1、2017-2018学年内蒙古赤峰九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题：（共12小题，每小题3分，共36分）1（3分）2的相反数是（）A2B0C2D42（3分）据南国早报报道：2016年广西高考报名人数约为332000人，创历史新高，其中数据332000用科学记数法表示为（）A0.332106B3.32105C3.32104D33.21043（3分）已知正比例函数y=3x的图象经过点（1，m），则m的值为（）AB3CD34（3分）在函数中，x的取值范围是（）Ax1Bx1Cx1Dx15（3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A20或16B20C16D以上答案均
2、不对6（3分）下列运算正确的是（）Aa2a=aBax+ay=axyCm2m4=m6D（y3）2=y57（3分）如图是由5个底面直径与高度相等的大小相同的圆柱搭成的几何体，其左视图是（）ABCD8（3分）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca2Da29（3分）如图所示，ABCD，AD与BC相交于点E，EF是BED的平分线，若1=30，2=40，则BEF=（）A70B40C35D3010（3分）下列各曲线中表示y是x的函数的是（）ABCD11（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b24ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）ABCD12
3、（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）与x轴一个交点在1，2之间，对称轴为直线x=1，图象如图，给出以下结论：b24ac0；abc0；2ab=0；8a+c0；0其中结论正确的个数有（）A1B2C3D4二填空题（共4小题，每小题3分，共12分）13（3分）因式分解：2x2y+12xy16y= 14（3分）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 15（3分）两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为 16（3分） 如图，在平面直角坐标系中，点A（0，）、B（1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的
4、垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3按此规律继续作下去，直至得到点A2017为止，则点A2017坐标为 三.解答题17（6分）先化简，再求值.，其中a=18（6分）如图，已知ABC中，ABC=90（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）作线段AC的垂直平分线a，交AC于点O；连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB；连接DA、DC（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由19（10分）在“书香八桂，阅读圆梦”读书活动中，某中学设置了书法、国学诵读、演讲、征文四个比赛项目（每人只参加一个项目），九（2）班全班同学都参加了比赛，该班班长为
5、了了解本班同学参加各项比赛的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图（图1）和扇形统计图（图2），根据图表中的信息解答下列各题：（1）请求出九（2）全班人数；（2）请把折线统计图补充完整；（3）南南和宁宁参加了比赛，请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率20（10分）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30，拉索CD与水平桥面的夹角是60，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长（结果精确到0.1米，1.732）
6、21（10分）如图，一次函数y=x+4的图象与反比例y=（k为常数，且k0）的图象交于A（1，a），B两点（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求PA+PB的最小值22（10分）随着柴静纪录片穹顶之下的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为
7、净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？23（12分）如图，点D在O的直径AB的延长线上，点C在O上，且AC=CD，ACD=120（1）求证：CD是O的切线；（2）若O的半径为2，求图中阴影部分的面积24（12分）已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d=计算例如：求点
8、P（1，2）到直线y=3x+7的距离解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7所以点P（1，2）到直线y=3x+7的距离为：d=根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P（1，1）到直线y=x1的距离；（2）已知Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断Q与直线y=x+9的位置关系并说明理由；（3）已知直线y=2x+4与y=2x6平行，求这两条直线之间的距离25（12分）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60，EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且EAF=60（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段C
9、B上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB=15时，求点F到BC的距离26（14分）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x2交于B，C两点（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由2017-2018学年内蒙古赤峰二中九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题3分，共36分）1（3分）2
