1、第 1页，共 15页20222022 年太原五中高三年级数学模拟试题（文科）年太原五中高三年级数学模拟试题（文科）命题：凌河命题：凌河 审校：王玥审校：王玥一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 = | 14| 14， = | 12，若 ，则实数的取值范围是()A.(0,12)B.(0,12C.0, + )D.1, + )【答案】C【解析】解： = | 14| 14 = |0 12， = | 12，当 =，即 12时， 成立；当 ，即 12时，0 12，综上所述，实数的取值范围是0, + )，故选：化简集合，再分类讨论确定实数的取值范围本题考查了集合的化简与运算，属于
2、基础题2.复数满足 + 3 = 2 5，则的虚部是()A.12B.12C.12D.12【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的共轭复数，复数的运算以及复数的概念，属于基础题由复数的运算先求出的共轭复数，再得出即可【解答】解：由题意可得 =253+=(2)(3)(3+)(3)=5510=1212， =12+12，故的虚部为12故选 A3.已知 sin( +6) =55，则 sin(2 +56) = ()A.35B.15C.25D.35【答案】第 2页，共 15页D【解析】【分析】本题考查了三角函数辅助角公式，二倍角公式以及诱导公式的应用，属于中档题根据二倍角公式与诱导公式可知 sin(2 +56
3、) = sin2( +6) +2 = cos2( +6) = 1 2sin2( +6)即可求解【解答】sin(2 +56) = sin2( +6) +2 = cos2( +6) = 1 2sin2( +6) = 1 25=354.第 24 届冬季奥运会于 2022 年 2 月 4 日至 20 日在北京举行， 中国代表团取得了 9 枚金牌， 4 枚银牌，2 枚铜牌的历史最好成绩2 月 8 日，在自由式滑雪女子大跳台坡面障碍技巧比赛中，中国运动员谷爱凌在最后一跳中完美地完成了超高难度动作 1620，得分反超对手，获得了金牌已知六个裁判为谷爱凌这一跳的打分分别为 95，95，95，93，94，94，
4、评分规则为去掉六个原始分中的一个最高分和一个最低分，剩下四个有效分的平均数即为该选手的本轮得分设这六个原始分的中位数为，方差为2；四个有效分的中位数为1，方差为12.则下列结论正确的是()A. 1，12 2B. 1，2 12C. = 1，2 12D. = 1，12 2【答案】D【解析】解：容易求出这六个原始分 95，95，95，93，94，94 的中位数为 = 94.5，方差为2；四个有效分 95，95，94，94 的中位数为1= 94.5，方差为12；根据方差的定义知四个有效分的波动性变小，所以12 2故选：可求出六个原始分和四个有效分的中位数，再根据方差的定义判断方差的大小本题考查了中位数
5、和方差的定义与应用问题，是基础题5.已知直线: = 2 + 和圆:2+ 2= 1，则“ =5”是“直线与圆相切”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】本题考查了充分必要条件的判断和，直线与圆的位置关系，是一道基础题求出直线与圆相切时满足的条件，再利用必要条件、充分条件与充要条件的判断方法判断即可【解答】解：若直线： = 2 + 与圆2+ 2= 1 相切，则22+12= 1，解得 =5，第 3页，共 15页所以“ =5”是直线与圆相切”的充分不必要条件 故选 B6.已知向量? ?= ( ,1)，? ?= (1, + 2)，且? ?
