0)0(0CCx本本，有有时时的的总总成成本本就就是是固固定定成成当当产产量量xxCxC)()(.记为：记为：简称平均成本简称平均成本本称为平均单位成本，本称为平均单位成本，均摊在单位产量上的成均摊在单位产量上的成平均成本函数一般不是单调函数平均成本函数一般不是单调函数. .注意注意收入函数收入函数目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回收
3、益函数：生产者出售一定数量的产品所得收益函数：生产者出售一定数量的产品所得 到的全部收入。到的全部收入。 它是销量与价格的乘积它是销量与价格的乘积 R=p*Q , , 其中其中 p-产品的价格，产品的价格，Q -销售量销售量 注注QQfQPRPPfQPR)()(1利润函数利润函数目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回由经济理论知：利润由经济理论知：利润= =收益收益- -成本成本:则利润函数为则利润函数为表示，表示，与产量相等，均用与产量相等，均用当市场均衡时，销售量当市场均衡时，销售量Q)()()()()()(pCpRpLLQCQRQLL或或*()0L QQ 当当时时，称称为为盈盈亏亏临临
4、界界点点一、边际分析一、边际分析1 边际函数边际函数设函数设函数 ( )yf x 可导，可导， 称导函数称导函数 ( )fx为为边际函数边际函数 0000()()()limxf xxf xfxx 称称为函数为函数 ( )yf x处的处的瞬时变化率瞬时变化率， 在点在点 0 x也称函数也称函数 ( )yf x在点在点 0 x处的处的边际函数值边际函数值.目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回例例1 设函数设函数2( )yf xx求求y在在 时的边际函数值时的边际函数值 10 x 解解 因为因为 ( )2 ,fxx (10)20,f 这表明当这表明当 10 x 时，时，x 改变一个单位，改变一个
5、单位，y 近似改变近似改变20个单位个单位所以所以 时的边际函数值时的边际函数值10 x 目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回2 边际成本边际成本目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回设设C为总成本，为总成本， C1为固定成本，为固定成本， C2为可变成本，为可变成本， C为为平平均均成成本本，C 为为边边际际成成本本， 为为产产量量，则则有有Q总成本函数总成本函数 12( )( )CCCCQQ平均成本函数平均成本函数 12( )( )( )CCCCC QQQQQQ边际成本函数边际成本函数 d( )( )dCCC QQQ 当产量为当产量为Q Q 个单位时，若再生产一个单为产品，个单位时，
6、若再生产一个单为产品，其经济意义是：其经济意义是：总成本就增加总成本就增加 个单位。个单位。( )C Q Q例例2 设某产品的总成本函数为设某产品的总成本函数为21( )216010CC QQQ，求求 (1)(1)Q Q =10=10时的总成本时的总成本 、平均成本和边际成本；、平均成本和边际成本；(2) 最低平均成本及相应的产量最低平均成本及相应的产量解解 (1)(1)Q Q =10=10时的总成本时的总成本平均成本平均成本161210(10)2 1009010C因边际成本函数因边际成本函数 (10)190(10)191010CC 1( )25C ，QQ故故Q Q =10=10时的边际成本时
7、的边际成本 1()1024.510C (2) 由于平均成本为由于平均成本为 ( )160( )210CC QQQQQ21( )216010CC QQQ，21160( )10C QQ( )040.C 令令，得得唯唯一一驻驻点点QQ33201(40)040200C 2160( )C QQ2160() Q3320 Q最低平均成本为最低平均成本为 40160( )2101040C Q3 边际收益（边际收入）边际收益（边际收入）目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回设某种产品的价格为设某种产品的价格为P，销售量为，销售量为Q， 则该产品的销售则该产品的销售总收益为总收益为R =QP， 如果已知销售量如
8、果已知销售量Q与价格与价格P之间的函之间的函 ( ),PP Q 则则数关系（即需求函数）为数关系（即需求函数）为总收益函数为总收益函数为 ( )( )RR QQPQP Q 平均收益函数为平均收益函数为 ( )( )R QRP QQ边际收益函数为边际收益函数为 d( )( )dRRP QQP QQ 其经济意义是：其经济意义是：在已销售在已销售Q个单位商品的基个单位商品的基础上，再销售一个单位商品所增加的总收入。础上，再销售一个单位商品所增加的总收入。二、最大利润原则二、最大利润原则 设总利润为设总利润为L，则，则( )( )( )LLRC，QQQ( )( )( )LLRC，QQQ取得最大值的必要
