1、河南省商丘市2022届高三下学期第三次模拟考试理科数学试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知非空集合M,N是全集U的子集 MUN ,则 (UM)N= () AUMBUNCMDN2已知 z=1-1i3 ,则 z 在复平面内对应的点位于() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知 a=log0.90.4 , b=0.90.4 , c=log40.9 ,则() AbcaBbacCcbaDca2f(x) 的解集为() A(-2,0)(2,2)B(-,-2)(2,+)C(-,-2)(-2,0)(2,2)D(-2,-2)(
2、0,2)(2,+)9如图,在 ABC 中,点D,E分别在边AB,BC上,且均为靠近B的四等分点,CD与AE交于点F,若 BF=xAB+yAC ,则 3x+y= () A-1B-34C-12D-1410已知双曲线 C : x2a2-y2b2=1(a0,b0) 经过点 (-1,-1) ,且 C 的实轴长大于 2 ,则 C 的离心率的取值范围为() A(1,2)B(1,3)C(2,+)D(3,+)11已知函数 f(x)=3cos(x+6)(0) ,若 f(3)=0 , f(x) 在 (3,49) 内有最小值,没有最大值,则 的最大值为() A19B13C10D712高斯是德国著名的数学家,近代数学奠
3、基者之一,享有“数学王子”的称号用他的名字定义的函数称为高斯函数 f(x)=x ,其中 x 表示不超过x的最大整数已知数列 an 满足 a1=2 , a2=5 , an+2+4an=5an+1 ,若 bn=log2an+1 , Sn 为数列 1000bnbn+1 的前n项和,则 S2022= () A249B499C749D999二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13已知 x , y 满足 x-2y+20,3x-y-30,x+20, ,则 z=12x+13y 的最大值为 14写出同时满足下面两个性质的数列 an 的一个通项公式 an= an 是递增的等差数列;a2-a3+a4=
4、1 15已知体积为 263 的圆锥的侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的外接球的表面积为 16已知 F 是抛物线 C : y2=2px ( p0 )的焦点, C 的准线与 x 轴交于点 A ,过点 A 作曲线 C 的一条切线 AB ,若切点 B 在第一象限内, D 为 C 上第四象限内的一点,且 DF/AB ,则 |AB|DF|= 三、解答题(本大题共6小题,共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17已知 ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, A=23 , cos(2-C)=2sin(A+C) , ABC 的面积为 23 (1)求b,c的值;(2)设D为BC上一点,且
5、 AD=21 ,求 sinADB 18大力开展体育运动,增强学生体质,是学校教育的重要目标之一某校组织全校学生进行立定跳远训练,为了解训练的效果,从该校男生中随机抽出100人进行立定跳远达标测试,测试结果(单位:米)均在 1.65,2.85 内,整理数据得到如下频率分布直方图学校规定男生立定跳远2.05米及以上为达标,否则为不达标 (1)若男生立定跳远的达标率低于60%,该校男生还需加强立定跳远训练请你通过计算,判断该校男学生是否还需加强立定跳远训练;(2)为提高学生的达标率,该校决定加强训练,经过一段时间训练后,该校男生立定跳远的距离 (单位:米)近似服从正态分布 N(2.25,2) ,且
