1、Artificial Intelligence (AI)人工智能人工智能第五章：模糊第五章：模糊逻辑系统逻辑系统模糊计算v模糊计算模糊计算模糊性：模糊性：在日常生活中早已运用自如，在科学在日常生活中早已运用自如，在科学分析中理论却还未完善分析中理论却还未完善美国加州大学扎德（美国加州大学扎德（ L. A. Zadeh ）教授）教授1965年提出的年提出的模糊集合模糊集合与与模糊逻辑模糊逻辑理论是模糊计算理论是模糊计算的数学基础。的数学基础。它主要用来处理现实世界中因模糊而引起的不它主要用来处理现实世界中因模糊而引起的不确定性。目前，模糊理论已经在确定性。目前，模糊理论已经在推理推理、控制控制、
2、决策决策等方面得到了非常广泛的应用。等方面得到了非常广泛的应用。内容提要1. 模糊逻辑原理模糊逻辑原理2. 模糊集模糊集3. 模糊关系模糊关系4. 模糊变换模糊变换5. 模糊推理模糊推理6. 模糊计算的流程模糊计算的流程内容提要1. 模糊逻辑原理模糊逻辑原理2. 模糊集模糊集3. 模糊关系模糊关系4. 模糊变换模糊变换5. 模糊推理模糊推理6. 模糊计算的流程模糊计算的流程模糊逻辑原理p“从一个沙堆里拿走一粒沙子，这还是一个沙堆吗？从一个沙堆里拿走一粒沙子，这还是一个沙堆吗？”p是？否？是？否？ 一粒沙子都没有也被称为沙堆？这显然有问题！一粒沙子都没有也被称为沙堆？这显然有问题！ 模糊逻辑原理
3、p“沙堆沙堆”这个概念是这个概念是模糊的模糊的，没有一个清晰的界限将，没有一个清晰的界限将“沙堆沙堆”与与“非沙堆非沙堆”分开。分开。p我们没有办法明确指出，在这个不断拿走沙子的过程我们没有办法明确指出，在这个不断拿走沙子的过程中，什么时候中，什么时候“沙堆沙堆”不再是不再是“沙堆沙堆”。 p与与“沙堆沙堆”相似的模糊概念还有相似的模糊概念还有“年轻人年轻人”、“小个小个子子”、“大房子大房子”等。等。p这种在生活中常见的模糊概念，在这种在生活中常见的模糊概念，在用传统数学方法处用传统数学方法处理时，往往会出现问题理时，往往会出现问题。模糊逻辑原理p如果规定沙堆只能由如果规定沙堆只能由1000
4、010000粒以上的沙子组成，粒以上的沙子组成，“沙堆沙堆”这个概念的模糊性就消除了。这个概念的模糊性就消除了。p1000010000粒沙子组成的是沙堆，粒沙子组成的是沙堆，99999999粒沙子组成的不是沙粒沙子组成的不是沙堆：这在数学上没有任何问题。堆：这在数学上没有任何问题。p然而，仅仅取走微不足道的一粒然而，仅仅取走微不足道的一粒沙子，就将沙子，就将“沙堆沙堆”变为变为“非沙非沙堆堆”，这又不符合我们日常生活，这又不符合我们日常生活中的思维习惯中的思维习惯模糊逻辑原理p在企图用数学处理生活中的问题时，在企图用数学处理生活中的问题时，精确的数学语言精确的数学语言和和模糊的思维习惯模糊的思
5、维习惯产生了矛盾。产生了矛盾。p传统的数学方法常常试图进行精确定义，而人关于真传统的数学方法常常试图进行精确定义，而人关于真实世界中事物的概念往往是模糊的，没有精确的界限实世界中事物的概念往往是模糊的，没有精确的界限和定义。和定义。p在处理一些问题时，在处理一些问题时，精确性精确性和和有效性有效性形成了矛盾，诉形成了矛盾，诉诸精确性的传统数学方法变得无效，而具有模糊性的诸精确性的传统数学方法变得无效，而具有模糊性的人类思维却能轻易解决。人类思维却能轻易解决。自然语言模糊逻辑原理内容提要1. 模糊逻辑原理模糊逻辑原理2. 模糊集模糊集3. 模糊关系模糊关系4. 模糊变换模糊变换5. 模糊推理模糊
6、推理6. 模糊计算的流程模糊计算的流程模糊集v从精确到模糊从精确到模糊精确精确p 答案确定：要么是，要么不是答案确定：要么是，要么不是p f : A 0,1p 如：如：他是学生？不是学生？他是学生？不是学生？模糊模糊p 答案不定：也许是，也许不是，也许介于之间答案不定：也许是，也许不是，也许介于之间p A : U 0,1p 如：如：他是成年人？不是成年人？大概是成年人？他是成年人？不是成年人？大概是成年人？模糊集v表示表示“2020岁左右岁左右”原集合（年龄）原集合（年龄）p ., 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, .模糊集可以表示为：模糊集可以表示为：p 0.8/18
