1、第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念1.两个向量的夹角【思考】在ABC中,向量 与向量 的夹角是角B吗?为什么?提示:不是.向量 与向量 的夹角是角B的补角.AB BC AB BC 2.向量的数量积【思考】(1)向量的数量积ab与向量加法、减法和数乘的区别是什么?提示:向量的数量积ab是一个实数,不考虑方向;向量加法、减法和数乘仍是向量,既有大小又有方向.(2)向量的数量积ab什么时候为正,什么时候为负,什么时候为零?提示:当090时,ab为正;当90180时,ab为负;当=90时,ab为零.(3)根据向量数量积的定义,如何求两个非零向量a与b的夹角?提
2、示:先求cos= ,再根据余弦值求. aba b(4)|ab|a|b|中等号何时成立?提示:当a与b共线时,等号成立.3.向量的投影与向量数量积的几何意义(1)作法:设非零向量 =a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A,B.(2)结论:称向量 为向量a在直线l上的投影向量或投影.AB AB (3)投影的数量:如果a,b都是非零向量,则称|a|cos为向量a在向量b上的投影的数量.(4)向量数量积的几何意义:两个非零向量a,b的数量积ab,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.【思考】一个向量在一个非零向量上的投影,与这个非零向量共线吗?若共线,它们的方向相同还是相反?提示:一个向量
3、在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,但它们既有可能方向相同,也有可能方向相反.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)两个非零向量的夹角是唯一确定的.()(2)若非零向量a与b共线,则=0.()(3)ab不能写成ab,也不能写成ab.()提示:(1).由两个向量夹角的定义可知.(2).若非零向量a与b共线,则=0或 =180.(3).两个向量的数量积只能表示为ab.2.若|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60,则ab等于()A. B. C.1D.2【解析】选C.ab=|a|b|cos=21cos 60=1.12143.已知|a|=9,|b|=6 ,ab=-54,
4、则a与b的夹角为()A.45B.135 C.120 D.150【解析】选B.cos = = 又因为0,所以= ,即=135.2 aba b54229 6 2，344.已知|a|=8,|b|=4,=120,则向量b在a方向上的投影的数量为()A.4B.-4C.2D.-2【解析】选D.向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos=4cos 120=-2.5.若向量a与b的夹角为60,则向量-a与b的夹角为_. 【解析】如图,向量-a与a互为相反向量,所以向量-a与b的夹角为120.答案:120类型一求两向量的数量积【典例】1.在ABC中,| |=10,| |=5 ,B= 135,则 的值是_. 2.
5、已知|a|=4,|b|=5,当(1)ab;(2)ab;(3)a与b的夹角为30时,分别求a与b的数量积. AB BC 2AB BC 【思维引】1.确定 与 的夹角,依据数量积的定义求值.2.依据数量积的定义求值,关注以下两点:(1)注意两个向量的夹角;(2)当ab时,要注意夹角为0和180两种情况.AB BC 【解析】1.易知cos=cos(180-B)=cos 45= .所以 =| | |cos=105 =50.答案:50AB BC 22AB BC AB BC AB BC 2222.(1)当ab时，若a与b同向，则a,b0，ab|a|b|cos 0=4520；若a与b反向，则a,b=180，
6、所以ab|a|b|cos 180=45(-1)=-20.(2)当ab时，a,b=90，所以ab|a|b|cos 90=0.(3)当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos 30=45 =10 .323【内化悟】求两个向量的数量积时,要确定哪几个量?提示:需要确定两个向量的模及向量的夹角.【类题通】求平面向量数量积的步骤(1)求a与b的夹角,0,.(2)分别求|a|和|b|.(3)求数量积,即ab=|a|b|cos.【习练破】已知正三角形ABC的边长为1,求: (1)ABAC;(2)ABBC;(3)BCAC. 【解析】(1)因为 与 的夹角为60.所以 =| | |cos 60=11 = .(
7、2)因为 与 的夹角为120.所以 =| | |cos 120=11 AB AC AB AC AB AC 1212AB BC AB BC AB BC 11().22(3)因为 与 的夹角为60,所以 =| | |cos 60=11 = .AC BC AC BC AC BC 1212【加练固】如图所示,在 ABCD中,| |=4,| |=3,DAB=60,求: AB AD 1 ADBC;2 ABCD;3 ABDA;4 BCDC. 【解析】(1)因为 ,且方向相同,所以 与 的夹角是0,所以 =| | |cos 0=331=9.AD BC AD BC AD BC AD BC (2)因为 ,且方向相
8、反,所以 与 的夹角是180,所以 =| | |cos 180=44(-1)=-16.AB CD AB CD AB CD AB CD (3)因为 与 的夹角为60,所以 与 的夹角为120,所以 =| | |cos 120=43 =-6.(4)因为 与 的夹角为60, =| | |cos 60=34 =6.AB AD AB DA AB DA AB DA 1()2BC DC BC DC BC DC 12类型二向量数量积的几何意义【典例】1.已知|a|=3,|b|=5,且ab=-12,则a在b方向上投影的数量为_,b在a方向上投影的数量为_. 2.在ABC中,已知| |=5,| |=4,| |=3
