1、解析几何课件(第四版)第四章第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面柱面锥面旋转曲面与二次曲面第五章第五章 二次曲线的一般理论二次曲线的一般理论第一章第一章 向量与坐标向量与坐标第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最有效的做法-有系统的把空间的几何结构代数化,数量化.1.第一章第一章 向量与坐标向量与坐标1.1 向量的概念向量的概念1.3 数乘向量数乘向量1.2 向量的加法向量的加法1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射
2、影 1.5 标架与坐标标架与坐标1.7 两向量的数性积两向量的数性积1.9 三向量的混合积三向量的混合积1.8 两向量两向量的向量积的向量积1.10 向量的双重向量积向量的双重向量积2.第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.1 平面曲线的方程平面曲线的方程 2.2 曲面的方程曲面的方程2.4 空间曲线的方程空间曲线的方程 2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程3.第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1 平面的方程平面的方程3.3 两平面的相关位置两平面的相关位置3.2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置3.4 空间直线的方程空间直线的方程3.6 空间两直线的相
3、关位置空间两直线的相关位置3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置3.7 空间直线与点的相关位置空间直线与点的相关位置4.第四章第四章 柱面锥面旋转曲面柱面锥面旋转曲面 与二次曲面与二次曲面4.1 柱面柱面4.3 旋转曲面旋转曲面4.2 锥面锥面 4.4 椭球面椭球面 4.5 双曲面双曲面5.第五章第五章 二次曲线的一般理论二次曲线的一般理论5.1 二次曲线与直线的相关位置二次曲线与直线的相关位置 5.3 二次曲线的切线二次曲线的切线5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线二次曲线的渐近方向、中心、渐近线5.4 二次曲线的直径二次曲线的直径5.6 二次曲线方程的化简与分类二次曲线方程的
4、化简与分类 5.5 二次曲线的主直径和主方向二次曲线的主直径和主方向5.7 应用不变量化简二次曲线方程应用不变量化简二次曲线方程6. 定义定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量，或称或称矢量矢量.向量向量( (矢量矢量) )既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量的几何表示：向量的几何表示：|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .或或以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段.a21MM或或两类量两类量: 数量数量(标量标量):可用一个数值来描述的量可用一个数值来描述的量;有向线段有向线段有向线段的方向表示有
5、向线段的方向表示向量向量的方向的方向.有向线段的长度表示有向线段的长度表示向量向量的大小的大小,1M2M a1.1 1.1 向量的概念向量的概念返回下一页第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.1 1.1 向量向量的的概念概念7.所有的零向量都相等所有的零向量都相等. .ab模为模为1 1的向量的向量. .零向量：零向量： 模为模为0 0的向量的向量. .0单位向量：单位向量：21MMeae或或 定义定义1.1.21.1.2 如果两个向量的模相等且方向如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相同，那么叫做相等向量相等向量. .记为记为ba 定义定义1.1.31.1.3 两个模相等，方向相反的向
6、两个模相等，方向相反的向量叫做互为量叫做互为反向量反向量. .BA互为反矢量互为反矢量与与ABaa 的的反反矢矢量量记记为为a a上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.1 1.1 向量向量的的概念概念8.零向量与任何共线的向量组共线零向量与任何共线的向量组共线. . 定义定义1.1.41.1.4 平行于同一直线的一组向量平行于同一直线的一组向量叫做叫做共线向量共线向量. . 定义定义1.1.5 1.1.5 平行于同一平面的一组向量平行于同一平面的一组向量叫做叫做共面向量共面向量. .零向量与任何共面的向量组共面零向量与任何共面的向量组共面. .上一页返回第一章第一章 向量与向
7、量与坐标坐标 1.1 1.1 向量向量的的概念概念9.abOAB这种求两个向量和的方法叫这种求两个向量和的方法叫三角形法则三角形法则. .OBOA 、OBOAOC 定理定理1.2.11.2.1 如果把两个向量如果把两个向量 为邻边为邻边组成一个平行四边形组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量，那么对角线向量 bacbacOBBOOABbABaOAOba 的和，记做的和，记做与与叫做两矢量叫做两矢量的矢量的矢量到另一到另一端点点，从，从折线的线的端点点得一得一折线线，接连作矢量接连作矢量为为始点点，以空间任意一点，以空间任意一点、设已知矢量设已知矢量定义定义,1 . 2 . 11.2 1.2
8、 向量的加法向量的加法下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.2 1.2 向量的加法向量的加法10.OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.2 1.2 向量的加法向量的加法11.法则推广法则推广求和求和相加可由矢量的三角形相加可由矢量的三角形有限个矢量有限个矢量naaa,21.,12112121122111nnnnnnnnAAAAOAOAaaanaOAAA
9、OAaAAaAAaOAO 的的和和，即即个个矢矢量量就就是是于于是是矢矢量量由由此此得得一一折线线开始，依次次引引自自任任意意点点OA1A2A3A4An-1An 这种求和的方法叫做多边形法则上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.2 1.2 向量的加法向量的加法12.向量减法向量减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab.2 . 2 . 1bacbacacbacb 的的差，并记做，并记做与与叫做矢量叫做矢量时，我们把矢量时，我们把矢量，即，即的和等于矢量的和等于矢量与矢量与矢量当矢量当矢量定义定义上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.2