9、条件为：取得最大值的必要条件为： ( )LQ( )0,( )( )LRC QQQ即即，于是取得最大利润的必要条件是：于是取得最大利润的必要条件是：边际收益等于边际成本边际收益等于边际成本取得最大值的充分条件是：取得最大值的充分条件是： ( )LQ( )0,( )( )LRC QQQ即即，于是取得最大利润的充分条件是：于是取得最大利润的充分条件是： 边际收益的变化率小于边际成本的变化率边际收益的变化率小于边际成本的变化率 目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回例例3 设某产品的价格与销售量的关系为设某产品的价格与销售量的关系为成本与销售量的关系为成本与销售量的关系为 10,5P Q Q502C
10、 Q Q(1)求销售量为求销售量为10时的总收益、平均收益与边际收益；时的总收益、平均收益与边际收益；(2)求产量为多少时总利润求产量为多少时总利润L最大？最大？解解 (1)因为总收益、平均收益与边际收益函数分别为：因为总收益、平均收益与边际收益函数分别为：2( )( )10,5RPQ QQQQQQQQQ( )( )10,5RP Q QQ QQ Q2( )10,5R Q QQ Q所以当所以当 10 Q Q时，总收益、平均收益与边际收益分别为：时，总收益、平均收益与边际收益分别为： (10)80,R (10)8,R (10)6R 目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回( )502C ，Q QQ
11、 Q所以总利润函数为所以总利润函数为2( )( )( )850,5LRCQ QQQQQQQQQ2( )80,5L Q QQ Q20 Q Q得唯一驻点得唯一驻点2(20)0,5L 故当故当Q Q 20时，总利润最大时，总利润最大 2(20)(20)2,(20)(20)05RCRC 符合最大利润原则符合最大利润原则 此时此时目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回 2( )( )10,5RP总总收收益益函函数数为为Q QQQQQQQQQ(2) 因为成本函数为因为成本函数为三、弹性分析三、弹性分析目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回1、弹性函数、弹性函数 在经济活动中，仅知道绝对改变量在经济活动
12、中，仅知道绝对改变量及绝对变化率是不够的。如及绝对变化率是不够的。如A种商品的种商品的单价为单价为10元，元，B种商品的单价为种商品的单价为200元，元，这两种商品都涨价这两种商品都涨价2元。虽然两种商品的元。虽然两种商品的单价的绝对改变量相同，但与它们各自单价的绝对改变量相同，但与它们各自原价相比，涨价的百分比却大不相同，原价相比，涨价的百分比却大不相同，A种商品涨价种商品涨价20%，B种商品涨价种商品涨价1%，显然，后者比前者容易被消费者接受。显然，后者比前者容易被消费者接受。因此，我们有必要研究相对改变量与相因此，我们有必要研究相对改变量与相对变化率问题，这就是所谓的弹性问题。对变化率问
13、题，这就是所谓的弹性问题。引例引例目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回设函数设函数 yx2， 当当x由由10变到变到12时，时， y就由就由100变到变到144， 即自变量即自变量x的绝对改变量的绝对改变量 2,x 函数函数y的绝对改变量的绝对改变量 44,y 而而 24420%,44%10100 xyxy这表示当这表示当x由由10变到变到12时，时， x产生了产生了20%的改变，的改变，y产生产生了了44%的改变，的改变，这就是自变量和函数的相对改变量这就是自变量和函数的相对改变量 再引入再引入 44%2.2,20%：yxyx该式的含义是：在区间该式的含义是：在区间(10, 12)内，内
14、， 从从x =10开始，开始， x改变了改变了1%，则相应的，则相应的y改变了改变了2.2%， 我们称它为从我们称它为从 x =10到到x =12，函数函数2yx 的平均相对变化率的平均相对变化率 定义定义1 设函数设函数 ( )yf x 在在x点处可导，点处可导， 函数的相对改变量函数的相对改变量 ()( )( )yf xxf xyf x 与自变量的相对改变量与自变量的相对改变量 xx 之之比比：yxyx称为称为函数函数 f (x)从从x到到x +x两点间的弹性两点间的弹性 (或或平均相对平均相对变化率变化率), 0 x 当当时时，( )yxyxf xx：的的极极限限，为为在在称称处处的的弹
15、性弹性（或（或相对变化率，相对变化率，或或相对导数相对导数），）， 记作记作 ( )EyEf xExEx或或 00lim:limxxEyyxyxxyExyxxyy 即即EyxyxExy 仍仍为为 的的函函数数，( )yf x 我我们们称称它它为为的的弹弹性性函函数数， 0 xx 当当时时，00000()()()xxEf xxEyfxExExf x 00 xxEyxxEx 表表示示在在处处，当当x产生产生1%的改变时，的改变时， 0()( )%Ef xf xEx近近似似改改变变了了在应用问题中解释弹性具体意义时，常常略去在应用问题中解释弹性具体意义时，常常略去“近似近似”二字二字 例例4 243