9、,求:(1) .(2) 在 方向上的投影的数量.AB BC AC AB BC AC AB 【思维引】1.依据一个向量在另一个向量上的投影的数量的定义求值.2.(1)判断ABC的形状,求有关角的余弦值,依据 =- 求值.(2)依据一个向量在另一个向量上的投影的数量的定义求值.AB BC BA BC 【解析】1.ab=|a|b|cos=-12,所以向量a在向量b方向上投影的数量为|a|cos= ;向量b在向量a方向上投影的数量为|b|cos= =-4.答案:- -4121255 abb123 aba1252.因为| |=5,| |=4,| |=3,所以ABC为直角三角形,且C=90.所以cos A
10、= ,cos B= .(1) =- =-54 =-16.(2)| |cos= AB BC AC AC3AB5BC4AB5AB BC BA BC 45AC AC AB 33 5ACAB95.55AB 【内化悟】分两个向量的夹角为锐角和钝角两种情况,说明b在a方向上的投影的数量,何时为正,何时为负?提示:具体情况可以借助下表分析:【类题通】求向量的投影(或其数量)的关注点和计算方法(1)关注点:注意a在b上的投影与b在a上的投影不同,审题时要看清.(2)计算方法:a在b方向上的投影的数量为|a|cos= ,b在a方向上的投影的数量为|b|cos= . abb aba【习练破】如图,在ABC中,AB
11、=AC=4,BAC=90,D是BC边的中点,求:(1) 在 方向上投影的数量;(2) 在 方向上投影的数量.AB BD BD AB 【解析】连接AD,因为AB=AC=4,BAC=90,所以ABC是等腰直角三角形.又因为D是BC边的中点,所以ADBC,ABD=45,所以BD=2 .延长AB到E(如图所示),则 与 的夹角为DBE=180-45=135.2AB BD 因此,(1) 在 方向上投影的数量是| |cos 135=4 =-2 .(2) 在 方向上投影的数量是| |cos 135=2 =-2.AB BD AB BD BD AB 2()2222()2【加练固】已知|a|=4,|b|=5,则a
12、在b上的投影数量与b在a上的投影数量的比值=_. 【解析】由题意,得= 答案: 4.5abbaabba45类型三向量数量积的性质及应用角度1与向量的夹角、垂直有关的问题【典例】1.E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,若( + )( + )=0,则四边形EFGH是()A.梯形B.正方形C.菱形D.矩形AB BC BC CD 2.已知a,b是两个非零向量. 世纪金榜导学号(1)若|a|=3,|b|=4,|ab|=6,求a与b的夹角.(2)若|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.【思维引】1.根据向量加法的三角形法则变形,利用向量垂直的几何意义判断垂直关系.
13、2.(1)利用向量数量积的公式求解;(2)利用向量的几何意义求解.【解析】1.选D.如图,连接AC,BD,则由题意可知,EFAC,GHAC,所以EFGH,同样,GFBD,EHBD,所以GFEH,所以四边形EFGH是平行四边形,又( + )( + )=0,即 =0,所以 ,即ACBD,所以EFGF,所以四边形EFGH是矩形.AB BC BC CD AC BD AC BD 2.(1)因为ab=|a|b|cos,所以|ab|=|a|b|cos|=|a|b|cos|=6.又|a|=3,|b|=4,所以|cos|= 所以cos= .因为0,所以a与b的夹角为 或 .661,3 42a b12323(2)
14、如图,在平面内取一点O,作 =a, =b,以 , 为邻边作 OACB,因为|a|=|b|,即| |=| |,所以四边形OACB为菱形,OC平分AOB,这时 =a+b, =a-b,因为|a|=|b|=|a-b|,即| |=| |=| |,OA OB OA OB OA OB OC BA OA OB BA 所以AOB= ,所以AOC= ,即a与a+b的夹角为 .366【素养探】在与向量的夹角有关的问题中,经常利用核心素养中的直观想象,根据两个向量夹角的定义,画图确定两个向量的夹角.将本例2(2)条件“|a|=|b|=|a-b|”改为“|a+b|=|a-b|=2|a|”,求向量a+b与a-b的夹角.【
15、解析】如图在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中,因为|a+b|=|a-b|,所以四边形ABCD为矩形.在RtABD中,|a-b|=2|a|,所以ABD= .所以a+b和a-b的夹角为 .623角度2与向量的模有关的问题【典例】已知x=1是方程x2+|a|x+ab=0的根,且a2=4, a与b的夹角为120.求向量b的模.世纪金榜导学号【思维引】依据a2=|a|2求|a|,依据方程根的定义求ab,用向量数量积的定义列方程求向量b的模.【解析】因为a2=4,所以|a|2=4,即|a|=2,将x=1代入原方程可得1+21+ab=0,所以ab=-3,所以ab=|a|b|cos=2|b|cos 120
16、=-3,所以|b|=3.【类题通】1.求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤:(2)注意:在个别含有|a|,|b|与ab的等量关系式中,常利用消元思想计算cos的值.2.求解向量模的问题要灵活应用a2=|a|2,即|a|= ,勿忘记开方.2a【习练破】1.已知|a|=4,|b|=2,b2-a2=3ab,则向量a与向量b的夹角等于()A. B. C. D. 3233456【解析】选B.由已知得,3ab=b2-a2=|b|2-|a|2=22-42=-12,所以ab=-4,所以cos= 又0,所以= .41.4 22 aba b232.已知非零向量a,b的夹角为45,且|a|=2,a2-2ab+b2=4,则|b|=_. 【解析】因为|a|=2,=45,所以由a2-2ab+b2=4得|a|2-2|a|b|cos 45+|b|2=4,即4-2 |b|+|b|2=4,解得|b|=2 或|b|=0,因为b是非零向量,所以|b|=2 .答案:2 2222【加练固】已知a,b,ab=40,|a|=10,|b|=8,求a与b的夹角.【解析】因为ab=|a|b|cos ,为a与b的夹角,而ab=40,|a|=10,|b|=8,所以cos = 又因为0180,所以a与b的夹角为60.401.10 82
