1、自动控制原理及应用自动控制原理及应用 清华大学出版社清华大学出版社 董红生主编董红生主编第第2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型本章小结本章小结2.4 应应 用用 实实 例例2.3 控制系统的动态结构图控制系统的动态结构图 2.2 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 2.1控制系统的微分方程控制系统的微分方程 v 了解控制系统数学模型的概念；了解控制系统数学模型的概念；v 熟悉控制系统的微分方程的建立方法；熟悉控制系统的微分方程的建立方法；v 掌握传递函数的定义、求法及典型环节的传递函数特性；掌握传递函数的定义、求法及典型环节的传递函数特性；v 掌握控制系统动态结构图的化简及
2、利用动态结构图求解控掌握控制系统动态结构图的化简及利用动态结构图求解控 制系统各种传递函数的方法。制系统各种传递函数的方法。教学目标：教学目标：2.1 控制系统的微分方程控制系统的微分方程 微分方程是控制系统最基本的数学模型，可用于在时域中描微分方程是控制系统最基本的数学模型，可用于在时域中描述系统的动态性能。述系统的动态性能。若已知系统的输入信号和初始条件，通过求解微分方程就可若已知系统的输入信号和初始条件，通过求解微分方程就可以得到系统的输出响应。以得到系统的输出响应。 列写控制系统微分方程的一般步骤归纳为：列写控制系统微分方程的一般步骤归纳为：（1）明确控制系统的输入和输出变量。输入变量
3、是系统的外）明确控制系统的输入和输出变量。输入变量是系统的外部作用变量；输出变量是要研究的系统变量；部作用变量；输出变量是要研究的系统变量；（2）按照信号传递顺序，依次列出系统各环节的微分方程，并）按照信号传递顺序，依次列出系统各环节的微分方程，并建立微分方程组；建立微分方程组；（3）消去中间变量，获得仅包含输入变量和输出变量的微分方）消去中间变量，获得仅包含输入变量和输出变量的微分方程；程；（4）将微分方程标准化，即将与输入变量有关的各项移到方程）将微分方程标准化，即将与输入变量有关的各项移到方程的右边，将与输出变量有关的各项移到方程的左边，且按变量导的右边，将与输出变量有关的各项移到方程的
4、左边，且按变量导数的降幂排列。数的降幂排列。 2.1.1微分方程建立的实例微分方程建立的实例【例2-1】RC电路如图电路如图2-1所示，试列出电路的微分方程。所示，试列出电路的微分方程。图2-1 RC电路 解：（解：（1）确定输入变量和输出）确定输入变量和输出变量。输入变量为变量。输入变量为ui(t)，输出，输出变量为变量为uo(t)。（2）列微分方程。）列微分方程。（3）消去中间变量，并将微）消去中间变量，并将微分方程标准化。分方程标准化。0( )( )( )iRi tu tu t0d( )( )du ti tCt（2-1） （2-2） 可见，可见，RC电路的数学模型为一阶线性常系数微分方程
5、。电路的数学模型为一阶线性常系数微分方程。 00( )( )( )idu tRCu tu tdt（2-3） 【例例2-2】弹簧、质量、阻尼器构成的机械位移系统如图弹簧、质量、阻尼器构成的机械位移系统如图2-2所示，所示，其中，其中，k为弹簧系数，为弹簧系数，m为物体的质量，为物体的质量，f为阻尼系数。试建立在为阻尼系数。试建立在作用力作用力F(t)作用下物体的位移作用下物体的位移y(t)微分方程。微分方程。解：（解：（1）确定输入变量和输出变量。）确定输入变量和输出变量。 外作用力外作用力F(t)输入变量，输入变量，物体位移物体位移y(t)为输出变量。为输出变量。 （2）列微分方程。）列微分方
6、程。Fma作用在质量物体作用在质量物体m上的合力满足牛顿第二定律，即上的合力满足牛顿第二定律，即可得可得其中，其中， 为弹性阻力，为弹性阻力， 为物体粘性为物体粘性阻力，阻力， 为物体的加速度。为物体的加速度。（3）移项整理，将微分方程标准化。）移项整理，将微分方程标准化。 可见，机械位移系统的数学模型为二可见，机械位移系统的数学模型为二阶线性常系数微分方程阶线性常系数微分方程。22d ( )d( )( )( )=ddy ty tF tky tfmtt( )ky t( )dy tfdt22d( )dy tt22d( )d ( )( )( )ddy ty tmfky tF ttt（2-4） 图图
