1、 黑龙江省绥化市绥棱县 2016-2017 学年 高二（下）期中试卷（理） 一、选择题； （每小题一、选择题； （每小题 5 分，共计分，共计 40 分）分） 1已知 t 为实数，函数 f（x）=（x24） （xt）且 f（1）=0，则 t 等于（ ） A0 B1 C D2 2直线 y=x+b 是曲线 y=ln x（x0）的一条切线，则 实数 b 的值为（ ） A2 Bln 2+1 Cln 21 Dln 2 3a=xdx，b=exdx，c=sinxdx，则 a、b、c 大小关系是（ ） Aacb Babc Ccba Dcab 4曲线 y=cosx（0x2）与直线 y=1 所围成的图形面积是（
2、） A2 B3 C D 5函数 f（x）=x22lnx 的单调减区间是（ ） A （0，1） B （1，+） C （，1） D （1，1） 6曲线 y=x32x+4 在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ） A30 B45 C60 D120 7如果函数 y=f（x）的图象如图，那么导函数 y=f（x）的图象可能是（ ） A B C D 8若 a 为实数，且（2+ai） （a2i）=4i，则 a=（ ） A1 B0 C1 D2 9i 为虚数单位，i607的共轭复数为（ ） Ai Bi C1 D1 105 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方 法共有（ ） A1
3、0 种 B20 种 C25 种 D32 种 11 用数字 0， 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的五位数， 其中比 40000 大的偶数共有 （ ） A144 个 B120 个 C96 个 D72 个 12 要从 8 名男医生和 7 名女医生中选 5 人组成一个医疗队， 如果其中至少有 2 名男医生和 至少有 2 名女医生，则不同的选法种数为（ ） A （C+C） （C+C） B （C+C）+（C+C） CCC+CC DCC+C+C 二、填空题： （每个小题二、填空题： （每个小题 5 分，分，20 分）分） 13已知函数 y=f（x）=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有
4、极值，其图象在 x=1 处的切线平行于直 线 6x+2y+5=0，则 f（x）极大值与极小值之差为 14则二项式（3）6的展开式中含 x2项的系数是 15若，则 n 等于 16复数 z 满足（34i）z=5+10i，则|z|= 三、简答题； （三、简答题； （17 题题 10 分，分，18-22 题题 12 分）分） 17求下列函数的导数： （1）y=（1） （1+） （2）y= 18已知函数 f（x）=x3+x16 （1）求曲线 y=f（x）在点（2，6）处的切线的方程； （2）直线 l 为曲线 y=f（x）的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标； （3）如果曲线 y=f（x）的某
5、一切线与直线 y=x+3 垂直，求切点坐标与切线的方程 19设函数 f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取得极值 （1）求 a、b 的值； （2）若对于任意的 x0，3，都有 f（x）c2成立，求 c 的取值范围 20设函数 f（x）=x36x+5，xR （1）求 f（x）的单调区间； （2）求 f（x）的极大值和极小值； （3）若关于 x 的方程 f（x）=a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取值范围 21如图，在区间0，1上给定曲线 y=x2，试在此区间内确定点 t 的值，使图中阴影部分的 面积 S1+S2最小 22证明：的展开式中的中间一项是 参考答案
6、一、选择题； （每小题一、选择题； （每小题 5 分，共计分，共计 40 分）分） 1 【考点】导数的运算 【分析】利用导数的运算法则可得：f（x） ，根据 f（1）=0，即可得出 【解答】解：函数 f（x）=（x24） （xt） ，f（x）=2x（xt）+（x24） ， f（1）=0，2（1t）+（14）=0， 解得 t= 故选：C 2 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】设出切点坐标，求出函数 y=lnx 的导函数，可得过切点处的直线的斜率为，再与 切点在直线上联立求解 b 值 【解答】解：设切点为（x0，lnx0） ， 由 y=ln x，得 y=， ， 则，解得 b=ln21
