1、 2022年高考数学考前临门一脚（辽宁卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知，则在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知复数是z的共轭复数.若，其中i为虚数单位，则( )A.B.C.D.23.锐角三角形ABC中，则( )A.B.C.D.4已知，若，则（）ABCD5.已知随机变量X服从正态分布，且，若，则约为( )A.15.7%B.13.55%C.27.1%D.15.85%6.十二生肖，又称十二属相，与中国传统文化中的十二地支呈现一一对应关系，分别为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、
2、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪.现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学分别随机抽取一件作为礼物.甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率是( )A.B.C.D.7.已知三棱柱的所有棱长均为2，平面ABC，则异面直线，所成角的余弦值为( )A.B.C.D.8已知函数为定义在R上的增函数，且对，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9.中华人民共
3、和国第十四届全国运动会于2021年9月15日在陕西西安开幕.某射击运动员为了在全运会上取得优异成绩，积极训练备战，在某次训练中，该运动员连续射击10次的成绩（单位：环）依次为7，8，8，6，10，7，9，8，9，因记录员工作失误，有一个数被污染了，但记录员记得这组数据的平均数为8.在去掉其中的一个最高成绩和一个最低成绩后，以下结论正确的是( )A.众数不变B.中位数不变C.极差不变D.平均数不变10.在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论正确的是( )A.抛物线的准线方程为B.C.的面积为D.11.已知函数，则下列结论正确的是( )A.
4、的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.在上单调递减D.的值域为12如图，棱长为2的正方体的内切球的球心为，分别是棱的中点，在棱上移动，则（）A对于任意点，平面B存在点，使平面C直线的被球截得的弦长为D过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知双曲线过点，且以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形，则双曲线的方程为_.14.已知幂函数的图象关于y轴对称，则不等式的解集是_.15.已知圆柱的底面圆O的半径为4，矩形为圆柱的轴截面，C为圆O上一点，圆柱的表面积为，则三棱锥的体积与其外接球的体积之比为_.16用表示自然数的所有
5、因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，的因数有1，2，5，10，那么_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角B；（2）当时，求面积的最大值.18. （12分）如图，平面四边形ABCD中，.（1）若，求BD；（2）求四边形ABCD面积的最大值.19（12分）如图，在四棱锥中，平面，相交于点， （1）求证：平面；（2）若点为的中点，求平面与平面所成二面角的正弦值20.（12分）如图，五面体中，四边形为等腰梯形，且.（1）求证：平面；（2）若平面平面，且平面平面，求二面角的
6、余弦值.21. （12分）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆C的左、右焦点，过且与x轴垂直的直线与椭圆C交于点A，B，且的面积为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于不同于右顶点P的M，N两点，且，求的最大值.22. （12分）已知函数.（1）函数在上单调递增，求出实数a的取值范围；（2）若方程在上有两个不同的实根，求出实数a的取值范围.答案及解析1.答案：A解析：因为，所以，所以在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故选A.2.答案：B解析：因为，所以，即，可得，所以.故选B.3.答案：C解析：由锐角三角形得，则，.因为，且，所以，两边平方得，故选C.4答案：C解析：因为，则，又
7、，故，则，故故选C5.答案：B解析：由题知，正态曲线关于直线对称，且，因此.6.答案：A解析：依题意可分类：甲同学选马，则有种情况符合要求；甲同学选牛，则有种情况符合要求.三位同学抽取礼物的所有情况有种，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率，故选A.7.答案：A解析：解法一 设F是线段BC的中点，连接交于点N，连接NF，AF，由题意知，四边形为正方形，是的中点，是异面直线，所成的角或其补角.平面ABC，三棱柱的所有棱长均为2，异面直线，所成角的余弦值为，故选A.解法二 以A为坐标原点，平面ABC内过点A且垂直于AC的直线为x轴，AC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所