7、2-2 机械位移系统机械位移系统 【例2-3】他励直流电动机的物理模型如图他励直流电动机的物理模型如图2-3所示，假设励磁所示，假设励磁电流电流if 保持恒定，试建立电枢电压保持恒定，试建立电枢电压ua(t)作用下电动机转轴速度作用下电动机转轴速度n(t)的微分方程。的微分方程。解：（解：（1）确定输入变量和输出变量）确定输入变量和输出变量输入变量为电枢电压输入变量为电枢电压ua(t)，输出变量为转轴速度，输出变量为转轴速度n(t)。 （2）列微分方程）列微分方程直流电动机电枢回路的电压平衡方程式为直流电动机电枢回路的电压平衡方程式为d ( )( )( )( )daaaaaai tLi t R
8、e tu tt（2-5） 式中，式中，ea(t)为电枢反电势，为电枢反电势，La、Ra分别为电枢回路的总电感分别为电枢回路的总电感和总电阻。和总电阻。由电机学原理可知，电枢反电势的大由电机学原理可知，电枢反电势的大小与转轴角速度成正比，即小与转轴角速度成正比，即 式中，式中，Ce为反电势系数，单位为为反电势系数，单位为V/rads-1。在恒定励磁磁场中，电枢电流产生的在恒定励磁磁场中，电枢电流产生的电磁转矩为电磁转矩为 式中，式中，Cm为电动机的转矩系数，单位为电动机的转矩系数，单位为为Nm/A。 ( )( )aee tC n t( )( )em aMtC i t（2-6） （2-7） 图图2
9、-3 他励电动机的原理图他励电动机的原理图 考虑带恒转矩负载的情况，由电动机转轴的转矩平衡得考虑带恒转矩负载的情况，由电动机转轴的转矩平衡得式中，式中，M ML L( (t t) )为负载转矩；为负载转矩；M Mf f( (t t) )为摩擦转矩；为摩擦转矩；GDGD2 2为飞轮惯量为飞轮惯量。 （3 3）消去中间变量，为简化方程，令）消去中间变量，为简化方程，令M ML L( (t t)=)=M Mf f( (t t)=0)=0，可得电枢，可得电枢电压电压u ua a( (t t) )与转轴角速度与转轴角速度n n( (t t) )之间的关系为之间的关系为式中，式中， ， 分别为电动机的电磁
10、时间和机电时间常数，分别为电动机的电磁时间和机电时间常数，单位为单位为s s。2d( )( )( )375 deLfGDnMtMtMtt22d( )d ( )( )( )ddalmmen tn tu tTTTn tttCaaaLTR2375amemGD RTC C（2-8） （2-9） 可见，电枢电压控制的直流电动机的数学模型为二阶线性常可见，电枢电压控制的直流电动机的数学模型为二阶线性常系数微分方程。系数微分方程。 可用线性微分方程描述的系统，可用线性微分方程描述的系统，称为线性系统称为线性系统。线性系统。线性系统的一个重要性质就是的一个重要性质就是可以应用叠加原理进行系统分析可以应用叠加原
11、理进行系统分析，对于线，对于线性控制系统的分析与设计非常有用。性控制系统的分析与设计非常有用。 2.1.2 线性常微分方程的求解线性常微分方程的求解 工程上，常采用工程上，常采用拉氏变换法求解线性常微分方法拉氏变换法求解线性常微分方法，其，其基本基本思路思路：通过拉氏变换将时域的线性微分方程转换为复数域的代：通过拉氏变换将时域的线性微分方程转换为复数域的代数方程，在复数域求解代数方程后，再由拉氏反变换得到时域数方程，在复数域求解代数方程后，再由拉氏反变换得到时域的微分方程的解。的微分方程的解。 【例2-4】在例在例2-1的的RC电路的微分方程可表示为电路的微分方程可表示为 假设假设T=1s为系
12、统时间常数，输入电压为为系统时间常数，输入电压为ui(t)=1(t)V，在零初，在零初始条件下，求系统的输出响应。始条件下，求系统的输出响应。 解：将解：将RC电路的微分方程两边取拉氏变换，可得电路的微分方程两边取拉氏变换，可得 将将 代入上式，整理可得代入上式，整理可得 对对 取拉氏反变换并代入已知数据，可得取拉氏反变换并代入已知数据，可得 ccrd( )( )( )du tTu tu ttccr( )( )( )TsU sU sU sr( )1/U ssc11( )1UsTssc( )U sc( )1etu t 显然，输出响应为显然，输出响应为一条从零开始按指一条从零开始按指数规律上升的曲