7、 故选：C 3 【考点】定积分 【分析】根据常见函数的积分公式将已知的 a，b，c 分别化简然后比较大小 【解答】解：a=x2dx=； b=exdx=； c=sinxdx=cosx|=1cos2； 则 2a3，b3，1c2， cab， 故选：D 4 【考点】定积分在求面积中的应用 【分析】根据余弦函数的对称性，可知与，与的面积分别相等，所以曲线 y=cosx （0x2）与直线 y=1 所围成的图形面积即为 x 轴上方矩形的面积，由此可得结论 【解答】解：根据余弦函数的对称性，可知与，与的面积分别相等， 曲线 y=cosx（0x2）与直线 y=1 所围成的图形面积即为 x 轴上方矩形的面积 即
8、12=2 曲线 y=cosx（0x2）与直线 y=1 所围成的图形面积是 2 故选 A 5 【考点】函数的单调性及单调区间 【分析】求出函数的导数，令导数小于 0，注意函数的定义域，解不等式即可得到单调减区 间 【解答】解：函数 f（x）=x22lnx（x0）的导数为 f（x）=2x ， 令 f（x）0，解得 0x1 即有单调减区间为（0，1） 故选 A 6 【考点】导数的几何意义 【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知 k=y|x=1，再结合 正切函数的值求出角 的值即可 【解答】解：y/=3x22，切线的斜率 k=3 122=1故倾斜角为 45 故选 B 7 【
9、考点】函数的单调性与导数的关系 【分析】由 y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负 【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负， 故选 A 8 【考点】复数相等的充要条件 【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之 【解答】解：因为（2+ai） （a2i）=4i，所以 4a+（a24）i=4i， 4a=0，并且 a24=4， 所以 a=0； 故选：B 9 【考点】虚数单位 i 及其性质 【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可 【解答】解：i607=i604+3=i3=i， 它的共轭复数为：i 故选：A 10 【考点】分步乘法计数原理 【分析】每位同学
10、参加课外活动小组的方法数都是 2 种，5 名同学，用分步计数原理求解 【解答】解：5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同 的报名方法共有 25=32 种 故选 D 11 【考点】排列、组合及简单计数问题 【分析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是 4、5 其中 1 个，末位数字为 0、2、 4 中其中 1 个；进而对首位数字分 2 种情况讨论，首位数字为 5 时，首位数字为 4 时， 每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情 况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案 【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须
11、是 4、5 其中 1 个，末位数字为 0、 2、4 中其中 1 个； 分两种情况讨论： 首位数字为 5 时，末位数字有 3 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位 置上，有 A43=24 种情况，此时有 3 24=72 个， 首位数字为 4 时，末位数字有 2 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位 置上，有 A43=24 种情况，此时有 2 24=48 个， 共有 72+48=120 个 故选：B 12 【考点】排列、组合的实际应用 【分析】医疗小分队至少要 2 名男医生和 2 名女医生，共有 2 种结果，包括三男两女，有 C83C72=117
12、6 种，两男三女，有 C82C73=980 种，相加得到结果 【解答】解：医疗小分队至少要 2 名男医生和 2 名女医生，共有 2 种情况，包括： 三男两女，有 C83C72种， 两男三女，有 C82C73种， 共计 CC+CC 种， 故选：C 二、填空题： （每个小题二、填空题： （每个小题 5 分，分，20 分）分） 13 4 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；6C：函数在某点取得极值的条件；6D：利用 导数研究函数的极值 【分析】先对函数进行求导，由题意可得 f（2）=0，f（1）=3，代入可求出 a、b 的值， 进而可以求出函数的单调区间，函数的极大值为 f（0）=c，极小值为
