1、第 1页，共 17页20222022 年太原五中高三年级数学模拟试题（理科）年太原五中高三年级数学模拟试题（理科）命题：凌河命题：凌河 审校：王志军审校：王志军 桑小燕桑小燕一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.设集合 = | 5， = | = ln(2+ 2 3), ，则 = ()A. 3,1B. 3, 1C. 2, 1,0,1,2D. 3, 2, 1,0,1【答案】D【解析】解： = | 5 = 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4， = | = ln(2+ 2 3) = 4,2,3,4，故 = 3, 2, 1,0,1，故选：分别化简集合、，再求补集即可本题考查集合的
2、基本运算，是基本知识的考查，属于基础题2.若复数满足(1 + ) = |2 5| + 2，则的共轭复数对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】解： |2 5| =22+ ( 5)2= 3， (1 + ) = |2 5| + 2 = 3 + 2， =3+21+=(3+2)(1)(1+)(1)=5212， =52+12， 对应的点(52,12)在第一象限故选：根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算对化简，再结合共轭复数的定义和复数的几何意义，即可求解本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题3.已知向量? ?= (3,1)，? ?= (
3、1,3)，且(? ?+ ? ?) (? ? ? ?)，则的值为()A.2B.1C.1D.2【答案】C第 2页，共 17页【解析】解：向量? ?= (3,1)，? ?= (1,3)，且(? ?+ ? ?) (? ? ? ?)， (? ?+ ? ?) (? ? ? ?) = ? ?2+ (1 )? ? ? ? ? ?2= 10 + (1 )(3 + 3) 10 = 0， = 1，故选：由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题4.某中学高三(1)班有 50 名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩(110,
4、100)，则估计该班数学得分大于 120 分的学生人数为()(参考数据：(| | ) 0.68 ，(| | 120) = ( + ) =1(|)2= 0.16，50 0.16 = 8，故选：5.函数 = 2 +11的部分图象大致为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：函数 = () = 2 +11( 0)，( ) = sin( 2) +11= 2 1+1= ()，可得()为偶函数，其图象关于轴对称，第 3页，共 17页可排除选项 A、；由 = 0，可得2 = 0，可得 2 = ， ，即 =12， ， = 1 时， =2；当 =12 0，可排除选项 D故选：首先判断函数的奇偶性，可得图象的对
5、称性，计算 =12时的符号，可得结论本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题6.如图为陕西博物馆收藏的国宝-唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线：2222= 1( 0, 0)的右支与直线 = 0， = 4， = 2 围成的曲边四边形绕旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为10 33，下底外直径为2 393，则下列曲线中与双曲线共渐近线的是()A.23 2= 1B.2923= 1C.24 2= 1D.2326= 1【答案】A【解析】解：根据题意，双曲线经过点(5 33,4)，(3
6、93, 2)，则有2532162= 1133242= 1，解可得2= 3，2= 9，则双曲线的方程为2329= 1，其渐近线方程为 =3，由此依次分析选项：对于，23 2= 1，其渐近线方程为 =3，符合题意，对于，2923= 1，其渐近线方程为 =33，不符合题意，对于，24 2= 1，其渐近线方程为 = 2，不符合题意，对于，2326= 1，其渐近线方程为 =2，不符合题意，故选：第 4页，共 17页根据题意，分析可得双曲线经过点(5 33,4)，(393, 2)，由待定系数法求出的方程，即可得其渐近线方程，依次求出选项中双曲线的渐近线方程，即可得答案本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的
7、标准方程的求法，属于基础题7.“烂漫的山花中， 我们发现你 自然击你以风雪， 你报之以歌唱 命运置你于危崖， 你馈人间以芬芳 不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强你是岸畔的桂，雪中的梅”这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有 8 名志愿者要到 4 个学校参加支教活动，要求甲、乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排 3 个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有()A.156 种B.1000 种C.880 种D.1120 种【答案】C【解析】解：不考虑小李和