6、 ? ?.若点(,)的轨迹过定点，则这个定点的坐标是()A.( 2,1)B.(1, 2)C.( 1,2)D.(2, 1)【答案】A【解析】解：因为? ? ? ?，故 + + 2 = 0，整理得到： + 2 + ( 1) = 0，故定点为：( 2,1)故选：先求出点(,)的轨迹为动直线，从而可求定点本题主要考查轨迹方程的求解，直线恒过定点问题等知识，属于中等题7.函数 = 2 +11的部分图象大致为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：函数 = () = 2 +11( 0)，( ) = sin( 2) +11= 2 1+1= ()，可得()为偶函数，其图象关于轴对称，可排除选项 A、；由 =
7、 0，可得2 = 0，可得 2 = ， ，即 =12， ， = 1 时， =2；当 =12 0，可排除选项 D故选：首先判断函数的奇偶性，可得图象的对称性，计算 =12时的符号，可得结论本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题第 4页，共 15页8.已知函数()的定义域为，其图象关于原点及(2,1)对称当 0,2时() = log3( + 1)，则下列叙述正确的是()A.()是周期函数B.()的图象关于 = 2 对称C.()在( , + )单调递增D.()的值域为 1,1【答案】C【解析】解：根据题意，()的定义域为，其图象关于原点及(2,1)对称，则有( ) = ()
8、且( ) + (4 + ) = 2，综合可得：( + 4) () = 2，依次分析选项：对于，( + 4) () = 2，即( + 4) = () + 4，()不是周期函数，A 错误；对于，()的定义域为，其图象关于原点及(2,1)对称，则()的图象也关于点( 2, 1)对称，B 错误；对于，当 0,2时() = log3( + 1)，此时()在0,2上为增函数，而()为奇函数，则()在 2,2上也是增函数，又由( + 4) () = 2，则()在( , + )单调递增，C 正确；对于，当 0,2时() = log3( + 1)，此时() 0,1，而()为奇函数，则()在 2,2有1 () 1
9、，又由( + 4) () = 2，故()的值域为；故选：根据题意，由函数的对称性可得( + 4) () = 2，由此发现选项，即可得答案本题考查抽象函数的性质，涉及函数的对称性，属于中档题9.如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是 16 32的正三角形若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为()A.3 33B.8 33C.256 3273D.9 33【答案】C【解析】解：设圆锥底面圆的半径为，圆柱形冰块的底面圆半径为，高为，由题意得34 (2)2= 16 3，解得 = 4，第 5页，共 15页 tan3 ( ) =3(4
10、 )，(0 4)，设圆柱形冰块的体积为3，则 32(4 )(0 4)，设() =32(4 )，则() =3(8 3)，当 0 0，当83 4 时，() 0， () =32(4 )在 =83处取得极大值，也是最大值， ()= (83) =256 327酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为256 327故选：先求出圆锥的底面圆半径，设冰方法能为的底面圆半径为，用表达出冰块的体积，利用导函数求出冰块体积的最大值本题考查酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积的求法，考查圆锥、圆柱的性质、导数性质、函数极值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题10. = ， = 1， = ，其中，分别是圆周率、自然对数的底数，则(
11、)A. B. C. D. 0， = 1 0， = 0；设函数 = ，则=，表示点(,)和点(,)的割线的斜率；而() =1，当 1 时，曲线的斜率满足 0 1；故 0 = 1；故 1 时，曲线的斜线的斜率 1，故= 1，故 ，故 ；故选：直接利用构造函数和函数的求导的应用及数的比较的应用求出结果本题考查的知识要点：构造函数，函数的导数，数的大小比较，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题第 6页，共 15页11. 已知函数() = 2( +6)( 0)，若方程|()| = 1 在区间(0,2)上恰有 5 个实根，则的取值范围是()A.(76,53B.(53,136C.(1,43D.(