8、示，则，异面直线，所成角的余弦值为，故选A.8答案：D解析：因为，所以，又为定义在R上的增函数，所以，对恒成立，即，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，则，所以，即故选D9.答案：ABD解析：设被污染的数为a，由这组数据的平均数，解得.这10个数据中8出现了4次，出现的次数最多，所以众数是8.将这10个数据按从小到大的顺序排列，为6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，中位数应是第5和第6个数的平均数，即.这组数据中最大的为10，最小的为6，故极差为.去掉其中的一个最大数10和一个最小数6后的8个数据中，众数仍为8，中位数还是8，平均数为8，极差为，所以A，B，D正确，C不正确.10.答
9、案：AD解析：点在抛物线上，焦点F为，准线为直线，A正确.，故直线MF的方程为.联立或，B错误.，D正确.的面积为，C错误.故选AD.快解 由上解析知抛物线，直线MN的斜率为，设直线MN的倾斜角为，则，.所以，所以.11.答案：BCD解析：对于选项A，由，得，故的最小正周期不为，选项A错误.对于选项B，函数的图象关于直线对称，选项B正确.对于选项C，当时，故函数在上单调递减，选项C正确.对于选项D，当时，则，当时，则，又是的一个周期，因此函数的值域为，选项D正确.综上，正确选项为BCD.12【答案】BD【解析】如图，正方体内切球的球心即正方体的中心，且球半径，当与重合时，平面，平面，此时直线与
10、平面相交，A错误；当为的中点时，则平面，因为平面，所以；同理，因为，所以平面，即平面，B正确；取的中点，由对称性可知，则因为，则，所以直线的被球截得的弦长为，C错误；设截面圆半径为，球心到截面的距离为，则因为，则，所以截面圆面积，D正确，故选BD13.答案：解析：因为以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形，所以，即，又因为双曲线过点，所以，解得，故双曲线的方程为.14.答案：解析：由题意知，解得或，当时，其图象关于y轴对称，当时，不合题意，故，即，解得，即不等式的解集是.15.答案：解析：本题考查三棱锥及其外接球的体积、圆柱的表面积.如图所示，由题意知圆柱的表面积，故.在中
11、，所以，所以，所以，.由题意知平面，所以，结合，得平面，所以.取的中点，则由与为直角三角形知，为三棱锥外接球的球心，球的半径，所以外接球的体积，所以.16答案：解析：由的定义易知，且若为奇数则，令，则，即，由此可得，以上各式相加得，即，故答案为：.17.答案：(1).(2)最大值为.解析：(1)根据题意及正弦定理可知，整理得，则由余弦定理得.，.(2)由(1)知，.由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立，面积的最大值为.18.解析：（1）由正弦定理得，即，则，即，所以.在中，由，可得，所以，即.（2）.由，得，当且仅当时，等号成立，所以，故四边形ABCD面积的最大值为.19（12分）【解析】（1
12、），（2分），平面，而AC在平面ABCD中，且都在平面内，平面（6分）（2）以点为原点，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：设，（7分），设平面与平面的一个法向量分别为，平面与平面所成二面角为，可取，（8分），可取，则（12分）20.答案：(1)见解析(2)解析：(1)因为，平面平面，故平面.又平面平面，所以，则，又，所以四边形为平行四边形，则，又平面平面，所以平面.(2)过E作于点P，因为平面平面，且平面平面，因此平面，过E作于点Q，又平面平面，且平面平面，因此平面，而过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，因此重合于，即平面.以A为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直
13、角坐标系，不妨设，则，则.设平面的法向量为，则，得，令，则，故平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，得，令，则，故平面的一个法向量为，因此，由图易知二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为.21.解析：（1）因为椭圆C的离心率为，所以.将代入，得，所以，则，即.由及，得，故椭圆C的标准方程为.（2）由题意知，直线l的斜率不为0，则不妨设直线l的方程为.联立得消去x得，化简整理，得.设，则，.因为，所以.因为，所以，得，将，代入上式，得，得，解得或（舍去），所以直线l的方程为，则直线l恒过点，所以.设，则，易知在上单调递增，所以当时，取得最大值，为.又，所以.22.解析：（1）函数的定义域为.因为函数在上单调递增，所以，所以，所以.令，则，所以函数在上单调递减，所以，故实数a的取值范围为.（2）若，则.设，则.令，则.设，易知函数在上单调递减，所以当时，所以当时，故函数在上单调递减，所以当时，即，函数单调递增；当时，即，函数单调递减，所以，而.因为直线与函数有两个不同的交点，所以实数a的取值范围为.