16、xEyEyyxExEx 求求 的的弹弹性性函函数数及及 解解 3,y 3,43EyxxyExyx 23 20.643 2xEyEx 2、需求弹性、需求弹性当不考虑价格以外的其他因素时，商品的需求量当不考虑价格以外的其他因素时，商品的需求量Q Q 是价是价格格P的函数：的函数：( )f P Q Q通常情况下，通常情况下， ( )f P Q Q为单调减少的函数，为单调减少的函数， ()0,fP P与与异异号号. . 故故Q Q00/P P 为为负负数数. .Q Q为了用正数表示需求弹性，在经济学中定义如下：为了用正数表示需求弹性，在经济学中定义如下： 定义定义2 设某产品的需求量为设某产品的需求量
17、为Q Q，价格为，价格为P， ( )f P 可可导导，Q Q需求函数需求函数则该产品在则该产品在P 到到P 之间的之间的需求弹性需求弹性 /()( )/( )f PPf PPP PPf P 为为 Q QQ Q而在而在P处的处的需求弹性需求弹性为：为：0()( )( )lim( )( )PEf PPf PPfPPEPPf Pf P Q Q ( )RPP f P 总总收收益益为为Q Q ( )( )Rf PP fP求求导导得得( ) 1( )( )Pf PfPf P ( )( )(1).R Pf P 由上式可得如下结论：由上式可得如下结论： ( )( )(1).R Pf P (1)1, 当当时时
18、说明需求变动的幅度小于价格变动的幅度，说明需求变动的幅度小于价格变动的幅度， 产品价格的变动对销售量影响不大，称为低弹性产品价格的变动对销售量影响不大，称为低弹性. 0,RR 递递增增，说明提价可使总收益增加，而降价会说明提价可使总收益增加，而降价会使总收益减少使总收益减少.(2)1, 当当时时 说明需求变动的幅度大于价格变动的幅度，说明需求变动的幅度大于价格变动的幅度， 产品价格的变动对销售量影响较大，称为高弹性产品价格的变动对销售量影响较大，称为高弹性. 0,RR 递递减减，说明提价可使总收益减少，而降价会说明提价可使总收益减少，而降价会使总收益增加使总收益增加. =(3)1,当当时时 说
19、明需求变动的幅度等于价格变动的幅度说明需求变动的幅度等于价格变动的幅度. 0,RR 取取最最大大值值. .故可采取薄利多销的策略故可采取薄利多销的策略. 例例5 设某品牌的电脑价格为设某品牌的电脑价格为P(元元)，需求量为，需求量为Q Q，其需求，其需求函数为函数为801002PP（台台）. .Q Q(1) 求求P = 4500时，的边际需求时，的边际需求, 并说明其经济意义并说明其经济意义. (2) 求求P = 4500时，的需求弹性时，的需求弹性, 并说明其经济意义并说明其经济意义. (3) 求求P = 4500时，若价格上涨时，若价格上涨1%, 总收益将如何变化总收益将如何变化?是增加还
20、是减少是增加还是减少?(4) 求求P = 6000时，若价格上涨时，若价格上涨1%, 总收益将如何变化总收益将如何变化?是增加还是减少是增加还是减少?解解 801002( )Pf PPQ Q8050( )PfP (1) 当当P = 4500时，的边际需求为时，的边际需求为 5004500(80)10.504()PPf 其经济意义是当价格其经济意义是当价格P = 4500时，若涨价时，若涨价1元，则需求元，则需求 量下降量下降10台台. 解解 801002( )Pf PPQ Q8050( )PfP 需求弹性为需求弹性为 ( )( )fPPf P ( )( )PfPf P (80)50( )PPf
21、 P ()5028080100PPPP 2(4000)8000PP (2) 当当P = 4500时，的需求弹性为时，的需求弹性为 24500286.72(45004000)()0.80004500 其经济意义是当价格其经济意义是当价格P = 4500时，若价格上涨时，若价格上涨1%，则，则需求减少需求减少0.286%. (3) ()()RR PPPf P Q Q()(),Rf PPfP ( )( )fPPf P 24500(4500),7P 因因为为时时，所以所以 ( )( )ERPR PEPR P 1.()()PR Pf P ( )( )( )( )( )R Pf PPfPf Pf P 1( )( )PfPf P 1 45002510.714.77PEREP 这说明，当这说明，当P4500时时, 若价格上涨若价格上涨1%, 总收益将增加总收益将增加0.714%.(4) 当当P = 6000时，的需求弹性为时，的需求弹性为 2(60004000)(6000)21,80006000 2(4000)8000PP 6000121PEREP 这说明，当这说明，当P6000时时, 若价格上涨若价格上涨1%, 总收益将减少总收益将减少1%.
