1、北京市丰台区20212022学年度第二学期综合练习（二）高三数学参考答案 202204一、选择题共10小题，每小题4分，共40分题号12345678910答案 BACABBADC C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分114 12 1314；6 15 三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题共13分）证明： （）因为正三棱柱，所以平面平面.又因为平面，所以平面.因为平面平面，平面，所以. 6分（）设的中点为，连接，则.因为正三棱柱，所以平面，且底面为等边三角形，所以平面，由此得，.以点为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直
2、角坐标系.设，易知， 所以,. 设平面的一个法向量为，则 所以令，则，于是易知是平面的一个法向量.设平面与平面的夹角为， 则，所以平面与平面夹角的余弦值为. 13分 17.（本小题共14分）解：（）选择条件：由题意得， 且，所以， 所以， 即数列是等比数列，首项，公比. 所以数列的通项公式是. 5分选择条件： 当时，由题意得； 当时， . 检验：当时，依然成立. 所以数列的通项公式是.选择条件：当时，由题意得，即； 当时，由可得， 即. 又，所以， 所以， 即数列是等比数列，首项，公比. 所以数列的通项公式是.（）由（）可得.所以. 当时，有，所以，即，于是.因为对任意，不等式恒成立，所以，即
3、的最小值为2. 14分 18（本小题共14分）解： （）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字”为事件A，则. 所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率为. 4分（）随机变量的所有可能取值为， 则，.所以的分布列为 11分（）方案1：记随机变量为消费者在一次抽奖活动中的收益，则.因此我不愿意再次参加该项抽奖活动. 方案2：记“某位消费者在一次抽奖中能获得奖券”为事件B，则. 因为中奖概率不足，因此我不愿意再次参加该项抽奖活动.方案3：记“某位消费者在一次抽奖中能获得奖券”为事件B，则. 因为中奖概率接近，因此我愿意再次参加该项抽奖活动. 14分
4、19.（本小题共15分）解：（）当时，则. 令，解得. 随变化和的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，取得极大值为. .6分 （）当时，设， 则. 设，则. 故在区间上单调递减.因为， 所以当时，即，则在区间上单调递增；当时，即，则在区间上单调递减； 所以当时，取得最大值为. 所以，即. .13分（）（答案不唯一） .15分20（本小题共15分）解：（）由题意得解得，.所以椭圆的方程为. .5分（）因为，且为的中点， 所以，.依题意，设直线的方程为，所以直线的方程为.由得，即.因为点在椭圆上，所以，由此得，即，所以，于是，所以，即，由此得.因为点在上，所以，即.同理，所以，故，三点共线. .15分21（本小题共14分）解：（）由题意得， 解得. .4分（）（）证明：不妨设. 取，其中表示这个数中最大的数，表示 这个数中最小的数 由题意得. 所以存在，使得.（）若存在，则或，与已知条件矛盾.不妨设， 则. 否则，若，则，与已知条件矛盾. 取， 当时， . 又，所以， 所以，即， 所以. 此时取，则. 当时，同理可取，使得. 综上，存在不同的，使得. .14分 （若用其他方法解题，请酌情给分）