13、线。数规律上升的曲线。2.2 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 系统的传递函数模型是在拉氏变换的基础上定义的，它是以系系统的传递函数模型是在拉氏变换的基础上定义的，它是以系统本身的参数描述线性定常系统输入量与输出量的关系式，反映统本身的参数描述线性定常系统输入量与输出量的关系式，反映了系统内在的固有特性。了系统内在的固有特性。利用传递函数不仅可以研究系统的动态特性，而且可以分析系利用传递函数不仅可以研究系统的动态特性，而且可以分析系统结构或参数改变对系统性能的影响。统结构或参数改变对系统性能的影响。控制工程中广泛使用时域法、频域法等系统分析设计方法都是控制工程中广泛使用时域法、频域法等系统
14、分析设计方法都是以传递函数为基础的，可以说传递函数是经典控制理论中最基本、以传递函数为基础的，可以说传递函数是经典控制理论中最基本、最重要的概念。最重要的概念。 1.传递函数的定义传递函数的定义 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为系统的传递函数，用的拉氏变换之比称为系统的传递函数，用G(s)表示，即表示，即 ( )( ) ( )L c tG sL r t（2-10） （2-11） 2.2.1 传递函数的概念传递函数的概念 一般地，线性定常系统可用一般地，线性定常系统可用n阶微分方程描述，即阶微分方程描述，即
15、1011110111d( )d( )d ( )( )dddd( )d( )d ( )( )dddnnnnnnmmmmmmc tc tc taaaa c ttttr tr tr tbbbb r tttt10111011() ( )() ( )nnnnmmmma sa sasa C sb sbsbsbR s在零初始条件下，对（在零初始条件下，对（2-11）式两边取拉氏变换得）式两边取拉氏变换得（2-12） 式中，c(t)为输出量，r(t)为输入量， ，微分方程两边的系数均为实数，且由系统结构和参数决定。nm则系统的传递函数为则系统的传递函数为10111011( )( )( )mmmmnnnnb s
16、b sbsbC sG sR sa sa sasa（2-13） (2-13)式可改写为式可改写为 式中，式中，k为常数。为常数。 传递函数的分母多项式称为系统的特征多项式，令特征多传递函数的分母多项式称为系统的特征多项式，令特征多项式等于零，即项式等于零，即称为系统的特征方程。称为系统的特征方程。1212()()()( )()()()nnszszszG skspspsp（2-14） 12()()()0nspspsp特征方程的根特征方程的根p1 ,p2, ,pn称为特征根或传递函数的极点。称为特征根或传递函数的极点。传递函数分子多项式方程的根传递函数分子多项式方程的根z1,z2, zm称为传递函数
17、的零点。称为传递函数的零点。零点和极点取决于传递函数中的各项系数，即取决于系统的结零点和极点取决于传递函数中的各项系数，即取决于系统的结构和参数。构和参数。传递函数传递函数G(s)常有两种表示形式，即常有两种表示形式，即11(1)( )(1)mjjniiKsG sTs（2-15） 或或g11()( )()mjjniiKszG ssp（2-16） 称（称（2-15）式为传递函数的时间常数表示法，）式为传递函数的时间常数表示法，K为系统增益，为系统增益，多用于系统频域法分析；称（多用于系统频域法分析；称（2-16）式为传递函数的零极点表）式为传递函数的零极点表示法，示法，Kg称为根轨迹增益，多用于
18、系统根轨迹法分析。由（称为根轨迹增益，多用于系统根轨迹法分析。由（2-15）式和（）式和（2-16）式不难推出）式不难推出 传递函数是线性定常系统分析与设计的有力的数学工具。传递函数是线性定常系统分析与设计的有力的数学工具。11mjjgniiKKT（2-17） 2. 传递函数的性质传递函数的性质1）传递函数只适用于线性定常系统。）传递函数只适用于线性定常系统。 2）一个确定系统的传递函数是唯一的。）一个确定系统的传递函数是唯一的。 3）传递函数是复数域的系统数学模型，它代表了系统的固有）传递函数是复数域的系统数学模型，它代表了系统的固有 特性，仅取决于系统的结构和参数，而与系统的输入信号特性，
19、仅取决于系统的结构和参数，而与系统的输入信号 的形式和大小无关。的形式和大小无关。4）传递函数是对系统的一种外部描述，不能反映系统内部的）传递函数是对系统的一种外部描述，不能反映系统内部的 任何信息。任何信息。 5）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条 件下系统的运动规律。件下系统的运动规律。 6）传递函数是复数变量传递函数是复数变量s的有理真分式函数，其系数均为实常的有理真分式函数，其系数均为实常 数。传递函数的分子多项式的阶次数。传递函数的分子多项式的阶次m总是小于或等于分母总是小于或等于分母 多项式的阶次多项式的阶次n，即