12、43,32【答案】D【解析】解：方程|()| = 1 在区间(0,2)上恰有 5 个实根，即|sin( +6)| =12在区间(0,2)上恰有 5 个实根，因为 (0,2)，所以 +6 (6,2 +6)，作出 = |和 =12的图象，如图：由图象可得176 2 +6196，解得43 0)上单调递增，又 0 时，() ； + 时，() + 存在唯一零点0 0，使得02=10， + 0 2 = 0且0为函数()的极小值点即最小值点(0) = 02 0+ 2 =10+ 3 + 0 2 3 3， 第 7页，共 15页故选：() = 2 + 21， (0, + )，() = 21在 (0, + )( 0
13、)上单调递增，可得存在唯一零点0 0，使得02=10，且0为函数()的极小值点即最小值点利用(0) 3，即可得出结论本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 若实数，满足约束条件3 2 + 2 0 + 2 0, 0，则 = + 2的最大值为_【答案】185【解析】解：约束条件表示的平面区域如图所示，是由原点，(0,1)，(25,85)，(2,0)围成的四边形区域(包括边界)，由线性规划可得当直线 = + 2平移到点时，目标函数 = + 2有最大值，且最大值为：185，故
14、答案为：185作出不等式组对应的平面区域，通过平行直线 = + 2，利用数形结合即可的得到结论本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键14. 如图，图形中的圆是正方形的内切圆，点，为对角线，与圆的交点，若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内的概率为_【答案】4 8【解析】解：设圆的半径为 1，则将圆和正方形分成四个部分，则其中一个阴影部分的面积为 1 4=44，则题中四个阴影部分的面积等价为 2 个完整的阴影部分，则对应的面积为 2 44=42，第 8页，共 15页则若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内的概率 =4222=48，故答案为
15、：48根据几何概型的概率公式，求出对应区域的面积即可本题主要考查几何概型的概率的计算，根据定义求出对应区域面积是解决本题的关键，是中档题15. 已知数列的前项和为=122+12， ，且数列= ( 1)2+1+1， ，且数列的前项和为，则2022=_【答案】20222023【解析】解：对于数列， =122+12， 1= 1= 1，当2 时，= 1=122+12 12( 1)212( 1) = ，1= 1 也满足上式， = = ( 1)2+1(+1)= ( 1)(1+1+1)，则2022= (1 +12) + (12+13) (13+14) + (12021+12022) + (12022+120
16、23) = 1 +12023=20222023故答案为：20222023根据通项公式和前项和公式的关系求，从而求得，再利用裂项相消法求其前项和即可本题考查了由求和裂项相消求和，属于中档题16. 已知双曲线1：292= 1( 0)的左、右焦点分别为1，2渐近线方程为 7 3 = 0 点在圆2：2+ 2= 16 上，若1?= ?且点是双曲线1右支上的点，则21的正切值为_ 【答案】7 1517【解析】解：依题意双曲线1：292= 1( 0)的左、右焦点分别为1，2渐近线方程为 7 3 = 0， = 7，故 F1( 4,0)，2(4,0)，而1?= ?，故点为线段1的中点，而点1，2，在圆上且12为
17、圆的直径，故 F1 2，故|2| = 2 = 8，而|1| |2| = 6，故 F1 = 7，故在直角三角形12中，tan12=157，tan21= 222=7 1517故答案为：7 1517第 9页，共 15页求出，得到1( 4,0)，2(4,0)，通过1?= ?，说明点为线段1的中点，说明在圆上且12为圆的直径，故 F1 2，通过双曲线的定义，结合三角形求解即可本题考查双曲线的定义、方程、性质，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象，是中档题三、解答题（本大题共 7 小题，共 80.0 分）17. 在 中，角，的对边分别为，且_在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答2 = 2