6、P(2.45)=0.8 再从该校任选3名男生进行测试,X表示这3人中立定跳远达标的人数,求X的分布列和数学期望E(X) 19如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面为等边三角形,侧面 BCC1B1 为菱形, CBB1=120 , AC1=6 , AB1=10 (1)证明: AB1C1 为直角三角形; (2)求直线 BC1 与平面 AB1C1 所成角的正弦值 20在平面直角坐标系xOy中,已知 A(-4,0) , B(4,0) ,M是一个动点,C,D分别为线段AM,BM的中点,且直线OC,OD的斜率之积是 -34 记M的轨迹为E (1)求E的方程;(2)若过点 F(2,0) 且不与x轴重合的直
7、线与E交于P,Q两点,点P关于x轴的对称点为 P1 ( P1 与Q不重合),直线 P1Q 与x轴交于点G,求 |AG|BG| 的值 21已知函数 f(x)=ax2-2ex ( aR ), f(x) 为 f(x) 的导函数 (1)讨论函数 f(x) 的单调性; (2)当 a1 时,函数 g(x)=f(x)+2sinx ,证明: g(x) 在 x=0 处取得极大值 22在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 x=t2+6,y=-t3-2 ( t 为参数)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2=41+3sin2 (1)求直线 l 的普通方程和曲线
8、C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A , B 两点, P 为曲线 C 上的任意一点,求 ABP 的面积的最小值 23已知函数 f(x)=|x-2|-|x+1| ,不等式 f(x)-m 的解集为 (-,1 (1)求实数 m 的值; (2)若正实数 a , b 满足 1a+1b=m ,证明: a+b22ab 答案解析部分1【答案】D【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】根据题意,集合M,N间的关系如下图,易知 MN= ,可用矩形表示全集U,椭圆表示集合M,圆表示集合N根据图形可知,所以 (UM)N=N 故答案为:D【分析】利用韦恩图分析即可.2【答
9、案】A【知识点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】 z=1-1i3=1+1i=1-i ,则 z=1+i ,所以 z 在复平面内对应的点为 (1,1) ,位于第一象限 故答案为:A【分析】先化简z,从而得到z.3【答案】C【知识点】指数函数的单调性与特殊点;对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为 y=log0.9x 是单调递减函数,且 0.4log0.909=1 , 因为 y=0.9x 是单调递减函数,且 0.40 ,故 0b=0.90.40.9 故 c=log40.9log41=0 ,所以 cba 故答案为:C【分析】根据对数函数,指数函数单调性与特殊值比较即可.4【答案】C【
10、知识点】分步乘法计数原理【解析】【解答】甲、乙、丙3名志愿者参加2022年杭州亚运会的3个比赛项目的服务工作,有 33=27 种安排方法; 而乙、丙在同一个比赛项目服务,有 32=9 种安排方法,所以乙、丙不在同一个比赛项目服务的概率为 P=1-927=23 故答案为:C 【分析】使用间接法,共有27种方法,乙、丙在同一个比赛项目服务有 32=9 种安排方法,从而得到乙、丙不在同一个比赛项目服务的概率.5【答案】A【知识点】异面直线及其所成的角【解析】【解答】如图,设正四面体 ABCD 的棱长为2,取 BD 的中点 F ,连接 EF 、 CF , 因为 E 、 F 分别为 AB 、 BD 的中
11、点,则 EF/AD 且 EF=12AD=1 ,所以 CEF 或其补角为直线 CE 与直线 AD 所成的角,因为 ABC 为等边三角形, E 为 AB 的中点,则 CEAB ,且 CE=ACsin60=3 ,同理可得 CF=3 ,所以 cosCEF=EF2+EC2-CF22EFEC=36 故答案为:A 【分析】设正四面体 ABCD 的棱长为2,取 BD 的中点 F ,连接 EF 、 CF , 则CEF 或其补角为为直线 CE 与直线 AD 所成角 ,结合余弦定理可得答案.6【答案】D【知识点】二项式定理【解析】【解答】令 x=y=1 得, (m+1)25=-32 ,解得 m=-2 ,所以 (-2