10、 1.2 向量的加法向量的加法13.1,.a bc 例设互不共线的三矢量与 ，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零矢量,0,0a b cABCABaBCb CAcABBCCA AAabc 证 必要性 设三矢量 ，可以构成三角形，即有，那么即0,0,.abcABa BCbACabACccACc CAa b cABC 充分性 设，作那么所以从而 是的反矢量，因此 ，所以 ，可构成一个三角形ABC上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.2 1.2 向量的加法向量的加法14.2ABCD-EFGH AB = ,AD=AE=AGECabcabc 例在平行六面体中
11、， ，试用 ， ， 来表示对角线，.上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.2 1.2 向量的加法向量的加法15.3例用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.上一页返回abDABCM第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.2 1.2 向量的加法向量的加法16., 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 1.3.1,00.aaaaaaa定义实数 与矢量 的乘积是一个矢量，记做它的模是；的方向，当时与 相同，当时与相反我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法，简称为数乘1.3 1.3 数乘向量数乘向量下一
12、页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.3 1.3 数乘向量数乘向量17.定理定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）第一分配律：）第一分配律：aaa )(baba )(0.ababa设向量，那么向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数 ，使定定理理两个向量的平行关系两个向量的平行关系（3 3）第二分配律：）第二分配律：上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.3 1.3 数乘向量数乘向量18.证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性ab设设,ab 取取取正值，取正值，同向
13、时同向时与与当当 ab取负值，取负值，反向时反向时与与当当 ab.ab 即有即有.同向同向与与此时此时ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，设设ab ，又设又设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.3 1.3 数乘向量数乘向量19.同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aea按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，aeaa| .|aeaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的
14、单位向量一个与原向量同方向的单位向量.上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.3 1.3 数乘向量数乘向量20.例例1 1设设AM是三角形是三角形ABC的中线，求证的中线，求证:证证 1()2AMABAC 如图如图 因为 ,AMABBM AMACCM 2()(),AMABACBMCM 所以 但 0,BMCMBMMB 因而 2AMABAC 即 1()2AMABAC ABCM上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.3 1.3 数乘向量数乘向量21.例例2 2 用向量方法证明：联结三角形两边中点用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半的线
15、段平行于第三边且等于第三边的一半.证证 设设ABC两边两边AB，AC之中点分别为之中点分别为M，N，那么那么MNANAM 1122ACAB 1()2ACAB 12BC 所以所以/MNBC 且且12MNBC 上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.3 1.3 数乘向量数乘向量ABCMN22.,1 . 4 . 12122112121的线性组合的线性组合叫做矢量叫做矢量所组成的矢量所组成的矢量与数量与数量由矢量由矢量定义定义nnnnnaaaaaaaaaa .,)14 . 1(01 . 4 . 1唯一确定唯一确定被被并且系数并且系数，的线性组合，即的线性组合，即是是线性表示，或者说线性表示，
16、或者说可以用矢量可以用矢量线的充要条件是线的充要条件是共共与矢量与矢量，那么矢量，那么矢量如果矢量如果矢量定理定理rexexrererere .共线矢量的基底共线矢量的基底称为用线性组合来表示称为用线性组合来表示这时这时e1.4 1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.41.4向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解23.,24 . 1,2 . 4 . 1212121212121唯一确定唯一确定被被并且系数并且系数）（的线性组合，即的线性组合，即可以分解成可以分解成或者说向量或者说向量线性表示，线性表示，可以用向
17、量可以用向量共面的充要条件是共面的充要条件是与与不共线，那么向量不共线，那么向量如果向量如果向量定理定理reeyxeyexreereereeree .,)34 . 1(,3 . 4 . 1321321321321321唯一确定唯一确定被被并且其中系数并且其中系数的线性组合，即的线性组合，即可以分解成向量可以分解成向量任意向量任意向量线性表示，或说空间线性表示，或说空间可以由向量可以由向量任意向量任意向量不共面，那么空间不共面，那么空间如果向量如果向量定理定理reeezyxezeyexreeereeereee .,21叫做平面上向量的基底叫做平面上向量的基底这时这时ee上一页下一页返回第一章第一