18、，sin( +6) = +12，?= ( , )，? ?= ( + ,)，? ? ?(1)求角；(2)若 =3，求 周长的取值范围【答案】解：(1)选由正弦定理及 2 = 2，2 = 2，又 = sin( + ) = + ， 2 = ， 0， =12，又 (0,)， =3；选由 sin( +6) = +12,32 +12 = +12，即32 12 =12， sin( 6) =12 (0,)， 6 ( 6,56)， 6=6， =3；选 = ( , ),? ?= ( + ,)， ? ? ? ( ) ( + ) + ( ) = 0化简得2+ 2 2= , =2+222=12，又 (0,)， =3；(
19、2)由余弦定理得2= 2+ 2 2 = 2+ 2 = ( + )2 3，又+2， (+)24当且仅当 = 时等号成立， 3 = ( + )2 3 34( + )2， 0 ， + + 2 = 2 3 周长的取值范围为(2 3,3 3【解析】(1)选由正弦定理结合和角公式得出角；选由和角公式结合辅助角公式得出角；由数量积公式结合余弦定理得出角；(2)由余弦定理结合基本不等式得出 周长的取值范围第 10页，共 15页本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题18. 如图， 是边长为 3 的等边三角形，分别在边，上，且 = = 2，为边的中点，交于点，沿将 折到的位置，使 =152(1)证明： 平
20、面；(2)若平面内的直线/平面，且与边交于点，是线段的中点，求三棱锥 的体积【答案】解：(1)证明：在 中， =3， =32， =152，所以2= 2+ 2，即 ，又 ， = ，所以 平面(2)连接，过在平面上作/，交于点，则由 平面， 平面，得/面，即存在点，且=23，使得/平面则=12=1213 =121312 1 323 =18，所以三棱锥 的体积为18【解析】(1)推导出 ， ，由此能证明 平面(2)连接，过在平面上作/，交于点，推导出/面，从而存在点，且=23，使得/平面，由此能求出三棱锥 的体积本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
21、基础知识，考查空间想象能力，是中档题19. 为了解“朗读记忆”和“默读记忆”两种记忆方法的效率(记忆的平均时间)是否有差异，将 40 名学生平均分成两组分别采用两种记忆方法记忆同一篇文章由于事先没有约定用什么图表记录记忆所用时间(单位：)，其结果是“朗读记忆”用茎叶图表示(如图)，“默读记忆”用频率分布直方图表示(分组区间为24,28)，28,32)，48,52)(如图)第 11页，共 15页()分别计算“朗读记忆”和估算“默读记忆”(估算时，用各组的中点值代替该组的平均值)记忆这篇文的平均时间(单位：)；()依据()， 用表示 40 位学生记忆的平均时间， 完成下列 2 2 列联表， 判断“
22、朗读记忆”和“默读记忆”两种记忆方法与其效率记忆的平均时间是否有关联，并说明理由参考公式和数据：小于不小于合计朗读记忆(人数)默读记忆(人数)合计2=()2(+)(+)(+)(+)(2 )0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】解：()“朗读记忆”的平均时间为120(26 + 28 + 30 + 31 + 35 + 36 + 36 + 37 + 39 + 39 + 41 + 42 +47 + 48 + 48 + 49 + 49 + 50 + 54 + 55) = 41()，“默读记忆”的平均时间为(26 0.0125 + 30 0.0125 +
23、 34 0.05 + 38 0.075 + 42 0.0375 + 46 0.05 + 50 0.0125) 4 = 39()()由()可知 =140(41 20 + 39 20) = 40，由频率分布直方图可得“默读记忆”中小于 40的有(0.0125 + 0.0125 + 0.05 + 0.075) 4 20 = 12人，所以 2 2 列联表如下：小于不小于合计朗读记忆(人数)101020默读记忆(人数)12820合计221840 2=40(1081210)220202218 0.404 0，当 0，() 0 恒成立，所以该函数在(0, + )上单调递增；当 0，令() 0，解得 ，令()
24、 0，解得 0 0，()的单调增区间为(, + )，单调减区间为(0,)(2)要1 2 对任意的 (0, + )恒成立，只要1 2 = (2 )，因为2 = ( ) 0，所以只要12 ，令() =12， 0，则() =1(1)(1)(2)2，因为 1 ，所以当 (0,1)时，() 0，()单调递增，所以() = (1) = 1，所以 () = 1，即的取值范围是( ,1【解析】(1)先求导，再分类讨论导数正负，确定单调区间；(2)先分离参数，再利用导数求函数最小值，从而确定的取值范围本题考查了利用导数研究函数的单调性质，利用导数研究函数最值问题，属于中档题21.己知椭圆的中心在原点，左焦点1、