12、x+y)(x+y)5 的展开式中含 x3y3 的项的系数为 -2C53+C52=-10 故答案为:D. 【分析】令 x=y=1 得m=-2,所以 (-2x+y)(x+y)5 的展开式中含 x3y3 的项的系数为 -2C53+C52=-10 7【答案】C【知识点】数列递推式【解析】【解答】根据程序框图, S=1 , i=16 ; 执行第1次循环: i=1+2=3 , S=1+23=9 ;36,执行第2次循环: i=3+2=5 , S=9+25=41 ;56,结束循环,输出S=169故答案为:C【分析】依据循环结构依次求解,即可得 输出S的值 .8【答案】C【知识点】奇函数;函数奇偶性的性质【解析
13、】【解答】根据奇函数的图象特征,作出 f(x) 在 (-,0) 上的图象如图所示, 由 x2f(x)2f(x) ,得 (x2-2)f(x)0 ,等价于 x2-20,f(x)0, 或 x2-20,f(x)0,解得 x-2 ,或 2x2 ,或 -2x0,解不等式即可.9【答案】A【知识点】向量的三角形法则【解析】【解答】连结DE,由题意可知, BDBA=BEBC=14 ,所以 DEAC ,则 DEAC=BDBA=14 ,所以 DFFC=DEAC=14 ,所以 BD=-14AB , DC=AC-AD=AC-34AB ,则 DF=15DC=15AC-320AB ,故 BF=BD+DF=-14AB+15
14、AC-320AB=-25AB+15AC ,又 BF=xAB+yAC ,所以 x=-25 , y=15 ,则 3x+y=-1 ,故答案为:A【分析】由题意推出DEAC,可得DFFC=DEAC=14,推出DF=15DC,根据向量的加减运算,用基底AB,AC表示出BF和BF=xAB+yAC比较,可得x,y,即得答案.10【答案】D【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由题意可知, 1a2-1b2=1 ,所以 b2-a2=a2b2 ,又 b2=c2-a2 ,所以 c2-2a2=a2(c2-a2) ,所以 a2=c2-2a2c2-a2=e2-2e2-1(22)2 ,解得 e3故答案为:D 【分析】由
15、题意可知,1a2-1b2=1,又 b2=c2-a2可得a2=c2-2a2c2-a2=e2-2e2-1(22)2,从而可得 C 的离心率的取值范围 .11【答案】B【知识点】余弦函数的图象【解析】【解答】由 f(3)=0 ,得 3+6=k+2 , kZ ,解得 =3k+1 , kZ , 由 f(x) 在 (3,49) 内有最小值,无最大值,可得 14249-3342 ,解得 92272 ,所以 的最大值为13.故答案为:B 【分析】由 f(3)=0 ,得 3+6=k+2,解得 =3k+1,结合 f(x) 在 (3,49) 内有最小值,没有最大值 可得 的取值范围,进而得到答案.12【答案】A【知
16、识点】数列递推式【解析】【解答】由 an+2+4an=5an+1 ,得 an+2-an+1=4(an+1-an) ,又 a2-a1=3 ,所以数列 an+1-an 是以3为首项,4为公比的等比数列,则 an+1-an=34n-1;由 an+2+4an=5an+1 得, an+2-4an+1=an+1-4an ,又 a2-4a1=-3 ,所以数列 an+1-4an 是常数列,则 an+1-4an=a2-4a1=-3,由联立可得 an+1=4n+1 ;因为 4n4n+124n ,所以 log24nlog2(4n+1)log2(24n)即: 2nlog2(4n+1)0, a3=1 即可)【知识点】等
17、差数列的通项公式【解析】【解答】设等差数列 an 的公差为d, 由 a2-a3+a4=1 ,得 a1+2d=1 ,由可知 d0 ,取 d=1 ,则 a1=-1 ,所以数列 an 的一个通项公式 an=-1+(n-1)=n-2 【分析】设等差数列an的公差为d,由 a2-a3+a4=1 ,得 a1+2d=1 ,结合递增数列的概念,令d=1求出a1,利用等差数列的通项公式即可写出an.15【答案】323【知识点】球的体积和表面积;球内接多面体【解析】【解答】设圆锥的底面半径为 r ,母线长为 l ,由题意得 2r=l ,所以 l=2r , 则圆锥的高为 h=l2-r2=3r ,由 V=13r2h=