20、有，即有mn。3. 传递函数的求取传递函数的求取（1）根据系统的微分方程求取传递函数。）根据系统的微分方程求取传递函数。（2）根据电路复阻抗的概念求取传递函数。）根据电路复阻抗的概念求取传递函数。d ( )1( )( )( )di tLRi ti t dtr ttC1( )( )i t dtc tC1( )( )( )( )LsI sRI sI sR sCs1( )( )I sC sCs2(1) ( )( )LCsRCsC sR s图图2-4【例例2-5】RLC电路系统电路系统 【例2-5】RLC电路如图电路如图2-4所示，试求系统的传递函数。所示，试求系统的传递函数。解：由电路理论，可以列出
21、解：由电路理论，可以列出在零初始条件下，对上两式进行拉氏变换，可得在零初始条件下，对上两式进行拉氏变换，可得消去中间变量，可得消去中间变量，可得则则RLC电路系统传递函数为电路系统传递函数为2( )11( )( )11C sCsG sR sRLsCsLCsRCs利用复阻抗概念可直接求解，由利用复阻抗概念可直接求解，由RLC串联电路的分压公式可串联电路的分压公式可知，输出信号为电容复阻抗知，输出信号为电容复阻抗1/Cs上的串联分压值，即上的串联分压值，即1( )( )1CsC sR sRLsCs2( )1( )( )1C sG sR sLCsRCs由传递函数定义，求取系统传递函数为由传递函数定义
22、，求取系统传递函数为【例2-6】PI（比例（比例-积分）控制器如图积分）控制器如图2-5所示，试用复阻抗求所示，试用复阻抗求其传递函数。其传递函数。解：根据图中解：根据图中a点点 “虚地虚地”，可得，可得 ，即，即12( )( )I sIs12( )( )R sC sZZ 则则PI控制器的传递函数为控制器的传递函数为222111211( )(1)ZRCsRG sZRRR Cs 图图2-5【例例2-5】PI控制器控制器 21pKRR令令 称为称为PI控制器的比例系数；控制器的比例系数； 称为称为PI控制器的积分时间常数。控制器的积分时间常数。2iTR C代入上式可得代入上式可得1( )(1)pi
23、G sKTs 2.2.2 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 1.比例环节比例环节描述比例环节的微分方程为描述比例环节的微分方程为( )( )c tKr t式中，式中，K常数，称为放大系常数，称为放大系数或增益。数或增益。 图图2-7 比例环节输入及其响应曲线比例环节输入及其响应曲线 KR(s)C(s)图图2-6 比例环节的方框图比例环节的方框图 比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为( )G sK（2-18） 比例环节的特点：比例环节的特点：输出信号成比例地复现输入信号，输出信号成比例地复现输入信号， 二者二者没有时间上延迟，输出无失真。没有时间上延迟，输出无失真。2.积分环节积分环节积
24、分环节的输出量等于输入量的积分，即积分环节的输出量等于输入量的积分，即1( )( )c tr t dtT积分环节的传递函数为积分环节的传递函数为1( )G sTs式中，式中，T为积分时间常数，由积分环节的参数决定。为积分时间常数，由积分环节的参数决定。图图2-8 积分环节的方框图积分环节的方框图 若输入信号若输入信号R(s)=1/s时，则有时，则有2111( )C sTs sTs积分环节的单位阶跃响应为积分环节的单位阶跃响应为（2-19） 积分环节的特点：积分环节的特点：输出量与输入量对时间输出量与输入量对时间的积分成正比。输入突的积分成正比。输入突变时，输出值需经变时，输出值需经T时间时间后
25、才等于输入值，即表后才等于输入值，即表现出滞后特性。输出积现出滞后特性。输出积累一定时间后，即使输累一定时间后，即使输出为零，输出将保持不出为零，输出将保持不变，即表现出记忆特性。变，即表现出记忆特性。积分环节常被用来改善积分环节常被用来改善控制系统的稳态性能。控制系统的稳态性能。图图2-9 积分环节输入及其响应曲线积分环节输入及其响应曲线 （2-20） 1( )c ttT3.微分环节微分环节 理想微分环节的输出量是输入量的微分，即理想微分环节的输出量是输入量的微分，即微分环节的传递函数为微分环节的传递函数为d ( )( )dr tc tTt式中，式中，T为微分时间常数。为微分时间常数。( )