13、f（2）=c4，即可得 出函数的极大值与极小值的差 【解答】解：对函数求导可得 f（x）=3x2+6ax+3b， 因为函数 f（x）在 x=2 取得极值，所以 f（2）=322+6a2+3b=0 即 4a+b+4=0 又因为图象在 x=1 处的切线与直线 6x+2y+5=0 平行 所以 f（1）=3+6a+3b=3 即 2a+b+2=0 联立可得 a=1，b=0 所以 f（x）=3x26x=3x（x2） 当 f（x）0 时，x0 或 x2；当 f（x）0 时，0x2 函数的单调增区间是 （，0）和（2，+） ；函数的单调减区间是（0，2） 因此求出函数的极大值为 f（0）=c，极小值为 f（2
14、）=c4 故函数的极大值与极小值的差为 c（c4）=4 故答案为 4 14 1458 【考点】二项式系数的性质 【分析】根据二项式展开式的通项公式，计算展开式中含 x2项的系数即可 【解答】解：二项式（3）6展开式中，通项公式为 Tr+1=（1）r36rx3r， 令 3r=2，解得 r=1； 展开式中含 x2项的系数是135=1458 故答案为：1458 15 14 【考点】组合及组合数公式 【分析】 把已知的等式移向后利用组合数公式的性质化简， 然后再由组合数公式的性质列式 计算 【解答】解：由，得 所以 n+1=7+8=15所以 n=14 故答案为 14 16 【考点】复数求模 【分析】首
15、先通过复数的除法运算得到复数 z，然后求模长 【解答】 解： 因为 （34i） z=5+10i， 所以 z=1+2i， 则|z|= ； 故答案为： 三、简答题； （三、简答题； （17 题题 10 分，分，18-22 题题 12 分）分） 17 解： （1）y=（1） （1+）=（1） （）=， 则 y=（）（）=， y=， （2）y=则 y= =， y=， 18 解： （1）可判定点（2，6）在曲线 y=f（x）上 f（x）=（x3+x16）=3x2+1， 在点（2，6）处的切线的斜率为 k=f（2）=13 切线的方程为 y=13（x2）+（6） ，即 y=13x32； （2）设切点为（x0
16、，y0） ， 则直线 l 的斜率为 f（x0）=3x02+1， 直线 l 的方程为 y=（3x02+1） （xx0）+x03+x016， 又直线 l 过点（0，0） ， 0=（3x02+1） （x0）+x03+x016， 整理得，x03=8， x0=2， y0=（2）3+（2）16=26， k=3 （2）2+1=13 直线 l 的方程为 y=13x，切点坐标为（2，26） （3）切线与直线 y=+3 垂直， 切线的斜率 k=4 设切点的坐标为（x0，y0） ，则 f（x0）=3x02+1=4， x0= 1， 或 切线方程为 y=4（x1）14 或 y=4（x+1）18 即 y=4x18 或 y
17、=4x14 19 【考点】利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （1）根据已知条件可得关于 a，b 的方程组，解出并验证即可； （2）利用导数先求出函数 f（x）在区间0，3上的极大值，再求出区间端点的函数值，进 行比较，得出最大值又已知要求的问题：对于任意的 x0，3，都有 f（x）c2成立f （x）maxc2，x0，3进而解出即可 【解答】解： （1）函数 f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c， f（x）=6x2+6ax+3b 函数 f（x）在 x=1 及 x=2 时取得极值， ，解得 f（x）=6x218x+12=6（x1） （x2） 经验证当 a=3
18、，b=4 时，函数 f（x）在 x=1 及 x=2 时取得极值 a=3，b=4； （2）由（1）可知：f（x）=6x218x+12=6（x1） （x2） 令 f（x）=0，解得 x=1，2， 令 f（x）0，解得：x2 或 x1，令 f（x）0，解得：1x2， 故函数 f（x）在区间0，1） ， （2，3上单调递增；在区间（1，2）上单调递减 函数 f（x）在 x=1 处取得极大值，且 f（1）=5+8c 而 f（3）=9+8c，f（1）f（3） ， 函数 f（x）在区间0，3上的最大值为 f（3）=9+8c 对于任意的 x0，3，都有 f（x）c2成立f（x）maxc2，x0，39+8cc2
19、， 由 c28c90，解得 c9 或 c1 要求的 c 的取值范围是（，1）（9，+） 20 解： （1）f（x）=3x26=3（x22） ， 令 f（x）0，解得：x， 令 f（x）0，解得：x或 x， 函数 f（x）的递减区间是（，） ，递增区间是（，）与（，+） ； （2）由（1）得当 x=时，有极大值 5+4，当 x=时，有极小值 54； （3）由（1） （2）的分析可知 y=f（x）图象的大致形状及走向， 当 54a5+4时， 直线 y=a 与 y=f（x）的图象有 3 个不同交点， 即方程 f（x）=a 有三解， 54a5+4 21解： ， 令 S（t）=0，得或 t=0（舍去） 当时，S（t）0；当时，S（t）0； 当时，S（t）为减函数，当时，S（t）为增函数 所以，当时， 22证明：的展开式共有 2n+1 项，展开式的中间一项是： Tn+1=xn =（1）n =（1）n =（1）n =（2）n