18、13r23r=263 ,解得 r=2 ,则 l=22 , h=6 ,设圆锥的外接球的半径为 R ,由球的性质可知, R2=(h-R)2+r2 ,即 R2=(6-R)2+2 ,解得 R=46 ,所以该圆锥的外接球的表面积为 S=4R2=323 故答案为: 323【分析】先求得圆锥外接球的半径,再去求该圆锥的外接球的表面积.16【答案】2+1【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;平面向量的坐标运算;双曲线的简单性质【解析】【解答】由题意可知, A(-p2,0) , F(p2,0) 设切点 B 的坐标为 (x0,y0) ( x00 , y00 ), 因为切点 B 在第一象限内,所以取第一象限内抛
19、物线 y=2px ,求导计算切线方程,则 y=p2x ,所以切线的斜率为: p2x0 ,所以 AB 的方程为 y-2px0=p2x0(x-x0) ,将 A(-p2,0) 代入得, -2px0=p2x0(-p2-x0) ,解得 x0=p2 ,则 y0=p ,即 B(p2,p) 由 DF/AB ,当 D 在第四象限内时,设 AB=mDF ( m0 ),D(x1,-y1) ( y10 ),又 AB=(p,p) , DF=(p2-x1,y1) ,则 p=m(p2-x1)p=my1 ,解得 x1=(m-2)p2my1=pm ,将点 D 代入 C : y2=2px 得 m2-2m-1=0 ,解得 m=2+
20、1 (负值舍去),所以 |AB|DF|=2+1 故答案为: 2+1 . 【分析】 设切点 B 的坐标为 (x0,y0),根据题意得 y=p2x,得到切线方程y-2px0=p2x0(x-x0),将 A(-p2,0) 代入得B(p2,p),设 AB=mDF ( m0 ),D(x1,-y1),利用向量求出D的坐标,代入抛物线求出m即可.17【答案】(1)解:cos(2-C)=2sin(A+C) ,则 sinC=2sinB c=2b 又ABC 的面积为 23 ,则 S=12bcsinA 即 122bb32=23 ,解得 b=2 ,c=2b=4 ,故 b=2 , c=4 (2)解:在 ABC 中,由余弦
21、定理得 a2=b2+c2-2bccosBAC , 即 a2=4+16-224(-12)=28 ,解得 a=27 由正弦定理 asinBAC=bsinB ,则 sinB=bsinBACa=2114 在 ABD 中,由正弦定理 ADsinB=ABsinADB ,则 sinADB=ABsinBAD=27 【知识点】诱导公式;解三角形;正弦定理的应用;余弦定理的应用【解析】【分析】(1)化简cos(2-C)=2sin(A+C)可得sinC=2sinB,由正弦定理可得c=2b,代入 ABC面积公式即可求解; (2) 在 ABC 中,由余弦定理即可求得a=27 ,再根据正弦定理求sinB=bsinBACa
22、=2114,在ABD 中,由正弦定理即可求解18【答案】(1)解:由频率分布直方图可知,男生立定跳远的达标率为 0.2(1.0+0.75+0.50+0.25)=05因为 50%60% ,所以该校男生还需加强立定跳远训练(2)解:因为 近似服从正态分布 N(2.25,2) ,且 P(2.45)=0.8 , 所以 P(2.05)=0.8 ,由题意可知, XB(3,45)P(X=0)=C30(45)0(1-45)3=1125 , P(X=1)=C31(45)1(1-45)2=12125 P(X=2)=C32(45)2(1-45)1=48125 , P(X=3)=C33(45)3(1-45)0=641
23、25 ,所以X的分布列为X0123P1125121254812564125则 E(X)=345=125 【知识点】频率分布直方图;二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图可求得立定跳远2.05米及以上的频率为0.5,进行分析判断;(2) 因为 近似服从正态分布 N(2.25,2) ,根据正态分布的对称性可得P(2.05)=0.8,再利用二项分布的概率P(X=K)=Cnk(P)K(1-P)n-K,E(X)=np进行计算.19【答案】(1)证明:取BC的中点D,连结AD, C1D 因为 ABC 为等边三角形,所以 ADBC 因为侧面 BCC1B1 为菱形, CBB1