7、+ 0.9/19 + 1/20 + 0.9/21 + 0.8/12p 0.6/17+0.7/18+0.8/19+1/20+0.9/21+0.7/22+0.6/23隶属度隶属度0,1 / 集合元素集合元素模糊集v集合及其特征函数集合及其特征函数在论域中，把具有某种属性的事物的全体称为在论域中，把具有某种属性的事物的全体称为集合集合。由于集合中的元素都具有某种属性，因此由于集合中的元素都具有某种属性，因此可以用集合可以用集合表示某一种概念表示某一种概念，而且可用一个函数来刻画它，该函，而且可用一个函数来刻画它，该函数称为数称为特征函数特征函数。设设A是论域是论域U上的一个集合，对任意上的一个集合，
8、对任意uU，令，令则称则称CA(u)为集合为集合A的的特征函数特征函数。特征函数。特征函数CA(u)在在u=u0处的取值处的取值CA(u0)称为称为u0对对A的的隶属度隶属度。1,A( )0,AAuCuu当当模糊集v集合及其特征函数集合及其特征函数集合集合A与其特征函数可以认为是等价的：与其特征函数可以认为是等价的：A=u |CA(u)=1v模糊集与隶属函数模糊集与隶属函数模糊集把模糊集把特征函数的取值范围从特征函数的取值范围从0,1推广到推广到0,1上上。设设U是论域，是论域，A是把任意是把任意uU映射为映射为0,1上某个值的函上某个值的函数，即数，即A : U0,1 或或 uA(u)则称则
9、称A为定义在为定义在U上的一个上的一个隶属函数隶属函数，由，由A(u)(uU)所所构成的集合构成的集合A称为称为U上的一个上的一个模糊集模糊集，A(u)称为称为u对对A的的隶属度隶属度。模糊集v模糊集的例子模糊集的例子论域论域U=1,2,3,4,5，用模糊集表示，用模糊集表示“大大”和和“小小”。解：解：设设A、B分别表示分别表示“大大”与与“小小”的模糊集，的模糊集，A ，B分别为相应的分别为相应的隶属函数隶属函数。A = 0, 0, 0.1, 0.6, 1 B = 1, 0.5, 0.01, 0, 0其中：其中：pA(1)=0, A(2)=0 , A(3)=0.1 , A(4)=0.6 ,
10、 A(5)=1pB(1)=1, B(2)=0.5 , B(3)=0.01 , B(4)=0, B(5)=0模糊集v模糊集的表示方法模糊集的表示方法(1)论域离散且为有限论域离散且为有限 若论域若论域 U=u1, , un为离散论域，模糊集为离散论域，模糊集A表示为：表示为：A= A(u1), A(u2), , A(un) 也可写为：也可写为：A= A(u1)/u1 + A(u2)/u2 + + A(un)/un 其中，其中，隶属度为隶属度为0的元素可以不写的元素可以不写。 例如：例如：A = 1/u1+0.7/u2+0/u3+0.4/u4 = 1/u1+0.7/u2+0.4/u4模糊集v模糊集
11、的表示方法模糊集的表示方法(2)论域连续论域连续 若论域是连续的，则模糊集可用若论域是连续的，则模糊集可用实函数实函数表示。表示。 例如：例如：以年龄为论域以年龄为论域U=0,100， “年轻年轻”和和“年老年老”这两个概念可表示为：这两个概念可表示为：21211025( )251 () 2510050050( )51 () 5010050uuuuuuuu年轻年老当当当当模糊集v模糊集的表示方法模糊集的表示方法(3) 一般表示方法一般表示方法 不管论域不管论域 U 是有限的还是无限的，是连续的亦或是离是有限的还是无限的，是连续的亦或是离散的，扎德（散的，扎德（ L. A. Zadeh ）又给出
