1、突破点3平面向量提炼1平面向量共线、垂直的两个充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：(1)abab(b0)x1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.提炼2数量积常见的三种应用已知两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)证明向量垂直：abab0x1x2y1y20.(2)求向量的长度：|a|.(3)求向量的夹角：cosa，b.提炼3平面向量解题中应熟知的常用结论(1)A，B，C三点共线的充要条件是存在实数，有，且1.(2)C是线段AB中点的充要条件是()(3)G是ABC的重心的充要条件为0，若ABC的三个顶点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C
2、(x3，y3)，则ABC的重心坐标为.(4)P为ABC的垂心(5)非零向量a，b垂直的充要条件：abab0|ab|ab|x1x2y1y20.(6)向量b在a的方向上的投影为|b|cos ，向量a在b的方向上的投影为|a|cos .回访1平面向量的线性运算1(2015全国卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B.(7,4)C.(1,4) D.(1,4)A设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4，2)(3,2)(7，4)故选A.2(2014全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B.C. D.C如图，()2.回访
3、2平面向量的数量积3(2015全国卷)向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1B.0C.1D.2C法一：a(1，1)，b(1,2)，a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431.法二：a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，从而(2ab)a(1,0)(1，1)1，故选C.4(2016全国乙卷)设向量a(x，x1)，b(1,2)，且ab，则x_.ab，ab0，即x2(x1)0，x.5(2012全国卷)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.3a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|2ab|244|b|b|
4、210，|b|3.回访3数量积的综合应用6(2013全国卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.2|a|b|1，a，b60.cta(1t)b，bctab(1t)b2t11(1t)11t1.bc0，10，t2.热点题型1平面向量的运算题型分析：该热点是高考的必考点之一，考查方式主要体现在以下两个方面：一是以平面图形为载体考查向量的线性运算；二是以向量的共线与垂直为切入点，考查向量的夹角、模等(1)(2016深圳二模)如图31，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则()图31A.B.C. D.2(2)(2016天津高考)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，
5、E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A B.C. D.(1)B(2)B(1)法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，M(2,1)，D(0,2)，所以(2,2)，(2,1)，(2,2)由，得(2,2)(2,1)(2,2)，即(2,2)(22，2)，所以解得所以，故选B.法二：因为()()()()，所以得所以，故选B.(2)如图所示，.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE2EF，所以，所以.又，则()2222.又|1，BAC60，故11.故选B.1平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，
6、通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现2正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向变式训练1(1)已知向量a(1,2)，b(3,1)，c(x,4)，若(ab)c，则c(ab)()A(2,12)B.(2,12)C.14 D.10(2)已知e1，e2是不共线向量，ame12e2，bne1e2，且mn0.若ab，则_.【导学号：85952017】(1)C(2)2(1)易知ab(4,1)，由(ab)c，可得(4)x140，即4x40，解得x1，c(1,4)而ab(2,
7、3)，c(ab)124314.故选C.(2)ab，ab，即me12e2(ne1e2)，则解得2.热点题型2三角与向量的综合问题题型分析：平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件(名师押题)已知向量a，b(cos x，1)(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，b2，sin B，求yf(x)4cos 的取值范围解(1)ab，cos xsin x0，2分tan x，4分cos2xsin 2x.6分(2)f(x)2
8、(ab)bsin ，8分由正弦定理得，可得sin A.9分ba，A，10分yf(x)4cossin.11分x，2x，1y，即y的取值范围是.12分平面向量与三角函数问题的综合主要利用向量数量积运算的坐标形式，多与同角三角函数关系、诱导公式以及和角与倍角等公式求值等问题相结合，计算的准确性和三角变换的灵活性是解决此类问题的关键点变式训练2在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)若mn，则mn0.由向量数量积的坐标公式得sin xcos x0，4分tan x1.6分(2)m与n的夹角为，mn|m|n|cos ，即sin xcos x，8分sin .10分又x，x，x，即x.12分8