25、右焦点2都在轴上，点是椭圆上的动点， 12的面积的最大值为 3，在轴上方使1?.2?= 2，成立的点只有一个()求椭圆的方程：(2)过点( 1,0)的两直线1，2分别与椭圆交于点，和点，.且，1 2，比较 12 + 与 7 的大小【答案】(1)解：根据已知设椭圆的方程为22+22= 1( 0), =2 2，在轴上方使1?.2?= 2 成立的点只有一个，在轴上方使1?.2?= 2 成立的点是椭圆的短轴的端点，当点是短轴的端点时，由已知得第 13页，共 15页 =3,1?2= 2 2= 2, =2 2,解得 = 2, =3.椭圆的方程为24+23= 1；(2)12(| + |) = 7|，若直线的
26、斜率为 0 或不存在时，或 | = 2 = 4 且| =22= 3，由 12(| + |) = 12 (3 + 4) = 84，7| = 7 3 4 = 84 得 12(| + |) = 7|，若的斜率存在且不为 0 时，设： = ( + 1)( 0)，由 = ( + 1)24+23= 1得(42+ 3)2+ 82 + 42 12 = 0，设(1,1)，(2,2)，则1+ 2=8242+3,12=421242+3，于是| =1 + 2|2 1| =(1 + 2)(1+ 2)2 412 =12(2+1)42+3，同理可得| =12(1)2+14(1)2+3=12(2+1)32+41|+1|=32
27、+4+42+312(2+1)=712 12(| + |) = 7|综上述，12(| + |) = 7|【解析】本题考查椭圆的标注方程，以及直线与椭圆的位置关系，以及椭圆中的最值问题，属于综合题，属于较难题(1)解：首先设椭圆的方程，在轴上方使1?.2?= 2 成立的点是椭圆的短轴的端点，代入求得椭圆方程；(2)分类讨论， 当直线的斜率为 0 或不存在时， 求出、 和， 再由条件得 12(| + |) = 7|，若的斜率存在且不为 0 时，设出的方程，再和椭圆联立方程组，消掉未知数的到关于的一元二次方程，设出，的坐标，再由根与系数的关系表示出两根和与积，代入弦长公式，求得|，同理可求得1|+1|
28、=32+4+42+312(2+1)=712，所以可得 12(| + |) = 7|，从而得到结论22.在数学中， 有多种方程都可以表示心型曲线， 其中著名的有笛卡尔心型曲线 如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 = 1 (0 2, 0)第 14页，共 15页为该曲线上一动点(1)当| =12时，求的直角坐标；(2)若射线逆时针旋转2后与该曲线交于点，求 面积的最大值【答案】解：(1)因为| =12，所以12= 1 ， =12，因为 0 2，所以 =6或 =56，所以的极坐标为(12,6)或(12,56)，故的直角坐标为(34
29、,14)或( 34,14)(2)设(1,)， 0,2)，则(2, +2)因为1= 1 ，2= 1 sin( +2) = 1 ，所以=12| =12(1 )(1 ) =121 ( + ) + 令 = + =2sin( +4) 2,2，则 =212所以=12(1 +212) =14212 +14=14( 1)2，当 =2时，有最大值3+2 24，此时 sin( +4) = 1， =54，故的最大值为3+2 24【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转
30、换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题23.已知函数() = | + | | + 2|.(1)若 = 2，求不等式() 能成立，求实数的取值范围【答案】解：(1)当 = 2，() = | + 2| | + 4| ，当 4 时，可得 2 + + 4 2， ，当4 2 时，可得 2 4 2， ，当 2 时，可得 + 2 4 2， 2，综上，不等式() 2(2)依题意，(2) |2 + | |2 + 2| ，又 |2 + | |2 + 2| |2 + 2 2| = | 2|，故| 2| ，第 15页，共 15页令() = | 2|， 0,2，画出函数()的图象如下，结合()的图象知，()= (2) = 2， ，再画出函数() = | 2|的图象，从而求得实数的取值范围本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了使不等式成立问题，是中档题