24、=120 ,所以 BCC1 为等边三角形,所以 C1DBC ,因为 ADC1D=D , AD,C1D 平面 AC1D ,所以BC平面 AC1D ,又 AC1平面AC1D ,所以 BCAC1 ,又 BCB1C1 ,所以 B1C1AC1 ,所以 AB1C1 为直角三角形(2)解:由(1)及 AC1=6 , AB1=10 可知, B1C1=2 ,则 在 BCC1 中, C1D=3 ,同理 AD=3 ,又 AC1=6 ,所以 AC12=C1D2+AD2 ,所以 ADC1D 以D为原点,直线DA,DB, DC1 分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz ,则 A(3,0,0) ,
25、B(0,1,0) , C1(0,0,3) , B1(0,2,3) ,所以 C1B=(0,1,-3) , C1=(-3,0,3) , C1B1=(0,2,0) ,设平面 AB1C1 的一个法向量为 m=(x,y,z) ,由 mAC1=0,mC1B1=0, 即 -3x+3z=0,2y=0, 取 x=1 ,得 m=(1,0,1) ,设直线 BC1 与平面 AB1C1 所成的角为 ,则 sin=|cosC1B,m|=|C1Bm|C1B|m|=322=64 ,故直线 BC1 与平面 AB1C1 所成角的正弦值为 64 【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系;用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】
26、(1) 取BC的中点D,连结AD, C1D,证明 ADBC , C1DBC , 推出BC平面 AC1D , BCAC1 ,由 BCB1C1 ,得 B1C1AC1 ,即可证明 AB1C1 为直角三角形; (2) 由(1) 可证ADC1D, 以D为原点,直线DA,DB, DC1 分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz , 利用空间向量求解即可.20【答案】(1)解:由题意可知,直线 OC,OD 的斜率存在,且 AM/OD , BM/OC 由直线OC,OD的斜率之积是 -34 可知,直线BM,AM的斜率之积是 -34 ,设 M(x,y) ,则直线AM的斜率为 yx+4 ,直线
27、BM的斜率为 yx-4 , 可得 yx+4yx-4=-34 ,整理得 x216+y212=1(y0) ,故E的方程为 x216+y212=1(y0) (2)解:由题意,过点F的直线的斜率存在且不为0,设其方程为 x=my+2(m0) , 联立方程组 x=my+2x216+y212=1 ,整理得 (3m2+4)y2+12my-36=0 ,设 P(x1,y1) , Q(x2,y2) ,则 P1(x1,-y1) , y1+y2=-12m3m2+4 , y1y2=-363m2+4 直线 P1Q 的方程为 y+y1y2+y1=x-x1x2-x1 ,令 y=0 ,则 x=y1(x2-x1)y2+y1+x1
28、=my1(y2-y1)y2+y1+my1+2=my1y2-my12+my1y2+my12y2+y1+2=2my1y2y2+y1+2=2m(-363m2+4)-12m3m2+4+2=8 ,所以直线 P1Q 与x轴的交点G的坐标恒为 (8,0) ,所以 |AG|=4+8=12 , |BG|=8-4=4 ,故 |AG|BG|=3 【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意,设 M(x,y) ,则直线AM的斜率为 yx+4 ,直线BM的斜率为 yx-4 ,可得 yx+4yx-4=-34 ,即可求得 E的方程;(2)设直线 方程为 x=my+2(m0) ,联立方程组
