1、2022届天津市各区高三二模数学分类汇编专题六 空间几何体1. 【2022和平二模】已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（ ）A. B. C. 3D. 2. 【2022南开二模】已知矩形的顶点都在球心为的球面上，且四棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 3. 【2022河西二模】如图，已知某圆锥形容器的轴截面是面积为的正三角形，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（ ）A. B. C. D. 4. 【2022河东二模】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一
2、种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以圆形攒尖为例如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）A. B. C. D. 5. 【2020红桥二模】两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为_.6. 【2022滨海新区二模】已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为28，则该三棱柱的体积为（ ）A 6B. 18C. 12D. 167. 【2022部分区二模】已知一个圆锥的高为，底面直径为，其内有一球与该圆
3、锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（ ）A. B. C. D. 8. 【2022耀华中学二模】已知某圆锥的底面半径为2，母线长为4，该圆锥有一内接圆柱，要使圆柱的体积最大，则圆柱的底面半径应为（ ）A. B. C. D. 9. 【2022天津一中五月考】若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A. B. C. D. 专题六 空间几何体（答案及解析）1. 【2022和平二模】已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（ ）.A. B. C. 3D. 【答案】A【分析】先利用四面体内接于圆锥的内切球
4、，由圆锥的轴截面进行分析，求出正四面体的外接球的半径，再利用正四面体可以从正方体中截得，确定正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，列式求解即可【详解】由题意可知，该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为，球的半径为，圆锥的底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示，由已知可得， 所以SAB为等边三角形，故点P是SA B的中心，连接BP，则BP平分SBA，所以PBO= 30，故，解得，故正四面体的外接球的半径.又正四面体可以从正方体中截得，如图所示，从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得
5、它的正方体的外接球，所以，解得,故选：A2. 【2022南开二模】已知矩形的顶点都在球心为的球面上，且四棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【分析】由题意求出矩形的对角线的长，即截面圆的直径，根据棱锥的体积计算出球心距，进而求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案【详解】解：由题可知矩形所在截面圆的半径即为的对角线长度的一半，由矩形的面积，则到平面的距离为满足：，解得，故球的半径，故球的表面积为：，故选：A3. 【2022河西二模】如图，已知某圆锥形容器的轴截面是面积为的正三角形，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的
6、，则圆柱的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】根据题意，作出轴截面图，进而根据轴截面的面积得正三角形边长为，再结合题意得圆柱的底面半径为，高为，进而计算体积即可.【详解】解：如图，作出轴截面，则根据题意，为正三角形，且面积为，所以，设正三角形的边长为，则，所以，解得，因为圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的，所以，即圆柱的底面半径为，高为，所以，圆柱的体积为 故选：D4. 【2022河东二模】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以圆形攒尖为例如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为，顶角为
7、的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】根据给定条件求出圆锥的高，再利用圆锥体积公式计算即可得解.【详解】依题意，该圆形攒尖的底面圆半径，高，则()，所以该屋顶的体积约为.故选：B5. 【2020红桥二模】两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为_.【答案】【分析】根据球的体积公式，结合球的性质、圆锥的体积公式进行求解即可.【详解】设球的半径为，因为球的体积为，所以有，设两个圆锥的高分别为，于是有且，所以有，设圆锥的底面半径为，所以有，因此这两个圆锥的体积之和为，故答案为：6.
8、【2022滨海新区二模】已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为28，则该三棱柱的体积为（ ）A 6B. 18C. 12D. 16【答案】B【分析】根据球的表面积求出外接球的半径，设出三棱柱的棱长，确认球心位置，结合勾股定理列出方程，解之即可求出结果.【详解】设球的半径为，则，则，设三棱柱的棱长为，连接的外心，则的中点即为球心，且,则，则故选：B.7. 【2022部分区二模】已知一个圆锥的高为，底面直径为，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】计算出圆锥的母线长，取圆锥的轴截面，计算出轴截面三角
9、形的内切圆半径，即为该圆锥内切球的半径，利用球体体积公式即可得解.【详解】圆锥的母线长为，取圆锥的轴截面如下图所示：设该圆锥的内切球的半径为，则，所以，因此，球的体积为.故选：C.8. 【2022耀华中学二模】已知某圆锥的底面半径为2，母线长为4，该圆锥有一内接圆柱，要使圆柱的体积最大，则圆柱的底面半径应为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】根据已知条件列出关于圆柱体积与圆柱底面圆半径之间的表达式，利用导数判断函数的单调调性，进而求其最值即可.【详解】下图为此几何体的轴截面，设圆柱的底面圆半径为，母线长为，由已知条件得, , 即，其中，圆柱的体积为，又，函数在上为单调递增，在上单调递减，函数在时，圆柱的体积取得最大值.故选：.9. 【2022天津一中五月考】若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积【详解】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：所以外接球的表面积为：故选：C【点睛】本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力
