1、角平分线（第角平分线（第1课时）课时）1 什么叫角平分线？如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线.2 还记得角平分线上的点有什么性质吗? 你是怎样得到的?角平分线上的点到角两边的距离相等. 新课导入情境引入 如图，要在S 区建一个集货市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处O点距离500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为120000）DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求.O导入新课导入新课公路公路铁路铁路角的平分线上的点到角的两边的距离相等1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PE OB,点D、E为垂
2、足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：_ PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 COBAPD=PEpDE实验：OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质一定理猜想定理猜想验证猜想已知：如图,OC是AOB的平分线,点P在OC上，PDOA,PEOB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明： PDOA,PEOB， PDO= PEO=90 .在PDO和和PEO中，PDO= PEO，AOC= BOC，OP= OP， PDO PEO(AAS).PD
3、=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等定理证明定理证明又又OC是AOC的平分线， AOC= BOC，思考：角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理中都提到了“距离相等”，你认为这两个“距离”含义相同吗？不相同.线段垂直平分线的性质定理中“距离”是两点之间的距离，而角平分线的性质定理中的“距离”指的是点到线的距离，因此角平分线性质定理中才要求过点作角的两边的垂线.u 性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）点到线的距离.定理的作用： 证明线段相等.u符号语言：OP 是AOB的平分线，PD = PE（在角的平分线上
4、的点到这个角的两边的距离相等）.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.知识要点PDOA,PEOB，BADOPEC归纳总结归纳总结到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上ODPOEP90，观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：_性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. PDOA,PEOB，如图，要在S 区建一个集货市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处O点距离500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为120000）1 什么叫角平分线？在RtBDE 和 RtCDF中，推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.变式：如图，在RtABC中，AC
5、=BC,C90，AP平分BAC交BC于点P，若PC4, AB=14.OP 是AOB的平分线，已知：如图,OC是AOB的平分线,点P在OC上，PDOA,PEOB,垂足分别为D,E.实验：OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的4 如图，在ABC中，与ABC，ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是()2 还记得角平分线上的点有什么性质吗? 你是怎样得到的?在PDO和PEO中，BCD与过点O作CD的垂线的交点判一判：（1 1）如图， AD平分BAC = ， BD CDBADC（2）如图， DCAC，DBAB = , BD CDBADC上面表达正确的是：上面表达正确的是：A.
6、 都对 B. （1）C. （2） D. 都错例1：已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DEAB, DFAC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明： AD是BAC的角平分线， DEAB, DFAC， DE=DF, DEB=DFC=90 .在RtBDE 和 RtCDF中，DE=DF，BD=CD， RtBDE RtCDF(HL). EB=FC.例题讲解例题讲解例2:如图，AM是BAC的平分线，点P在AM上，PDAC，垂足为D,且PD=4cm，则P到AB的距离为 cm.4例题讲解例题讲解A AB BC CP P变式：如图，在RtABC中，AC=BC,C90，AP
7、平分BAC交BC于点P，若PC4, AB=14.（1）则点P到AB的距离为_.（2）求APB的面积.（3）求PDB的周长.D D变式训练变式训练ABCP如图，在Rt ABC中，AC=BC,C900，AP平分BAC交BC于点P，若PC4，AB=14.（2）求APB的面积.D14PDBCPDPBDBPCPBDBBCDBADDBAB （3）求PDB的周长.ABPD=28.12PDBS=变式训练变式训练角平分线的判定角平分线的判定知识点二知识点二想一想你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？角的平分线上的点到角的两边的距离相等.如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上简写 这个
8、命题是假命题角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.书写格式：如图，PDOA，PEOB，PDPE, 点P在AOB的平分线上(或AOCBOC)已知：如图，点 P 为AOB 内一点，且 PDOA，PEOB，D、E 为垂足且 PD = PE. 求证：OP平分AOB.OABC12PDE证明：PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，ODPOEP90，PDPE，OPOP，RtDOP RtEOP ( HL ).12 (全等三角形的对应角相等).OP平分AOB.试一试 例2 如
9、图，已知BECF，DFAC于点F，DEAB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分BAC.例题讲解（2）求APB的面积. AOC= BOC， RtBDE RtCDF(HL).变式：如图，在RtABC中，AC=BC,C90，AP平分BAC交BC于点P，若PC4, AB=14.A6 B7 cm = ，而角平分线的性质定理中的“距离”指的是点到线的距离，（1）则点P到AB的距离为_.已知：如图，点 P 为AOB 内一点，且 PDOA，PEOB，D、E 为垂足且 PD = PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.1 如图，OP是AOB的平分线，点
10、C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定POC POD的选项是()BCD与过点O作CD的垂线的交点判一判：（1）如图， AD平分BAC在RtBDE 和 RtCDF中，性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.（2）如图， DCAC，DBAB1 如图，OP是AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定POCPOD的选项是()APCOA，PDOB BOCODCOPCOPD DPCPD课堂练习2 如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是()A线段CD的中点BCD与过点O作CD的垂线的交点CCD与AOB的平分线的交点D以上均不
11、对3 如图，在ABC中，C90，ACBC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，若AB6 cm，则DBE的周长是()A6 B7 cm C8 cm D9 cm4 如图，在ABC中，与ABC，ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是()AAF平分BC BAF平分BACCAFBC D以上结论都正确5 如图，ABC 中，AD 是BAC 的平分线， BD = CD， DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.2 还记得角平分线上的点有什么性质吗? 你
12、是怎样得到的?（1）则点P到AB的距离为_.求证：OP平分AOB.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.变式：如图，在RtABC中，AC=BC,C90，AP平分BAC交BC于点P，若PC4, AB=14.PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.书写格式：如图，PDOA，PEOB，PDPE,（3）求PDB的周长.已知：如图,OC是AOB的平分线,点P在OC上，PDOA,PEOB,垂足分别为D,E.实验：OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的ODPOEP90，（2）点在该平分线上； = ，A6 B7 cm如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线.1.应用角平分线性质：存在存在角平分线角平分线涉及涉及距离问题距离问题2.联系角平分线性质：面积面积周长周长条件条件知识与方法知识与方法利用角平分线的性利用角平分线的性质所得到的等量关质所得到的等量关系进行转化求解系进行转化求解课堂小结课堂小结