18、章 向量与向量与坐标坐标 1.41.4向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解24. 例例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分互相平分.ABCDEFP1e1e2e3.,321叫做空间向量的基底叫做空间向量的基底这时这时eee.,.,3211321321321关系式关系式线性表示的线性表示的，用用先求先求取不共面的三向量取不共面的三向量就可以了就可以了三点重合三点重合下只需证下只需证两组对边中点分别为两组对边中点分别为其余其余它的中点为它的中点为线为线为的连的连的中点的中点对边对边一组一组设四面体设四面体证证eeeAPeADeACeAB
19、PPPPPPEFFECDABABCD 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.41.4向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解25.),(211AFAEAP 连接连接AF，因为，因为AP1是是AEF AEF 的中线，所以有的中线，所以有 又因为又因为AF是是ACD ACD 的中线，所以又有的中线，所以又有),(21)(2132eeADACAF ,21211eABAE 而而),(41)(2121213213211eeeeeeAP 从而得从而得)3 , 2(),(41321 ieeeAPi同理可得同理可得321APAPAP所以所以.,321三点重合，三点重合，命题得证题
20、得证从而知从而知PPP上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.41.4向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解26.,)44 . 1, 0,)1(2 . 4 . 12122112121关的向量叫做线性无关关的向量叫做线性无关性相性相叫做线性相关，不是线叫做线性相关，不是线个向量个向量那么那么（使得使得个数个数在不全为零的在不全为零的，如果存，如果存个向量个向量对于对于定义定义nnnnnaaanaaanaaann . 0 aa线性相关的充要条件为线性相关的充要条件为一个向量一个向量推论推论.线性相关线性相关量，那么这组向量必量，那么这组向量必一组向量如果含有零向一组向
21、量如果含有零向推论推论.5 . 4 . 1相关相关那么这一组向量就线性那么这一组向量就线性分向量线性相关分向量线性相关如果一组向量中的一部如果一组向量中的一部定理定理.,24 . 4 . 121组合组合向量是其余向量的线性向量是其余向量的线性充要条件是其中有一个充要条件是其中有一个线性相关的线性相关的时，向量时，向量在在定理定理naaan 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.41.4向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解27.6 . 4 . 1是它们线性相关是它们线性相关两向量共线的充要条件两向量共线的充要条件定理定理.7 . 4 . 1件是它们线性相关件是它
22、们线性相关三个向量共面的充要条三个向量共面的充要条定理定理.8 . 4 . 1线性相关线性相关空间任何四个向量总是空间任何四个向量总是定理定理上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.41.4向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解28.x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系. 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标29.xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦
23、限八个卦限2、坐标面与卦限坐标面与卦限 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标30.空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C称为称为点点M的坐标的坐标，x称为横坐标称为横坐标, y称为纵坐标，称为纵坐标， z称为竖坐标称为竖坐标.),(zyxM记为记为3、空间点的直角坐标、空间点的直角
24、坐标 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标31.xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR),(zyxM xyzoijk以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.rOMr kzj yi xr 称为向量称为向量 的的坐标分解式坐标分解式.rN.,kzORj yOQi xOP 设设NMPNOPOROQOP4 4、空间向量的坐标、空间向量的坐标 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标32.显然，显然，MOMr kzj yi x ),(zyx
25、向量的坐标向量的坐标：,zyx , , rx y z记为OMr 向径：向径：.,kzj yi x在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：r(点点M关于原点关于原点O)xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR),(zyxM rN上一页下一页返回),(Mzyx既表示点既表示点第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标33.5、利用坐标作向量的线性运算、利用坐标作向量的线性运算向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,xyzaaaa ,xyzbbbb,xxyyzzabababab,xxy
26、yzzabababab,xyzaaaa;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标34.解解111,AMOMOAxxyyzz 222,MBOBOMxxyyzz 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，例例 1 1 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为两为两已知点，而在已知点，而在AB直线上的点直线上的点M分有向线段分有向线段AB为两部分为两部分AM、MB，使它们的值的比等，使它们的值的比等于某数于某数)1(
27、 ，即，即 MBAM，求分点坐标，求分点坐标. ABMxyzo6、线段的定比分点坐标、线段的定比分点坐标上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标35.由题意知：由题意知：MBAM 111,xxyyzz222,xxyyzz1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标36.定理定理1.