26、( )( )C sG sTsR s（2-21） 理想微分环节的方框图如图理想微分环节的方框图如图2-10所示。所示。其单位阶跃响应为其单位阶跃响应为( )( )c tTt（2-22） 图图2-10 理想微分环节的方框图理想微分环节的方框图 ( )1TsG sTs( )G sTs图图2-11 理想微分环节输入及其响应曲线理想微分环节输入及其响应曲线 则其响应曲线如图则其响应曲线如图2-11所示。所示。可见，在可见，在t=0时，其输出为时，其输出为一宽度为零，幅度为无穷大一宽度为零，幅度为无穷大的理想脉冲。显然，实际物的理想脉冲。显然，实际物理装置是不可能实现理想的理装置是不可能实现理想的微分环节
27、。微分环节。实际中，常用近似微分环节代替，近似微分环节的传递函数为若系统惯性很小，即若系统惯性很小，即T 1时，则有时，则有微分环节的特点：微分环节的特点：输出量与输入量对时间的微分成正比，即输出量反映了输入信输出量与输入量对时间的微分成正比，即输出量反映了输入信号的变化率。因此，微分环节的输出量可表征输入信号的变化号的变化率。因此，微分环节的输出量可表征输入信号的变化趋势，能够加快系统控制作用的调节。微分环节常被用来改善趋势，能够加快系统控制作用的调节。微分环节常被用来改善控制系统的动态性能。控制系统的动态性能。4.惯性环节惯性环节描述惯性环节的微分方程为描述惯性环节的微分方程为式中，式中，
28、T称为环节的时间常数称为环节的时间常数。d ( )( )( )dc tTc tr tt惯性环节的传递函数为惯性环节的传递函数为 1( )1G sTs惯性环节的方框图如图惯性环节的方框图如图2-12所示。所示。其单位阶跃响应为其单位阶跃响应为( )1etTc t 图图2-12 惯性环节的方框图惯性环节的方框图 （2-24） 惯性环节的单位阶跃输入及其惯性环节的单位阶跃输入及其响应曲线如图响应曲线如图2-13所示。所示。 （2-23） 图图2-13 惯性环节输入及其响应曲线惯性环节输入及其响应曲线 可见，可见，c(t)曲线为一按指数规律曲线为一按指数规律上升的曲线，其变化的快慢决上升的曲线，其变化
29、的快慢决定于惯性时间常数定于惯性时间常数T。惯性环节的特点：惯性环节的特点：输出量不能立即产生与输入量完全一致的变化。输出量不能立即产生与输入量完全一致的变化。5.振荡环节振荡环节描述振荡环节的微分方程为描述振荡环节的微分方程为222d( )d ( )2( )( )ddc tc tTTc tr ttt式中，式中，T为环节时间常数，为环节时间常数，为阻尼比。为阻尼比。振荡环节的传递函数为振荡环节的传递函数为22( )1( )( )21C sG sR sT sTs（2-25） 或写为或写为222( )2nnnG sss振荡环节的方框图如图振荡环节的方框图如图2-14所示。当所示。当 时，振荡环节的
30、时，振荡环节的阶跃响应曲线具有衰减振荡特性，其单位阶跃输入及其响应曲阶跃响应曲线具有衰减振荡特性，其单位阶跃输入及其响应曲线如图线如图2-15所示。所示。 01图图2-14 振荡环节的方框图振荡环节的方框图 图图2-15振荡环节的输入及其响应曲线振荡环节的输入及其响应曲线 （2-26） 振荡环节的特点：振荡环节的特点：在阶跃信号作用下，振荡环节的动态响应具体衰减振荡特性。在阶跃信号作用下，振荡环节的动态响应具体衰减振荡特性。9.延迟环节延迟环节延迟环节也称为时滞环节，其输出量与输入量之间的关系式为延迟环节也称为时滞环节，其输出量与输入量之间的关系式为( )()c tr t式中，式中，为延时时间
31、。为延时时间。延迟环节的传递函数为延迟环节的传递函数为( )esG s（2-27） 延迟环节的框图如图延迟环节的框图如图2-16所示。延迟环节的单位阶跃输入及其所示。延迟环节的单位阶跃输入及其响应曲线如图响应曲线如图2-17所示。所示。图图2-16 延迟环节的方框图延迟环节的方框图 图图2-17 延迟环节的输入信号及其响应曲线延迟环节的输入信号及其响应曲线 将延迟环节的传递函数展将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数，则有开为泰勒级数，则有2211( )e1e12!ssG sss1( )e1sG ss当很小时，可将延时环节近当很小时，可将延时环节近似为惯性环节，即有似为惯性环节，即有 （2-29）