10、的相反数是（）A2B0C2D4【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答【解答】解：2的相反数是2故选：C【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键2（3分）据南国早报报道：2016年广西高考报名人数约为332000人，创历史新高，其中数据332000用科学记数法表示为（）A0.332106B3.32105C3.32104D33.2104【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：将33
11、2000用科学记数法表示为：3.32105故选：B【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3（3分）已知正比例函数y=3x的图象经过点（1，m），则m的值为（）AB3CD3【分析】本题较为简单，把坐标代入解析式即可求出m的值【解答】解：把点（1，m）代入y=3x，可得：m=3，故选：B【点评】此题考查一次函数的问题，利用待定系数法直接代入求出未知系数m，比较简单4（3分）在函数中，x的取值范围是（）Ax1Bx1Cx1Dx1【分析】根据分母不能为零，被开方数是非负数，可得答案【解答】解：由中，得x
12、+10，解得x1，故选：D【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零，被开方数是非负数得出不等式是解题关键5（3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A20或16B20C16D以上答案均不对【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解【解答】解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20故选：B【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主
13、要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断根据题意列出方程是正确解答本题的关键6（3分）下列运算正确的是（）Aa2a=aBax+ay=axyCm2m4=m6D（y3）2=y5【分析】结合选项分别进行幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等运算，然后选择正确答案【解答】解：A、a2和a不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、ax和ay不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、m2m4=m6，计算正确，故本选项正确；D、（y3）2=y6y5，故本选项错误故选：C【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法的知识，解答本题的
14、关键在于掌握各知识点的运算法则7（3分）如图是由5个底面直径与高度相等的大小相同的圆柱搭成的几何体，其左视图是（）ABCD【分析】先细心观察原立体图形四个圆柱体的位置关系，结合四个选项选出答案【解答】解：由图可知，左视图有二行，最下一层2个小正方体，上面左侧有一个小正方体，故选：D【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力8（3分）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca2Da2【分析】先解不等式组，然后根据题意可得a2，由此求得a的取值【解答】解：，解不等式x+a0得，xa，由不等式42xx2得，x2，不等式组：不等式组有解，a2，故选：D【点评】本题考
15、查了不等式组有解的条件，属于中档题9（3分）如图所示，ABCD，AD与BC相交于点E，EF是BED的平分线，若1=30，2=40，则BEF=（）A70B40C35D30【分析】直接利用平行线的性质得出D的度数，再利用三角形外角的性质以及角平分线的性质得出答案【解答】解：ABCD，1=D，BED=2+D=30+40=70，EF是BED的平分线，BEF=BEF=35，故选：C【点评】此题主要考查了平行线的性质，得出BEF=BEF是解题关键10（3分）下列各曲线中表示y是x的函数的是（）ABCD【分析】根据函数的意义求解即可求出答案【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值
16、与之相对应，故D正确故选：D【点评】主要考查了函数的定义注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点11（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b24ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）ABCD【分析】本题需要根据抛物线的位置，反馈数据的信息，即a+b+c，b，b24ac的符号，从而确定反比例函数、一次函数的图象位置【解答】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c0；双曲线的图象在第二、四象限；由于抛物线开口向上，所以a0；对称轴x=0，所以b0
17、；抛物线与x轴有两个交点，故b24ac0；直线y=bx+b24ac经过第一、二、四象限故选：D【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系，同学们要细心解答12（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）与x轴一个交点在1，2之间，对称轴为直线x=1，图象如图，给出以下结论：b24ac0；abc0；2ab=0；8a+c0；0其中结论正确的个数有（）A1B2C3D4【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，正
18、确；抛物线开口向上，a0，对称轴在y轴的右侧，b0，抛物线与y轴交于负半轴，c0，abc0，正确；=1，2a+b=0，错误；x=2时，y0，4a2b+c0，即8a+c0，错误；根据抛物线的对称性可知，当x=3时，y0，9a+3b+c0，0，正确综上所述，正确的结论是：故选：C【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键二填空题（共4小题，每小题3分，共12分）13（3分）因式分解：2x2y+12xy16y=2y（x2）（x4）【分析】原式提取公因式，再利用十字相乘法分