28、5.4 已知两个非零向量7、其它相关定理、其它相关定理111 ,a x y z222,b xyz则则, a b 共线的充要条件是共线的充要条件是 111222xyzxyz定理定理1.5.6 已知三个非零向量111 ,a x y z222,b xyz，则，则, ,a b c 共面的充要条件是共面的充要条件是 333,c xy z1112223330 xyzxyzxyz上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标37.空间一点在轴上的射影空间一点在轴上的射影u AA 过过点点A作作轴轴 u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影
29、影. 1.6 1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.61.6向量在轴上的射影向量在轴上的射影38.空间一向量在轴上的射影空间一向量在轴上的射影uOMM 向量向量r在轴在轴 u上的上的射射影影. e .轴上的分向量轴上的分向量在在称为向量称为向量则向量则向量uOMrMO 为为则称则称设设 , eMO uurrj)(Pr或或记为记为上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.61.6向量在轴上的射影向量在轴上的射影39.关于向量的关于向量的射影定理（射影定理（1.6.11.6.1）ABjuPr cos| AB 证证uABA B B A
30、BjuPrABju Pr cos| AB u 由此定义，由此定义，,xyzaa aa设则,Prajaxx ,Prajayy .Prajazz 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.61.6向量在轴上的射影向量在轴上的射影40.定理定理1 1的说明：的说明：射影为正；射影为正；射影为负；射影为负；射影为零；射影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上射影相等；相等向量在同一轴上射影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.61.6向量在轴上的射影向量在轴上的射影41.关于向量的关于向量的射影定理（射影定理（1.6.21
31、.6.2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.61.6向量在轴上的射影向量在轴上的射影42.关于向量的关于向量的射影定理（射影定理（1.6.31.6.3） ajajuuPrPr 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.61.6向量在轴上的射影向量在轴上的射影43.例例 1 1 设设kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求向
32、量，求向量pnma 34在在x轴轴上的上的射射影及在影及在y轴上的轴上的射影射影向量向量. 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.61.6向量在轴上的射影向量在轴上的射影44.NoImage cos|sFW (其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)启示启示实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.FM1M2s 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积45.ab ,
33、Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的射影的模和另一个向量在这向量的方向上的射影的乘积乘积. .向量向量a与与b的的数量积数量积记记为为ba cos|baba (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角) 定义定义上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积46.关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a
34、, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2 ,2 )0, 0( ba上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积47.数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(baba （3 3）若）若 为数为数： 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积
35、两向量的数量积48.,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积49.xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR),(zyxM rNOMr 由勾股定理由勾股定理OMr 222OROQOP.,kzORj yOQi xOP 由由,zORyOQxOP 有有222zyxr 向量模的坐标表示式
36、向量模的坐标表示式OROQOP向量的模与空间两点间距离公式向量的模与空间两点间距离公式上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积50.xyzo),(222zyxB),(111zyxA),(111zyxA设设),(222zyxB为空间两点为空间两点. . ? ABdOAOBAB 由由222111, ,xyzx y z212121,xx yy zz 212212212zzyyxxAB 空间两点间距离公式空间两点间距离公式ABd 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积51.空间两向量的夹角
37、的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab ),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在规定它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 方向角与方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积52.非零向量非零向量 的的方向角方向角：r非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角方向角. . 、 、 ,0 ,0 .