32、 延时环节的特点：延时环节的特点：输出信号波形和输入信号波形输出信号波形和输入信号波形完全相同，只是输出量相对于完全相同，只是输出量相对于输入量滞后一段时间输入量滞后一段时间。延迟。延迟环节对系统稳定性不利。环节对系统稳定性不利。 传递函数只是对系统的一种外部描述，不能直观地表明系传递函数只是对系统的一种外部描述，不能直观地表明系统中其他变量之间的关系及信号在系统中的传递过程。统中其他变量之间的关系及信号在系统中的传递过程。 动态结构图（也称为系统方框图）是系统数学模型的另一动态结构图（也称为系统方框图）是系统数学模型的另一种表示形式，它是系统中各个环节功能和信号流向的图解表种表示形式，它是系
33、统中各个环节功能和信号流向的图解表示。示。 利用动态结构图表示控制系统，可以清楚地表明系统各环利用动态结构图表示控制系统，可以清楚地表明系统各环节之间信号的传递关系，便于对系统进行分析和研究。节之间信号的传递关系，便于对系统进行分析和研究。2.3 控制系统的动态结构图控制系统的动态结构图 系统动态结构图包括四个部分：系统动态结构图包括四个部分： 信号线：信号线：表示信号传递路径与方向。表示信号传递路径与方向。 传递函数方块：传递函数方块：表示对信号的变换，表示对信号的变换，方块中为元件或环节的传递函数。方块中为元件或环节的传递函数。 相加点：相加点：表示求两个或两个以上信号表示求两个或两个以上
34、信号代数和的位置点，代数和的位置点，“+”代表相加，代表相加，“-”代表相减。代表相减。 分支点：分支点：表示信号引出和测量的位置表示信号引出和测量的位置点，在同一位置引出的信号，大小和点，在同一位置引出的信号，大小和性质是完全相同的。性质是完全相同的。 图图2-18 系统动态结构图构成系统动态结构图构成 2.3.1 动态结构图的基本概念动态结构图的基本概念 1）前向通道传递函数）前向通道传递函数 前向通道传递函数为前向通道前向通道传递函数为前向通道中各环节传递函数的乘积，也即断中各环节传递函数的乘积，也即断开系统反馈回路，系统输出信号开系统反馈回路，系统输出信号C(s)和输入信号和输入信号R
35、(s)之比。之比。 图图2-19 典型反馈控制系统动态结构图典型反馈控制系统动态结构图 12( )( )( )( )( )( )C sC sG s G sR sE s（2-30） 2）反馈通道传递函数）反馈通道传递函数 反馈通道传递函数即为反馈通道各环节传递函数的乘积，也反馈通道传递函数即为反馈通道各环节传递函数的乘积，也就是系统反馈信号就是系统反馈信号B(s)和输出信号和输出信号C(s)之比。之比。( )( )( )B sH sC s（2-31） 3）开环传递函数）开环传递函数 开环传递函数是指系统反馈信号开环传递函数是指系统反馈信号B(s)与误差信号之比。与误差信号之比。 12( )( )
36、( )( )( )( )( )( )kB sG sG s G s H sG s H sE s（2-33） 4）闭环传递函数）闭环传递函数 闭环传递函数是指系统输出信号闭环传递函数是指系统输出信号C(s)与输入信号与输入信号R(s)之比。之比。1212( )( )( )( )( )( )1( )( )( )1( )( )C sG s G sG ssR sG s G s H sG s H s（2-32） 闭环传递函数可表示为闭环传递函数可表示为=1+前向通道传递函数闭环传递函数开环传递函数5）给定误差传递函数）给定误差传递函数 给定信号作用下，系统给定误差信号给定信号作用下，系统给定误差信号Er(
37、s)与输入信号与输入信号R(s)之之比比 。 ( )1( )=( )1( )( )rerE ssR sG s H s2( )( )( )( )=( )1( )( )dedEsG s H ssD sG s H s（2-34） （2-35） 6）扰动误差传递函数）扰动误差传递函数 扰动信号作用下，系统扰动误差信号扰动信号作用下，系统扰动误差信号Ed(s)与动态信号与动态信号D(s)之之比。比。 系统的动态结构图建立的一般步骤为：系统的动态结构图建立的一般步骤为： （1）根据系统中信号的传递过程，将系统分为若干环节。）根据系统中信号的传递过程，将系统分为若干环节。 （2）求取各环节的传递函数，绘制各