12、了一种）又给出了一种类似于积分类似于积分的一般表示形式：的一般表示形式： 这里的记号这里的记号不是数学中的积分符号，也不是求和不是数学中的积分符号，也不是求和，只，只是表示论域中各元素与其隶属度对应关系的总括。是表示论域中各元素与其隶属度对应关系的总括。( )/Au UAuu模糊集的运算v模糊集的包含运算模糊集的包含运算设设A、B分别是分别是U 上的两个模糊集，对任意上的两个模糊集，对任意uU，都有，都有 B(u) A(u) 成立，则称成立，则称A包含包含B，记为，记为B A。v模糊集的交、并、补运算模糊集的交、并、补运算设设A、B分别是分别是U上的两个模糊集，则上的两个模糊集，则A和和B两个
13、集合的两个集合的并集并集AB、交集、交集AB和和A的补集的补集A的的隶属函数隶属函数分别为：分别为： :( )max( ),( )( )( ):( )min( ),( )( )( ): ( )1( )A BABABu UA BABABu UAAABAuuuuuuuuuuuuBA 模糊集的运算v模糊集运算的例子模糊集运算的例子设设U=u1,u2,u3，A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3; B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3求求AB， AB和和AAB = (0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3 = 0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3AB =
14、 (0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3 = 0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3A = (1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3 = 0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3模糊集合上的运算定律v幂等律幂等律v交换律交换律v结合律结合律v分配律分配律,AAAAAA,ABBA ABBA()()()()ABCABCABCABC()()()()()()ABCABACABCABAC模糊集合上的运算定律v吸收律吸收律v两极律两极律v复原律复原律v摩根律摩根律(),()AABAAABAAA,ABABABAB模糊集的水平截集v水平截集的定义：水平
15、截集的定义：设设A是论域是论域U上的模糊集，上的模糊集，0,1，则称，则称普通集合普通集合A = u | uU, A(u) 为为A的一个的一个水平截集水平截集，称为称为阈值阈值或或置信水平置信水平。阈值阈值越大，其水平截集越大，其水平截集A越小。当越小。当1时，时，A最小，最小，称它为称它为模糊集的核模糊集的核。称称 Ker A =u|uU, A(u)=1 和和 Supp A=u|uU, A(u)0分别为模糊集分别为模糊集A的的核核及及支集支集。当。当Ker A时，时，称称A为为正规模糊集正规模糊集。模糊集的水平截集v水平截集，核，支集水平截集，核，支集uSuppAKerA01u模糊度v模糊度
16、模糊度是模糊集的模糊程度的一种度量是模糊集的模糊程度的一种度量v设设A是论域是论域U上的模糊集，记作上的模糊集，记作AF(U) ，d是定义在是定义在F(U)上的实函数，如果它满足以下条件：上的实函数，如果它满足以下条件：(1) d(A)0,1; (2)当且仅当当且仅当A是一个普通集合时，是一个普通集合时，d(A) = 0；(3)若若A的隶属函数的隶属函数A(u)0.5，则，则d(A) = 1;(4)若若A, BF(U) ，且对任意，且对任意uU，满足，满足B(u)A(u) 0.5 或者或者B(u)A(u)0.5，则有则有d(B)d(A)(5)对任意对任意AF(U) ，有，有d(A)=d(A)则