38、0 xyzo M 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积53.由图分析可知由图分析可知 cos|rx cos|ry cos|rz向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .),(zyxOMr 设设xyzo ),(zyxM 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积54.0222 zyx当当 时，时，,cos222zyxx ,cos222zyxy .cos222zyxz 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回第
39、一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积55.1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征re|rr ).cos,cos,(cos 上式表明，以向量上式表明，以向量 的方向余弦为坐标的向的方向余弦为坐标的向量就是与量就是与 同方向的单位向量同方向的单位向量 rr.re rzryrx,上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积56. cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0
40、zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为：由此可知两向量垂直的充要条件为：上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积57.例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求（，求（1）ba ；（；（2）a与与 b的夹角；（的夹角；（3）a在在 b上的投影上的投影. 解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7
41、 1.7 两向量的数量积两向量的数量积58.例例 2 2 证证明明向向量量c与与向向量量acbbca)()( 垂垂直直.证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积59.1. 引例引例 设设O点为一杠杆的支点点为一杠杆的支点, ,力力F作用于杠杆上作用于杠杆上点点P处处, ,求力求力 F对支点对支点O的力矩的力矩. . 根据物理学知识根据物理学知识, ,力力F对点对点 O的力矩是向量的力矩是向量M, ,其大其大小为小为 |sinMdOP FF|
42、sinF dFOP . . 其中其中d为支点为支点O到力到力F的作用线距的作用线距离离, ,为矢量为矢量F与与OP 的夹角的夹角. .力矩力矩M的方向规定为：的方向规定为：OP , ,F, ,M依次符合依次符合右手螺旋法则右手螺旋法则. . O F d P 1.8 1.8 两向量两向量的向量积的向量积下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积60.因此因此, ,力矩力矩 M是一个与向量是一个与向量OP和向量和向量 F有关的有关的向量向量, ,其大小为其大小为|sinOPF, ,其方向满足： （其方向满足： （1 1）同时垂）同时垂直于向量直于向量
43、OP和和 F； （； （2 2） 向量） 向量 OP, , F, , M依次符合右依次符合右手螺旋法则手螺旋法则. . 2 2 向量积的定义向量积的定义 定义定义2 2 两个向量两个向量a和和b的叉积 （也称为向量积）的叉积 （也称为向量积）是一个向量是一个向量, ,记作记作 a b, ,并由下述规则确定：并由下述规则确定： （1 1） sin( , )a ba ba b （2 2）a b的方向规定为的方向规定为: : 注：注：a b既垂直于既垂直于 a又垂又垂 直于直于b, ,并且按顺序并且按顺序 , ,a b a b符符 合右手螺旋法则合右手螺旋法则. . b a c=a b 上一页下一页
44、返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积61.若把若把a, ,b的起点放在一起的起点放在一起, ,并以并以a, ,b为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形, ,则向量则向量a与与b叉积的模叉积的模 sina ba b 即为该平行四边形的面积即为该平行四边形的面积. . （1 1）a bb a （反交换律）（反交换律）; ; （2 2）()abcb aca （左分配律）（左分配律）; ; （3 3）()bcab aca （右分配律）（右分配律）; ; （4 4）()bcab aca 向量向量积的运算规律：积的运算规律： a b a b 上一页下一页返回第
45、一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积62.例例 试证试证: : 0i ijjkkaa . . 证证 只证只证0aa， 因为， 因为 a与与a平行 （即共线）平行 （即共线） , ,所以其夹角所以其夹角0或或 , ,从而从而sin0, ,因此因此 | |sin0aaaa, , 而模为而模为0的向量为零向量的向量为零向量, ,所以所以 0aa. . 定理定理 两个非零向量平行的充分必要条件是它们的两个非零向量平行的充分必要条件是它们的向向量量积为零向量积为零向量. . 3 3. . 向量积的坐标表示向量积的坐标表示 设设123aaaaijk, ,123bb
46、bbijk, ,注意到注意到 0i ijjkkaa , ,ijk, ,jki, ,kij 应用应用向量向量积的运算规律可得积的运算规律可得 2 33 23 11 31 22 1()()()a ba ba ba ba ba babijk. . 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积63.为了便于记忆为了便于记忆, ,可将可将 a b表示成一个三阶行列式表示成一个三阶行列式, ,计计算时算时, ,只需将其按第一行展开即可，只需将其按第一行展开即可， 即即 123113a baaabbbijk. . 上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐
47、标 1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积64.定义定义 设设已已知知三三个个向向量量a、b、c，数数量量cba )(称称为为这这三三个个向向量量的的混混合合积积，记记为为cba. .cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式 1.9 1.9 三向量的混合积三向量的混合积下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.9 1.9 三三向量的混合积向量的混合积65.（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义： 向量的混合积向量的混合积cbacba )(是这
48、样是这样的一个数，它的绝对值表的一个数，它的绝对值表示以向量示以向量a、b、c为棱的为棱的平行六面体的体积平行六面体的体积.acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.9 1.9 三三向量的混合积向量的混合积66. 已知已知2 cba， 计算计算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba
49、 )(2 2cba . 4 例例1上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.9 1.9 三三向量的混合积向量的混合积67.解解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.9 1.9 三三向量的混合积向量的混合积68.,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中
50、正负号的选择必须和行列式的符号一致.上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.9 1.9 三三向量的混合积向量的混合积,131313zzyyxxAC 69. 1.10 1.10 三向量三向量的三重向量积的三重向量积返回上一页下一页第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.10 1.10 三向量的三重向量积三向量的三重向量积 定义定义1.10.1 给定空间三向量给定空间三向量,先作其中两个向量的先作其中两个向量的向量积向量积,再作所得向量与第三个向量的向量积再作所得向量与第三个向量的向量积,那么最那么最后的结果仍然是一向量后的结果仍然是一向量,叫做所给三向量的双重向量叫做所给三向量的双重向