8、小王是否在一起，要求甲、乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排 3个人，其方法共有：82 63 33= 1120 种；考虑小李和小王在一起，要求甲、乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排 3 个人，其方法共有：62 22 41 22= 240 种；因此要求甲、乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排 3 个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有 1120 240 = 880 种故选：不考虑小李和小王是否在一起，要求甲、乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排 3 个人，其方法共有：82 63 33种；考虑小李和小王在一起，要求甲、乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排
9、 3个人，其方法共有：62 22 41 22；即可得出结论本题考查了排列组合的应用、分类讨论方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.已知数列1(21)(2+3)的前项和为，则使“ ，不等式 6 0D. 2【答案】D【解析】解：1(21)(2+3)=14(12112+3)， =14(1 15) + (1317) + (1519) + (17111) + . + (12112+3)=14(1 +1312 + 112 + 3) =13 + 1(2 + 1)(2 + 3),第 5页，共 17页 +1 =+1(2+1)(2+3)+2(2+3)(2+5)=2+3(2+1)(2+3)(2+5
10、) 0， 为增数列， 13， ，不等式 6 2 恒成立为真命题， 2 2， 2 2 0， 2 或 1， | 2| 2 或 1，故选：利用裂项法求出=13+1(2+1)(2+3)，再判断数列单调性，求出13，解不等式求出 2 或 1，再利用充要条件的定义判定即可本题考查了利用裂项法求数列的和，数列单调性的判断，充要条件的判定，属于中档题9.已知三棱柱 111的 6 个顶点全部在球的表面上， = ， = 120，三棱柱111的侧面积为 8 + 4 3，则球表面积的最小值是( )A.4B.16C.163D.323【答案】B【解析】【分析】本题考查简单几何体及其外接球，考查空间想象能力，是中档题由已知
11、先求得球体半径的最小值，再计算表面积即可【解答】解：设三棱柱 111的高为， = = ，因为 = 120，所以 =3，则该三棱柱的侧面积为(2 +3) = 8 + 4 3，故 = 4， =4，设 的外接圆半径为，则 =2sin= ，设球的半径为，则2= 2+ (2)2= 2+24=162+24 4(当且仅当 = 2 2时，等号成立)，故球的表面积为，故选 B10.正实数,满足 + 2= 2, + 3= 3, + log4 = 4，则实数,之间的大小关系为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查比较大小，考查函数的零点与方程根的关系，考查指数函数的图象及其性质 、对数函数图象及
12、其第 6页，共 17页性质，属于中档题利用指数函数图象及其性质 、对数函数图象及其性质，结合函数的零点与方程根的关系，可得 1 2，12 1，3 0， 1 = 1 + 21 2 =12 0，(1)(2) 0，则 1 0，12=12+ 312 3 =3 52 0， 1 12 0，故12 0， 3 = 3 + log43 4 = log43 1 0，(3)(4) 0，则 3 4; 0)，若方程|()| = 1 在区间(0,2)上恰有 5 个实根，则的取值范围是()A.(76,53B.(53,136C.(1,43D.(43,32【答案】D第 7页，共 17页【解析】解：方程|()| = 1 在区间(
13、0,2)上恰有 5 个实根，即|sin( +6)| =12在区间(0,2)上恰有 5 个实根，因为 (0,2)，所以 +6 (6,2 +6)，作出 = |和 =12的图象，如图：由图象可得176 2 +6196，解得43 32，即的取值范围是(43,32.故选：根据正弦函数的图象即可求解本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题12.已知函数() = |2122 ln( + 1) + ，若() 3 恒成立，则的取值范围为()A., + )B.2, + )C.2, + )D.22, + )【答案】C【解析】解： () 3 恒成立， ( 1, + )， (0, +
14、 )，取 = 0，则(0) =2+ = ()在 (0, + )上单调递增，取 = 2时，(2) = 1 + 2 = 3，因此 2取 = 2时，() =122 ln( + 1) + 2, 1 0122 ln( + 1) + 2, 0，1 (0) = 1 0， ()在( 1,0)上单调递增， () (0) = 2 (0) =12 0，此时函数()单调递增，(0) = 3，因此() 3 恒成立， 的取值范围为2, + )，故选：第 8页，共 17页由() 3 恒成立， ( 1, + )， (0, + )，取 = 0，可得(0) =2+ = ()在 (0, + )上单调递增，取 = 2时，(2) =
15、3，于是 2.取 = 2时，() =122 ln( + 1) + 2, 1 1，若()在区间,4上的值域为 1,2，则实数的取值范围为_【答案】 8, 1【解析】解：函数()的图象如图所示，结合图象易得当 8, 1时，() 1,2故答案为： 8, 1函数()的图象如图所示，结合图象易得答案第 10页，共 17页本题考查了函数的值域和定义域的关系，关键是画图，属于基础题16.过抛物线： 2= 4的准线上一点作的切线， ， 切点分别为， ， 设弦的中点为， 则|的最小值为_【答案】2【解析】解：设点(1,124)，(2,224)，由2= 4，知 =142，则=12，所以过点的切线方程为 =12(
