2022届天津市南开区高三三模数学试卷(含答案).rar

数学试卷参考答案数学试卷参考答案 第1页（共6页） 20212022 学年度第二学期高三年级阶段练习参考答案 学年度第二学期高三年级阶段练习参考答案 数数 学学 学学 科科 一、一、选择题：选择题： （本题共 9 小题，每题 5 分，共 45 分）题题 号号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 答答 案案 A A C D A C A D C 二、填空题：二、填空题： （本题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分） （10）125； （11）60； （12）0； （13）35； 23（第一个空第一个空 2 分，第二个空分，第二个空 3 分分） ； （14）32 25+； （15）23；589（第一个空第一个空2分，第二个空分，第二个空3分分） 三、解答题：三、解答题： （其他正确解法请比照给分）（其他正确解法请比照给分） （16） （）解：解：因为tan1B =，2a =，3b =，所以由(0, )B，可得4B=， 所以由正弦定理sinsinabAB=，可得22sin12sin33aBAb= （）解：解：因为1sin3A =，ab，可得A为锐角， 所以22 2cos13Asin A=，可得4 2sin22sincos9AAA=，27cos22cos19AA= =， 所以724 227 28cos(2)cos2 cossin2 sin929218ABABAB+=+=+= （） 解：解： 因为122 2224sinsin()sincoscossin32326CABABAB+=+=+=+=， 所以由sinsinacAC=，可得242sin612 21sin3aCcA+= + 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 第2页（共6页） （17） （）证明证明：因为PAD是正三角形，O是AD的中点，所以POAD.又因为CD 平面PAD，PO 平面PAD，所以POCD，ADCDD=，AD，CD 平面ABCD，所以PO 面ABCD. （）解：解：如图，以O点为原点分别以OA，OG，OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0), (2,0,0), (2,4,0),( 2,4,0),( 2,0,0),(0,4,0), (0,0,2 3)OABCDGP，( 1,2, 3),( 1,0, 3)EF，(0, 2,0),(1,2,3)EFEG=. 设平面EFG的法向量为( , , )x y z=m，由00EFEG=mm，得20,230,yxyz=+=令1z =，则( 3,0,1)=m.又平面ABCD的法向量(0,0,1)=n. 设平面EFG与平面ABCD所成的夹角为，所以1cos2=m nm n，所以平面EFG与平面ABCD的夹角为3； （）解：解：假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为6，即直线GM与平面EFG法向量m所在直线所成的角为3. 设,0,1PMPA=，GMGPPMGPPA=+=+，所以(2 , 4,2 3(1)GM=，故23coscos,32 467GM=+m，整理得22320+=，其0 ，无解，所以，不存在这样的点M. 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 第3页（共6页） （18） （）解：解：设椭圆22221xyab+=（0ab） ，由离心率为32，得32ca=， 又因为222abc=+，所以224ab=由()2,1M在椭圆上可得22411ab+=，解得22b =，28a =所以椭圆G的方程为22182xy+= （）解：解：当直线AB与x轴垂直时，设(),A s t（1s ） ，则(),B st由题意得：11122ttss +=，即0s =所以直线AB的方程为0 x = 当直线AB不与x轴垂直时，可设直线AB为ykxm=+，()11,A x y，()22,B xy，将ykxm=+代入22182xy+=得()222148480kxkmxm+=，所以122814kmxxk+= +，2122481 4mx xk=+由已知可得121211122yyxx+=，将11ykxm=+和22ykxm=+代入，并整理得()()()1212212140kx xmkxxm+=，将122814kmxxk+= +，2122481 4mx xk=+代入，并整理得()2+ 2 +1420mkmk+=，可得()()2120kmm+=， 因为直线AB：ykxm=+不经过点()2,1M，所以210km+ ，故2m = 所以直线AB的方程为2ykx=，经过定点()0, 2 综上所述，直线AB经过定点()0, 2 （19） （）解：解：()()()21123122131113131223124aqqaaaaaaaqaqq+=+=+=+=+=或1913aq=（舍）, ()1*3nnan=N. 又()11*3112152nbbbnnbd=N. 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 第4页（共6页） （）解：解：21nk=时，()()2121 211111143414 4341nkkkccbbkkkk+=+， 135211 111 111 111114 154 594 9134 43411 114 14141nSccccnnnnn=+=+=+奇 2nk=时，()122413knkkkcca bk= ()()()246221213 17 311 3+ 41333 37 3+ 453413nnnnSccccSnSnn=+= + += +偶偶偶 由此可得 ()()()()()()()211*223 14 34 3+4 341312 1334133433134333224333=4122nnnnnnnnSnnnnSnnSSSnNn= + +=+=+=+偶偶奇偶 （）解：解： ()()()()()()1111120213241181018103111121212 2 312 312 312 311021131242 2 312 312 2 312 312 2 312 311112 2 312 31102 2nnnnnnnnnnnnnannndaaTnn+=+=+=011111111312 312 312 31142 2 312 31nnnnnnnn+=+ 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 第5页（共6页） （20） （）解：解：由已知可得( )1lng xxaxx=，故可得( )222111axaxgxxxx+= +=. 