38、环节的结构图。）求取各环节的传递函数，绘制各环节的结构图。 （3）按照系统中信息的传递顺序，依次将各环节的结构图）按照系统中信息的传递顺序，依次将各环节的结构图 连接起来，得到整个系统的动态结构图。连接起来，得到整个系统的动态结构图。 2.3.2 动态结构图的建立动态结构图的建立 【例例2-7】求如图求如图2-20所示电路的动所示电路的动态结构图。态结构图。 解：解：设中间变量为设中间变量为u1，i1，i2。利用。利用复阻抗的概念可以列写下列方程式复阻抗的概念可以列写下列方程式：1111( )( )( )rI sUsU sR11211( ) ( )( )U sI sIsC s2121( )(
39、)( )cIsU sUsR221( )( )cUsIsC s图图2-20 RC串并联电路串并联电路 图图2-21 RC串并联电路的动态结构图串并联电路的动态结构图 【例2-8】 建立他励直流电动机的动态结构图。建立他励直流电动机的动态结构图。 解：对他励直流电动机所列微分方程取拉氏变换，可得解：对他励直流电动机所列微分方程取拉氏变换，可得( )( )( )( )aaaaaaUsR IsL sIsEs( )( )aeEsC N s2( )( )( )375eLGDMsMssN s( )( )emaMsC Is( )( )LmLMsC Is（2-36） （2-37） （2-38） （2-39） （
40、2-40） 由（由（2-36）式，可得）式，可得 ( )( )1( )( )( )(1)(1)aaaaaaaaaUsEsR UsEsIsRT sT s（2-41） aaaT L R( )( )( )( )( )aLaaLeemmaIsIsR IsIsN sCCT sT sR（2-42） 式中，式中，将（将（2-39）式、（）式、（2-40）式代入（）式代入（2-38）式，可得）式，可得图图2-22 他励直流电动机的动态结构图他励直流电动机的动态结构图1.动态结构图的等效变换规则动态结构图的等效变换规则 （1）串联连接）串联连接 图图2-23 串联连接的等效变换串联连接的等效变换 121( )(
41、 )( )( )( )nniiG sG s G sG sG s（2-43） 2.3.3 动态结构图的化简动态结构图的化简 等效是指等效是指在被变换部分变换前后输入量、输出量之间的关在被变换部分变换前后输入量、输出量之间的关系应保持不变。系应保持不变。 （2）并联连接）并联连接 图图2-24 并联连接的等效变换并联连接的等效变换 121( )( )( )( )( )nniiG sG sG sG sG s（2-44） （3）反馈连接）反馈连接图图2-25 反馈连接的等效变换反馈连接的等效变换 ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )C sG s E sE sR sB sB sH
42、s C s( )( )( )( )1( )( )C sG ssR sG s H s( )( )1( )G ssH s（2-46） （2-45） （4）分支点的移动）分支点的移动图图2-26 分支点前移的等效变换分支点前移的等效变换 图图2-27 分支点后移的等效变换分支点后移的等效变换 （5）相加点的移动）相加点的移动图图2-28 相加点前移的等效变换相加点前移的等效变换 图图2-29 相加点后移的等效变换相加点后移的等效变换 （6）相邻分支点的位置交换）相邻分支点的位置交换 图图2-30 相邻分支点位置交换相邻分支点位置交换 图图2-31 相邻相加点位置交换相邻相加点位置交换 （7）相邻相加
43、点的位置交换）相邻相加点的位置交换需要注意，需要注意，相加点和分支点前后不能交换位置。相加点和分支点前后不能交换位置。 2.利用等效变换法化简动态结构图利用等效变换法化简动态结构图 【例2-9】试化简例试化简例2.7所示所示RC电路的动态结构图，并求出电路的动态结构图，并求出系统传递函数。系统传递函数。 解：结构图是交错反馈的多回路系统，化简时，必须先进行解：结构图是交错反馈的多回路系统，化简时，必须先进行比较点和分支点的移动，将其变换为典型连接形式，再求出系统比较点和分支点的移动，将其变换为典型连接形式，再求出系统传递函数。传递函数。【例例2-10】试化简如图试化简如图2-33所示的系统动态
44、结构图，并求所示的系统动态结构图，并求出系统传递函数。出系统传递函数。图图2-33 系统动态结构图系统动态结构图 解：先将解：先将G1(s)后的引出点前移，再将后的引出点前移，再将G1(s)和和G2(s)的并的并联结构图合并，然后将联结构图合并，然后将G3(s)前的引出点前移。前的引出点前移。图图2-34【例例2-10】系统动态结构图等效变换系统动态结构图等效变换 3.利用梅森公式化简动态结构图利用梅森公式化简动态结构图1iijijzLLLLL L （2-48） （2-47） 11( )nkkksP式中，式中， 为特征式，且有为特征式，且有为各回路传递函数之和。为各回路传递函数之和。iL为两两