17、称则称d为定义在为定义在F(U)上的一个模糊度上的一个模糊度，d(A)称为称为A的模的模糊度糊度。内容提要1. 模糊逻辑原理模糊逻辑原理2. 模糊集模糊集3. 模糊关系模糊关系4. 模糊变换模糊变换5. 模糊推理模糊推理6. 模糊计算的流程模糊计算的流程模糊关系的定义v定义在集合上的关系定义在集合上的关系设设V与与W是两个是两个普通集合普通集合，V与与W的笛卡尔乘积为的笛卡尔乘积为VW = (v, w) 任意任意 vV，任意，任意 wW 所谓从所谓从V到到W的关系的关系R，是指，是指VW上的一个子集，即上的一个子集，即R VW记为：记为：对于对于VW中的元素中的元素(v,w)，若，若(v,w)
18、R，则称，则称v与与w有有关系关系R；若若(v,w) R，则称，则称v与与w没有关系没有关系R。WVR 模糊关系的定义v例子：例子： VW上的关系上的关系设：设：V=1班，班，2班，班，3班班，W=男队，女队男队，女队则则VW中有中有6个元素，即个元素，即VW = (1班，男队班，男队)，(2班，男队班，男队)，(3班，男队班，男队)，(1班，女队班，女队)，(2班，女队班，女队)，(3班，女队班，女队) 其中，每个元素是一代表队。其中，每个元素是一代表队。假设要进行一种双方对垒的循环赛，则每一个赛局假设要进行一种双方对垒的循环赛，则每一个赛局都是都是VW中的一个子集，它构成了中的一个子集，它
19、构成了VW上的一上的一个关系。个关系。 模糊关系的定义v 设设 Ai 是是 Ui (i=1,2,n) 上的上的模糊集模糊集，则称，则称 为为A1, A2, , An的的笛卡尔乘积笛卡尔乘积，它是，它是U1U2Un上的上的一个模糊集。一个模糊集。 v 在在U1Un上一个上一个n元模糊关系元模糊关系R是指以是指以U1Un为为论域的一个论域的一个模糊集模糊集，记为，记为:121212(,) /(,)RnnUUU nRuuuuuu1212121212()()()/( ,)nnAAAnnUUUnAAAuuuu uu取最小模糊关系的定义v例子：例子： UV上的模糊关系上的模糊关系U = 张三，李四，王五张
20、三，李四，王五 V = 篮球，排球，足球，乒乓球篮球，排球，足球，乒乓球 UV上的一个模糊关系上的一个模糊关系R篮球排球足球乒乓球张三0.70.50.40.1李四00.600.5王五0.50.30.80模糊关系的定义v一般地说，当一般地说，当U和和V都是有限论域时，其模糊关系都是有限论域时，其模糊关系R可可用一个用一个模糊矩阵模糊矩阵表示。表示。 U=u1,u2,umV=v1,v2,vn 则则UV上的模糊关系为上的模糊关系为111212122212( ,)( ,)( ,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)RRRnRRRnRmRmRmnu vu vu vu vu vu vRuvuvuv模糊关系
21、的合成v模糊关系的合成模糊关系的合成设设R1与与R2分别是分别是UV与与VW上的两个模糊关系，则上的两个模糊关系，则R1与与R2的合成是指从的合成是指从U到到W的一个模糊关系，记为的一个模糊关系，记为R1R2其隶属函数为其隶属函数为 隶属函数计算方法：隶属函数计算方法：取取R1的第的第 i 行元素分别与行元素分别与R2的第的第 j 列元列元素相比较，两个数中取其小者，然后再在所得的一组最小数素相比较，两个数中取其小者，然后再在所得的一组最小数中取最大的一个，以此作为中取最大的一个，以此作为R1R2的第的第 i 行第行第 j 列的元素。列的元素。1212( , )( , )( , )R RRRu wu vv w 模糊关系的合成v例子：模糊关系的合成例子：模糊关系的合成设有两个模糊关系设有两个模糊关系 则则R1与与R2的合成是的合成是120.40.50.10.20.80.20.60.20.40.60.50.30.20.60.4RR120.40.50.40.60.30.5RRR