16、1) +124，将点(, 1)代入，化简得12 21 4 = 0，同理可得22 22 4 = 0，所以1，2是关于的方程2 2 4 = 0 的两个根，由根与系数的关系知1+ 2= 2，12= 4，所以1+22= ，即中点的横坐标为，而点的横坐标也为，所以直线与轴平行点(,12+228)，则| =12+228+ 1 =(1+2)22128+ 1 =42+88+ 1 =122+ 2 2，当 = 0 时，|= 2故答案为：2设点(1,124)，(2,224)，由2= 4，知 =142，则=12，然后求解切线方程，通过1，2是关于的方程2 2 4 = 0 的两个根， 可得直线与轴平行 点(,12+22
17、8)， | =12+228+ 1， 求解可得|的最小值本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题三、解答题（本大题共 7 小题，共 80.0 分）17.已知 的内角，的对边分别为，且 = 7， = 3，_(1)求 的面积；(2)求角的平分线的长在? ?=332；1221=73； = 2 3cos22.这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答【答案】解：(1)选：因为? ?=332，所以( ) =332，又 = 7， = 3，所以 =1114，所以 =5 314所以=12 =15 34第 11页，共 17页选：因为 = 7， = 3，所以由正弦定理可得
18、1221=73=，所以 2 = 2 ， + = 2 + 2 = 2，由正弦定理可得 + = 2，所以 = 5，由余弦定理可得， =2+222=12，由 (0,)，所以 =23，所以=12 =15 34选：因为 = 2 3cos22，所以 22cos2= 2 3cos22，由 (0,)，cos2 0，所以 tan2=3， =23，由余弦定理可得， =2+222=12，所以 = 5，所以=12 =15 34(2)选：由余弦定理可得，2= 2+ 2 2 = 25，所以 = 5所以 =2+222=12，由 (0,)，所以 =23，因为=12 sin2+12 sin2=15 34，所以可解得 =158选
19、：因为=12 sin2+12 sin2=15 34，所以可解得 =158选：因为=12 sin2+12 sin2=15 34，所以可解得 =158【解析】(1)选：由平面向量数量积的定义化简已知等式可求得，再求，即可由三角形面积公式求得面积；选：由正弦定理得1221=73=化简即可求得，再由余弦定理求得，再求，即可由三角形面积公式求得面积：选：由倍角公式化简已知等式可得 tan2，即可求得，再由余弦定理求得，再求，即可由三角形面积公式求得面积(2)选：由余弦定理2= 2+ 2 2求得，再由余弦定理求得，即可求得，最后由=12 sin2+12 sin2=15 34可解得选：由=12 sin2+1
20、2 sin2=15 34即可解得；选：由=12 sin2+12 sin2=15 34即可解得本题考查了平面向量数量积的定义，三角形面积公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考第 12页，共 17页查了计算能力和转化思想，属于中档题18.如图， 是边长为 3 的等边三角形， ， 分别在边， 上， 且 = = 2，为边的中点，交于点，沿将 折到的位置，使 =152(1)证明： 平面；(2)若平面内的直线/平面，且与边交于点，问在线段上是否存在点，使二面角 的大小为 60？若存在，则求出点；若不存在，请说明理由【答案】解：(1)证明：在 中，由题意 =3， =32， =152， 2= 2+
21、 2， ， = = 2， = = 3， /， 为中点， ， ， = ， 平面， 平面(2)连接，过作/，交于， 平面， 平面， /平面， /，四边形是平行四边形， = = 1，如图， 建立空间直角坐标系 ， 设?= ?， (0 1)(0,0,3)，(0,32,0)，(1,0,0)，( 12,32,0)， ?= (0,32, 3)，?= ( 32,32,0)，?= (0,32, 3)，?= ?+ ?= ( 1,32,3 3)，平面的法向量? ?= (0,0,1)，设平面的法向量?= (,)，则? ?=32 +32 = 0? ?= +32 + ( 3 3) = 0，取 = 1，得?= (1,3,1
22、323 3)，在线段上存在点，使二面角 的大小为 60， 60 =|? ?|? ?|?|=|1323 3|1+3+(1323 3)2，解得 = 2(舍)或 =67，此时，?=67?= (0,3 37, 6 37)，在线段上存在点，使二面角 的大小为 60，点坐标为(0,3 37,37).第 13页，共 17页【解析】(1)先由勾股定理证明 ，再推导出 ，能证明 平面(2)连接，过作/，交于，建立空间直角坐标系 ，利用向量法求解本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.为积极响应国家强化稳就业
23、号召，我国某世界 500 强企业加大招聘力度，在秋季招聘结束后，又面向应届大学毕业生全面启动了 2022 年春季校园招聘活动招聘方式分笔试、面试这两环节进行，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，且这几个环节能否过关相互独立现大学有甲、 乙、 丙三名应届硕士研究生报名参加了该企业的春季校园招聘， 并已通过该企业的资料初审 笔试环节设置，两个科目，其中甲通过，科目测试的概率分别为23，34，乙通过，科目测试的概率分别为34，45，丙通过，科目测试的概率与乙相同面试环节中各人通过面试的概率均为23(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率；(2)该企业为参加招聘的同学提供了一种
