1、线性方程组是线性代数的基础内容之一线性方程组是线性代数的基础内容之一对于一对于一般的线性方程组，我们需解决以下三个问题：般的线性方程组，我们需解决以下三个问题：1 1如何判别线性方程组是否有解？如何判别线性方程组是否有解？2 2在有解的情况下，解是否唯一？在有解的情况下，解是否唯一？3 3在解不唯一时，解的结构如何？在解不唯一时，解的结构如何？在第在第1 1章中我们研究了方程个数与未知量个数相等章中我们研究了方程个数与未知量个数相等的情的情形，克拉默法则对上述三个问题中的部分给出形，克拉默法则对上述三个问题中的部分给出回答：回答：有唯一解，并且解可以用行列式之比表有唯一解，并且解可以用行列式之
2、比表示；对齐次线示；对齐次线性方程性方程组，当系数行列式等于零时，齐次线性方程组组，当系数行列式等于零时，齐次线性方程组克拉默法则在理论上是一个非常完美的结果，但克拉默法则在理论上是一个非常完美的结果，但它只对方程个数与未知量它只对方程个数与未知量个数相等的且系数行列式不个数相等的且系数行列式不为零的线性方程组有效，所以应用范围为零的线性方程组有效，所以应用范围有局限性，鉴有局限性，鉴于此，在这一章中我们要讨论如何解一般的线性方程于此，在这一章中我们要讨论如何解一般的线性方程当方程组的系数行列式不等于零时，线性方程组当方程组的系数行列式不等于零时，线性方程组有无穷多解有无穷多解对于其他问题则没
3、有作出解答对于其他问题则没有作出解答组组 在本节，我们讨论一般的线性方程组的解法，在本节，我们讨论一般的线性方程组的解法，一般的线性方程组是指形式为一般的线性方程组是指形式为 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,（1）的方程组的方程组nkkk,21所谓方程组所谓方程组(1)的一个的一个就是指由就是指由 n 个数个数),(21nkkk当当 nxxx,21组成的有序数组组成的有序数组分别用分别用nkkk,21代入后，代入后， (1)中每个等式都变成恒等式中每个等式都变成恒等式称为它的称为它的的解，或者说，求出它的解集合的解，或者说
4、，求出它的解集合有相同的解集合，它们就称为有相同的解集合，它们就称为方程组方程组(1)的解的全体的解的全体解方程组实际上就是找出它全部解方程组实际上就是找出它全部如果两个方程组如果两个方程组mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211mbbbb21nxxxx21系数矩阵系数矩阵常数项向量常数项向量未知数向量未知数向量令令则线性方程组（则线性方程组（1）的矩阵形式为）的矩阵形式为 .bAx 当当0b时，线性方程组（时，线性方程组（1）称为）称为，否则，称为否则，称为mmnmmnnbaaabaaabaaabAB21222221111211),(矩阵矩阵称为方程组（称为方程组（1）的）的
5、显然，线性方程组与其增广矩阵是一一对应的显然，线性方程组与其增广矩阵是一一对应的 在第在第2章矩阵运算知道，对线性方程组进行初等章矩阵运算知道，对线性方程组进行初等变换是不会改变其解的变换是不会改变其解的现在我们用矩阵来证明这个现在我们用矩阵来证明这个结论结论由定理由定理3.1.1，我们可以得到一般线性方程组的解，我们可以得到一般线性方程组的解法：法：这个方法称之为这个方法称之为下面举例利用高斯消元法来求解一般的线性方程下面举例利用高斯消元法来求解一般的线性方程组组 解线性方程组解线性方程组.4223,1232,0432143214321xxxxxxxxxxxx 解齐次线性方程组解齐次线性方程
6、组.054,0373,03552,02234321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解非齐次线性方程组解非齐次线性方程组.27435,123,632321321321xxxxxxxxx用高斯消元法解线性方程组的过程中，当增广矩用高斯消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，得到相应的阶阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，得到相应的阶梯形方程组，并用回代的方法来求解梯形方程组，并用回代的方法来求解其实，回代的其实，回代的过程也可用矩阵来表示出来，过程也可用矩阵来表示出来， 这个过程实际上就是对这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步化简，
7、使其最终化成一种特殊的矩阶梯形矩阵进一步化简，使其最终化成一种特殊的矩阵，从这种矩阵中就可直接解出方程组的解阵，从这种矩阵中就可直接解出方程组的解看例看例1的的阶梯形矩阵阶梯形矩阵111001011001111,111000101011001这个矩阵所对应的阶梯形方程组是：这个矩阵所对应的阶梯形方程组是：.1,0,1434241xxxxxx将此方程组中含将此方程组中含 x4 的项移到等号的右端，得的项移到等号的右端，得.1,1434241xxxxxx即可得原方程组的一般解即可得原方程组的一般解 因此，这种方法在求解线因此，这种方法在求解线性方程组时比较简单，比较方便性方程组时比较简单，比较方便
8、可见，上述的这种可见，上述的这种阶梯形矩阵在求解线性方程组的过程中起着重要的作阶梯形矩阵在求解线性方程组的过程中起着重要的作用用将这种阶梯形矩阵取个名称，即称为行简化阶梯将这种阶梯形矩阵取个名称，即称为行简化阶梯形矩阵，下面给出这种阶梯形矩阵的定义形矩阵，下面给出这种阶梯形矩阵的定义都是行简化阶梯形矩阵，在都是行简化阶梯形矩阵，在 位置的元素可取任意位置的元素可取任意如如值，包括零值值，包括零值100000000010000000100000001000000010000000001001例例4 4 将下列矩阵将下列矩阵化为行简化阶梯形矩阵化为行简化阶梯形矩阵.34732038234202173132)2(,211032121) 1 (容易证明：容易证明：通过上面的三个例子，可归纳出解线性方程组通过上面的三个例子，可归纳出解线性方程组的高斯消元法的一般步骤，现归纳如下：的高斯消元法的一般步骤，现归纳如下： 求解线性方程组求解线性方程组.18522, 722, 22, 7325432153215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 求齐次线性方程组的通解求齐次线性方程组的通解. 07653, 023, 05532, 03454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