45、互不接触的回路，其回路传递函数乘积之和。为两两互不接触的回路，其回路传递函数乘积之和。ijLL为所有三个互不接触回路，其回路传递函数乘积之为所有三个互不接触回路，其回路传递函数乘积之和。ijzL L Ln 为输入端到输出端之间前向通道的条数。为输入端到输出端之间前向通道的条数。Pk为输入端到输出端之间第为输入端到输出端之间第k条前向通道的传递函数。条前向通道的传递函数。 为第为第k条前向通路的余子式，即把与该通路相接触的回路条前向通路的余子式，即把与该通路相接触的回路所在项置为零之后，特征式所在项置为零之后，特征式 所余下的部分。所余下的部分。k【例例2-11】试利用梅森公式求如图试利用梅森公
46、式求如图2-35所示系统的传递函数。所示系统的传递函数。图图2-35【例例2-11】系统动态结构图系统动态结构图11234PGG G G215PGG112341LGG G G H 2151LGG H 332LG H 解：图中系统有二条前向通道，其回路传递函数分别为解：图中系统有二条前向通道，其回路传递函数分别为系统反馈回路有三个，其回路传递函数分别为系统反馈回路有三个，其回路传递函数分别为系统的特征式为系统的特征式为 123231234115132135121()1LLLL LGG G G HGG HG HGG G H H 11 233211LG H 112212341532123411513
47、2135121( )()(1)1sPPGG G GGGG HGG G G HGG HG HGG G H H 各回路与前向通道各回路与前向通道P1相接触，其余子式相接触，其余子式 。只有回路。只有回路L3与前与前向通道向通道P2不接触，故其余子式不接触，故其余子式 。由梅森公式可得，系统传递函数为由梅森公式可得，系统传递函数为以单闭环调速系统为例，说明控制系统数学模型的建立方法。以单闭环调速系统为例，说明控制系统数学模型的建立方法。图图2-35 单闭环调速系统单闭环调速系统 2.4 应用实例应用实例 单闭环调速系统包括给定环节、速度控制器（单闭环调速系统包括给定环节、速度控制器（PI控制器）、测
48、控制器）、测速反馈环节、晶闸管整流装置及直流电动机组成。速反馈环节、晶闸管整流装置及直流电动机组成。 1.比较环节和速度控制器比较环节和速度控制器 123( )( )( )I sIsIs11( )( )rUsI sR121111111( )( )( )11(1)/ /222fffUsUsC sIsRRRR T sC sC s114fRCT 223222222( )( )( )( )1(1)(1)ckckickiUsR C sUsTsUsIsR R C sR TsRC s （2-48） （2-47） （2-49） （2-50） 2.4.1 系统各环节的结构图系统各环节的结构图 PI控制器的输入量
49、为给定信号和经低通滤波后的速度反控制器的输入量为给定信号和经低通滤波后的速度反馈信号。由运算放大器的特性，可得馈信号。由运算放大器的特性，可得其中，其中，式中，式中，22iTR C将（将（2-48）（2-50）式代入（）式代入（2-47），可得），可得11( )(1)( )( )1ckprfifUsKU sUsTsT s式中，式中，称为速度控制器的比例系数称为速度控制器的比例系数21pKRR 称为速度控制器的积分时间常数称为速度控制器的积分时间常数iT（2-51） 2.晶闸管整流装置部分晶闸管整流装置部分 ( )( )( )1ascksUsKG sUsT ssKsT( )( )( )nfnfn
50、fUsGsKN snfK（2-52） （2-53） 3.测速反馈环节测速反馈环节式中，式中， 为整流装置的电压放大倍数；为整流装置的电压放大倍数； 为整流装置的延迟时间为整流装置的延迟时间常数。常数。式中，式中， 为速度反馈系数。为速度反馈系数。(a) 比较环节和速度控制器比较环节和速度控制器(b) 晶闸管整流晶闸管整流(c) 测速反馈测速反馈图图2-36 系统各环节的动态结构图系统各环节的动态结构图 4.直流电动机环节直流电动机环节 例例2-8中已建立他励直流电动机的动态结构图。中已建立他励直流电动机的动态结构图。图图2-37 单闭环调速系统的动态结构图单闭环调速系统的动态结构图 2.4.2