29、 , 设 P(x1,y1) , Q(x2,y2) ,得到y1+y2=-12m3m2+4 , y1y2=-363m2+4 ,直线 P1Q 的方程 , 令 y=0 求得x=8, 所以直线 P1Q 与x轴的交点G的坐标恒为 (8,0) , 进而求得|AG|,|BG|的长,即可求解.21【答案】(1)解:由题意,函数 f(x)=ax2-2ex ,可得 f(x)=2ax-2ex , 设 h(x)=f(x)=2ax-2ex ,则 h(x)=2a-2ex ,当 a0 时, h(x)0 时,令 h(x)=0 ,解得 x=lna ,当 x(-,lna) 时, h(x)0 ,当 x(lna,+) 时, h(x)0
30、 ,当 x(0,2) 时, (x)0 ,即 e-2-1a1 时, (0)=2a-20 ,又 (x) 在 (-2,2) 上为减函数,所以存在唯一的 x0(-2,0) ,使得 (x0)=0 ,则 x(x0,2) 时, (x)0 ,当 x(0,2) 时, (x)0 ,所以 g(x) 在 (x0,0) 上单调递增,在 (0,2) 上单调递减,所以函数 g(x) 在 x=0 处取得极大值综上可知,当 a0判断函数g(x)单调性以及极值即可.22【答案】(1)解:由直线 l 的参数方程为 x=t2+6,y=-t3-2 消去参数 t ,得 直线 l 的普通方程 2x+3y-6=0 ;由 2=41+3sin2
31、 得 2+32sin2=4 ,则 x2+4y2=4 ,所以曲线 C 的直角坐标方程为 x24+y2=1 (2)解:由(1)可知 A(3,0) , B(0,2) ,设 P(2cos,sin) , 则点 P 到直线 2x+3y-6=0 的距离为d=|4cos+3sin-6|13=6-5sin(+)13 ,其中 tan=43 ,当 sin(+)=1 时, dmin=113 ,又 |AB|=32+22=13 ,所以 ABP 的面积的最小值为 (SABP)min=12|AB|dmin=12 【知识点】点到直线的距离公式;简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程【解析】【分析】(1)消去参数t即可得直线
32、 l 的普通方程;去分母代入公式 x=cos,y=sin, 即可得曲线 C 的直角坐标方程;(2)由(1)可知 A(3,0) , B(0,2) ,设 P(2cos,sin) , 由点到直线的距离公式得d=|4cos+3sin-6|13=6-5sin(+)13,求其最小值,即可得面积的最小值.23【答案】(1)解:不等式 f(x)-m ,即 f(x)+m0 而 f(x)+m=|x-2|-|x+1|+m=-3+m,x2,-2x+1+m,-1x2,3+m,x-1.又由 -2x+1+m0 ,得 xm+12 因为不等式 f(x)+m0 的解集为 (-,1 所以 -3+m0,1+m2=1,3+m0.解得
33、m=1 (2)证明:证法1:由(1)可知, 1a+1b=1 , 要证 a+b22ab ,需证 a+bab22 ,即证 1ab(1b+1a)22 ,因为 1=1a+1b2ab ,所以 1ab12 ,当且仅当 1a=1b=12 ,即 a=b=2 时取得等号;又 (1b+1a)2=1b+1a+2ab2 ,所以 1b+1a2 ,当且仅当 1a=1b=12 ,即 a=b=2 时取得等号;所以 1ab(1b+1a)22 ,故 a+b22ab 证法2:由(1)可知, 1a+1b=1 ,即 a+b=ab 因为 1=1a+1b2ab ,所以 ab2 ,当且仅当 1a=1b=12 ,即 a=b=2 时取得等号因此 22ab=22abab222ab=2ab=(a+b)+(a+b)a+b+2ab=(a+b)2=a+b 故 a+b22ab 【知识点】基本不等式;绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)通过讨论x的范围,解出各个范围内的x的范围,求出不等式的解集即可;(2) 证法1:由(1)可知, 1a+1b=1 ,要证 a+b22ab , 即证 1ab(1b+1a)22 , 结合基本不等式即可得证;证法2:由(1)可知, 因为 1=1a+1b2ab ,所以 ab2,结合基本不等式即可得证.