当(2a ，时，可得( )0gx，故( )g x在()0 + ，单调递增； 当()2a+，时， 由( )0gx=， 解得242aax=， 或242aa+， 记2142aa=，2242aa+=，则可知当x变化时，( )gx，( )g x的变化情况如下表： x ()10， 1 ()12 ， 2 ()2+ ， ( )gx + 0 0 + ( )g x 极大值 极小值 所以，函数( )g x在区间2402aa，单调递增，在区间224422aaaa+，单调递减，在区间242aa+，单调递增. （） （）解：解：由已知，函数( )g x有三个零点1x，2x，3x，且123xxx.由（）知2a 时，( )g x在()0 + ，单调递增，不合题意.下面研究2a 的情况. 由于( )222111axaxgxxxx+= +=，故121=，因此1201 ，又因为( )g x在()12 ，单调递减，且( )10g=，所以()10g，()20g. 又因为()3333 lng aaaaa=+，()3333 lng aaaaa=，由于ln1aa，且2a ，故 ()()()3333333133110g aaaa aaaaa+ + = ， ()()()3333333331331 1110g aaaa aaaaaaa=+ + =+ . 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 第6页（共6页） 因此，( )g x在()31a，恰有一个零点（即在()10，恰有一个零点） ，在()12 ，恰有一个零点（即1x =） ，在()32a，恰有一个零点（即在()2+ ，恰有一个零点）. 所以，a的取值范围是()2 + ，. （） 证明：证明： 由 （） 可知21x =， 且( )f x在()10 x，单调递减， 在()12xx，单调递增， 在()23xx，单调递减，在()3x+ ，单调递增.由此可得()()12f xf x，()()23f xf x .故只需证明()()31f xf x. 因为( )1lng xxaxx=，故( )11lngxaxg xxx=+= ，由此可得131x x =. 由()0ig x=（ 其 中1 2i = ，） ， 可 得1ln0iiixaxx+=， 整 理 得21lniiixaxx=， 故( )2221111 ln2lnlniiiiiiixxf xxxxx=+， 整 理 得( )2211ln12lniiiiixf xxxx= + . 因 此 ，()()()2122111311211112112ln22lnxxxf xf xf xfxxxx+=+. 令21tx=，可知()0 1t，则( )()()213111ln2 ln422lnf xf xttttttt=+. 令( )()211ln2 ln42u ttttttt=+，则( )()()222231ln1441ttttttu tt= +. 令( )()2231ln14tttv tt +=，则( )()()4221041tv tt tt=+，由此可得( )v t在()0 1，单调递减，故( )( )10v tv=，可得( )u t在()0 1，单调递增，故( )( )10u tu=，所以()()120f xf x，因此()()()312f xf xf x. 高三年级阶段练习（数学） 高三年级阶段练习（数学） 第1页（共5页） 20212022 学年度第二学期高三年级阶段练习学年度第二学期高三年级阶段练习 数数 学学 学学 科科 本练习分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共 150 分，作答时间 120分钟第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页 第第 卷卷 注意事项：注意事项： 本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分 参考公式：参考公式： 球的体积公式 V球=43R3，球的表面积公式 V球=4R2，其中 R 表示球的半径锥体的体积公式 V锥体=13Sh，其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 如果事件 A，B 互斥，那么如果事件 A，B 相互独立，那么P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B) 一、选择题：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1）设全集为1 2 3 4 5 6U =，2 3 5UA =，2 5 6B =，则()UAB =（ ） （A）1，4 （B）2，5 （C）6 （D）1，3，4，6 （2）已知命题2:23p xx+和命题:12qx ，则p是q的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在)9 11，的学生人数为25，则n的值为（ ）（A）70 （B）60 （C）50 （D）40 高三年级阶段练习（数学） 高三年级阶段练习（数学） 第2页（共5页） （4）函数2ln2xyx=+，()2 2x ，的图象大致为（ ） （A） （B） （C） （D） （5）已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且( )f x在)0 + ，单调递增，记13log 2af=，()0.32.3bf=，()2log 10cf=，则a，b，c的大小关系为（ ） （A）abc （B）cab （C）bca （D）acb （6）将函数( )2sin3f xx=（0）的图象向左平移3个单位，得到函数( )yg x=的图象，若函数( )g x在区间04，上单调递增，则的值可能为（ ） （A）73（B）13（C）3 （D）4（7）已知双曲线2222:1xyCab=（0a ，0b ）的左顶点与抛物线22ypx=（0p ）的焦点的距离为 ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()12，则双曲线的焦距为（ ） （A）6 5 （B）3 5 （C）6 3 （D）3 3 （8）已知三棱维ABCD中，侧面ABC 底面BCD，ABC 是边长为 6 的正三角形，BCD是直角三角形，且2BCD=，4CD =，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） （A）36（B）48（C）64（D）128（9）设函数21f xx=( )，函数log1ag xf f xx=+( )( ( )-()（01aa，）在区间0 1，上有 3 个零点，则实数 a 的取值范围为（ ） （A）(1，32) （B）(1，2) （C）(32，2) （D）(2，+) 高三年级阶段练习（数学） 高三年级阶段练习（数学） 第3页（共5页） 第第 卷卷 注意事项：注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2本卷共 11 小题，共 105 分 二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 6 个个小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 （10）i是虚数单位，则1 i34i+的虚部为 （11）2nxx的展开式的二项式系数之和为 64， 则展开式中的常数项为 （12）设直线30axy+=与圆()()22124xy+=相交于A，B两点，且弦AB的长为2 3，则实数a= （13）为了抗击新冠肺炎疫情，现在从 A 医院 200 人和 B 医院 100 人中，按分层抽样的方法，选出 6 人加入“援鄂医疗队” ，再从此 6 人中选出两人作为联络员，则这两名联络员中 B 医院至少有一人的概率为_；设两名联络员中 B 医院的人数为X，则随机变量X的数学期望为 （14）已知0a ，0b ，1ab+=，则1123aabb+的最小值为 （15）在等腰梯形ABCD中，已知ABCD，4AB =，2BC =，60ABC=，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BEBC=，19DFDC=，当= 时，则AE AF有最小值为 高三年级阶段练习（数学） 高三年级阶段练习（数学） 第4页（共5页） 三、 解答题： （本大题共三、 解答题： （本大题共 5 个个小题， 共小题， 共 75 分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤）分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤） （16） （本小题满分（本小题满分 14 分）分） 已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan1B =，2a =，3b = （）求sin A； （）求cos 2AB()； （）求c的长 （17） （本小题满分（本小题满分 15 分）分） 如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 4 的正方形，PAD是正三角形，CD 平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点. （）求证：PO 平面ABCD； （）求平面EFG与平面ABCD的夹角的大小； （）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为6，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由. （18） （本小题满分（本小题满分 15 分）分） 已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为32的椭圆经过点2 1M( ，)，动点AB，（不与点M重合）均在椭圆上，且直线MA与MB的斜率之和为 1 （）求椭圆的方程； （）证明直线AB经过定点，并求这个定点的坐标 F G E O C D A B P 高三年级阶段练习（数学） 高三年级阶段练习（数学） 第5页（共5页） （19） （本小题满分（本小题满分 15 分）分） 已知数列 na是公比1q 的等比数列，前三项和为 13，且1232a aa+，恰好分别是等差数列 nb的第一项，第三项，第五项 （）求 na和 nb的通项公式； （） 已知*k N， 数列 nc满足221212nnnnnnkb bca bnk+=，求数列 nc的前2n项和2nS； （）设()()()2810121 21nnnnnadaa+=+，求数列 nd的前n项和nT （20） （本小题满分（本小题满分 16 分）分） 已知函数( )()211 ln2f xxaxaxx=+（aR） ，记( )f x的导函数为( )g x（）讨论( )g x的单调性；（）若( )f x有三个不同的极值点1x，2x，3x，其中123xxx， （）求a的取值范围； （）证明：()( )()312f xf xf x