24、奖励方案：只参加了笔试的同学奖励 60 元，参加了面试的同学再奖励 100 元丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为 480 元的概率肯定低于他们获得总奖金为 180 元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确；(3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为，求的分布列和数学期望【答案】解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，则() =2334=12,() = () =3445=35，(1)甲、乙、丙三人中恰有一人笔试合格的概率为 = (+ + )= ()()() + ()()() + ()()()=12 (1 35)2+ (1 12) 35 (1 35) 2
25、 =825(2)若这三名同学获得 180 元的总奖金，则表明他们三人都末进人面试，故所求的概率为1= () =()()() = (1 12) (1 35)2=225，若这三名同学获得总奖金为 480 元，则表明他们三人都进入了面试，故所求的概率为2= () =()()() =123535=950因为1 0)的左、右焦点，点(1,2 33)在椭圆上，且过点2的直线交椭圆于，两点， 1的周长为 4 3(1)求椭圆的方程；(2)已知抛物线有性质：“过抛物线2= 2px( 0)的焦点为的弦满足|AF| + |BF| =2|AF| |BF|”那么对于椭圆，问否存在实数，使得|2| + |2| = |2|
26、 |2|成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由【答案】解：(1)根据椭圆的定义，可得|1| + |2| = 2，|1| + |2| = 2， 1的周长为 4 = 4 3，得 =3，所以，椭圆的方程为：23+22= 1，将点(1,2 33)代入椭圆的方程可得 =2，所以椭圆的方程为23+22= 1(2)由(1)可知 =2 2= 1，得2(1,0)，依题意可知直线的斜率不为 0，故可设直线的方程为 = + 1，由23+22= 1 = + 1消去，整理得(22+ 3)2+ 4 4 = 0，设(1,1)，(2,2)，则1+ 2=422+3，12=422+3，不妨设1 0，2 0，2 0，此时()的
27、单调递增区间是(0, + )，无单调减区间；当 0 时，令() 0，解得 0 12，此时()的单调递增区间为(0,12)，令() 12，此时()的单调递减区间为(12, + )(2)不等式() 在区间(0, + )上恒成立，即 2 + 在区间(0, + )上恒成立，即2+ 0 在区间(0, + )上恒成立；设() =2+ ， (0, + )，则() =2+1(2+)2 ，且(0) =13 ，因为2+1(2+)2=2+43(2+)2=22+3(2+)2，令 = 2 + ， 1,3，则1 13,1，则2+1(2+)2=232= 3(113)2+13 1,13，当 13时，() =2+1(2+)2
28、0(不恒为 0)，所以()在(0, + )上单调递减；所以当 (0, + )时，() (0) = 0，符合题意；当 0，因为()的图象是不间断的，所以存在0 (0, + )，使得对任意的 (0,0)，总有() 0，所以()在区间(0,0)上单调递增，第 16页，共 17页所以对任意的 (0,0)，总有() (0) = 0，这与题设矛盾，综上知，实数的取值范围是13, + )【解析】(1)求出函数()的定义域和导数，讨论的取值范围，利用导数判断函数()的单调性；(2)问题转化为2+ 0 在区间(0, + )上恒成立，设() =2+ ， (0, + )，求()的导数，利用导数判断函数的单调性，讨论
29、的取值情况，从而求出不等式恒成立时实数的取值范围本题考查了利用导数研究函数的单调性与求函数极值、最值的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题22.在数学中， 有多种方程都可以表示心型曲线， 其中著名的有笛卡尔心型曲线 如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 = 1 (0 2, 0)为该曲线上一动点(1)当| =12时，求的直角坐标；(2)若射线逆时针旋转2后与该曲线交于点，求 面积的最大值【答案】解：(1)因为| =12，所以12= 1 ， =12，因为 0 2，所以 =6或 =56，所以的极坐标为(12,6)或(12,56
30、)，故的直角坐标为(34,14)或( 34,14)(2)设(1,)， 0,2)，则(2, +2)因为1= 1 ，2= 1 sin( +2) = 1 ，所以=12| =12(1 )(1 ) =121 ( + ) + 令 = + =2sin( +4) 2,2，则 =212所以=12(1 +212) =14212 +14=14( 1)2，当 =2时，有最大值3+2 24，此时 sin( +4) = 1， =54，故的最大值为3+2 24【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方
31、程和直角坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题第 17页，共 17页23.已知函数() = | + | | + 2|.(1)若 = 2，求不等式() 能成立，求实数的取值范围【答案】解：(1)当 = 2，() = | + 2| | + 4| ，当 4 时，可得 2 + + 4 2， ，当4 2 时，可得 2 4 2， ，当 2 时，可得 + 2 4 2， 2，综上，不等式() 2(2)依题意，(2) |2 + | |2 + 2| ，又 |2 + | |2 + 2| |2 + 2 2| = | 2|，故| 2| ，令() = | 2|， 0,2，画出函数()的图象如下，结合()的图象知，()= (2) = 2， ，再画出函数() = | 2|的图象，从而求得实数的取值范围本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了使不等式成立问题，是中档题
