1、重庆理工大学硕士研究生试题专用纸重庆理工大学 2013 年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：数学与统计学院 学科、专业名称：数学、统计学考试科目（代码）：815高等代数（A卷） （试题共 4 页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一、填空题（每小题3分，共15分）1.设为复数域上没有重根的多项式，则_2.设且齐次线性方程组的解空间的维数为2,则_3.设矩阵,为单位矩阵，则 _4.设为3阶实对称矩阵,且,则的全部特征值为 _5.若实对称矩阵与矩阵合同,则二次型的标准形为_二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列说法正确的是（
2、） A、零多项式能整除任意多项式；B、数域上的任一次多项式都可以分解成上的不可约多项 式的乘积； 第 1 页C、若多项式在数域上可分解，则在上有根；D、实数域上的任意二次多项式都是可约的。2. 设，则该线性方程组（ ） A、对任意都有解； B、仅当时有解； C、仅当时有解； D、仅当时有解。3.设为阶矩阵，为阶可逆矩阵，则（ ） A、 B、 C、 D、4. 若数域上向量空间中的向量线性相关，则（ ） A、线性相关； B、线性无关； C、对中的任一向量，都有线性相关； D、对中的任一向量，都有线性无关。5. 阶实对称矩阵是正定矩阵的充分必要条件是（ ） A、 B、的所有特征值非负 C、 D、是正
3、定矩阵三、（12分）给定多项式，（1）（5分）证明： 第 2 页（2）（7分）若，其中，表示有理数域，且的次数=的次数，问能否求出的有理根，若能，求的所有有理根。四、（12分）给定齐次线性方程组，（1）（8分）求已知齐次线性方程组的系数行列式；（2）（4分）取何值时，方程组有非零解？在有非零解时，确定其解空间的维数。五、（14分）已知阶方阵，均为维列向量，其中线性无关，（1）（6分）求；（2）（8分）求线性方程组的通解。六、（16分）设矩阵的伴随矩阵，且，（1）（6分）求；（2）（10分）求矩阵。 第 3 页七、（16分）给定向量组，（1）（10分）求生成子空间的维数及一个基；（2）（6分）向量是否属于，请说明理由。八、（16分）设是阶方阵，且（1）（4分）确定可能的特征值；（2）（6分）证明：可逆；（3）（6分）。九、（16分）设是欧式空间的一个规范正交基，是的一个向量组，（1）（6分）证明：；（2）（10分）求在中的正投影。十、（18分）已知实二次型的秩，（1）（8分）求的值；（2）（10分）应用变量的正交变换，将化为标准形。 第 4 页