19、解即可【解答】解：原式=2y（x26x+8）=2y（x2）（x4），故答案为：2y（x2）（x4）【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键14（3分）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是m2且m3【分析】方程两边同乘以x1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围【解答】解：方程两边同乘以x1，得，m3=x1，解得x=m2，分式方程的解为正数，x=m20且x10，即m20且m210，m2且m3，故答案为m2且m3【点评】本题考查了分式方程的解，要注意分式的分母不为0的条件，此题是一道易错题，有点难度15（3分）两组数据：3，a，
20、2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为6【分析】首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后求中位数即可【解答】解：两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，解得，若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3，4，5，6，8，8，8，一共7个数，第四个数是6，所以这组数据的中位数是6故答案为6【点评】本题考查平均数和中位数平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺
21、序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数16（3分） 如图，在平面直角坐标系中，点A（0，）、B（1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3按此规律继续作下去，直至得到点A2017为止，则点A2017坐标为（31009，0）【分析】分别写出A1、A2、A3的坐标找到变化规律后写出答案即可【解答】解：A（0，）、B（1，0），ABAA1，A1的坐标为：（3，0），同理可得：A2的坐标为：（0，3），
22、A3的坐标为：（9，0），20174=5041，点A2017横坐标为，即：31009，点A2017坐标为（31009，0）故答案为：（31009，0）【点评】本题考查了规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题三.解答题17（6分）先化简，再求值.，其中a=【分析】根据分式的混合运算法则，先化简然后代入计算；【解答】解：原式=（=a，a=21+36=24，上式=24【点评】本题考查分式的化简求值、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型18（6分）如图，已知ABC中，ABC=90（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留
23、作图痕迹，请标明字母）作线段AC的垂直平分线a，交AC于点O；连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB；连接DA、DC（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出即可；利用射线的作法得出D点位置；连接DA、DC即可求解；（2）利用直角三角形斜边与其边上中线的关系进而得出AO=CO=BO=DO，进而得出答案【解答】解：（1）如图所示：如图所示：如图所示：（2）四边形ABCD是矩形，理由：RtABC中，ABC=90，BO是AC边上的中线，BO=AC，BO=DO，AO=CO，AO=CO=BO=DO，四边形ABCD是矩形【点评】此题主要考查了复杂
24、作图以及矩形的判定，得出BO=AC是解题关键19（10分）在“书香八桂，阅读圆梦”读书活动中，某中学设置了书法、国学诵读、演讲、征文四个比赛项目（每人只参加一个项目），九（2）班全班同学都参加了比赛，该班班长为了了解本班同学参加各项比赛的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图（图1）和扇形统计图（图2），根据图表中的信息解答下列各题：（1）请求出九（2）全班人数；（2）请把折线统计图补充完整；（3）南南和宁宁参加了比赛，请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率【分析】（1）由演讲人数12人，占25%，即可求得九（2）全班人数；（2）首先求得书法与国学诵读人数，继
25、而补全折线统计图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们参加的比赛项目相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：（1）演讲人数12人，占25%，出九（2）全班人数为：1225%=48（人）；（2）国学诵读占50%，国学诵读人数为：4850%=24（人），书法人数为：4824126=6（人）；补全折线统计图；（3）分别用A，B，C，D表示书法、国学诵读、演讲、征文，画树状图得：共有16种等可能的结果，他们参加的比赛项目相同的有4种情况，他们参加的比赛项目相同的概率为：=【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及折线与扇形统计图的知识注意掌握折线统计图与
26、扇形统计图的对应关系20（10分）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30，拉索CD与水平桥面的夹角是60，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长（结果精确到0.1米，1.732）【分析】设DH=x米，由三角函数得出=x，得出BH=BC+CH=2+x，求出AH=BH=2+3x，由AH=AD+DH得出方程，解方程求出x，即可得出结果【解答】解：设DH=x米，CDH=60，H=90，CH=DHtan60=x，BH=BC+CH=2+x，A=30，A
27、H=BH=2+3x，AH=AD+DH，2+3x=20+x，解得：x=10，BH=2+（10）=10116.3（米）答：立柱BH的长约为16.3米【点评】本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键21（10分）如图，一次函数y=x+4的图象与反比例y=（k为常数，且k0）的图象交于A（1，a），B两点（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求PA+PB的最小值【分析】（1）把点A（1，a）代入一次函数y=x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y=，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；（2）作点B作关于x轴的
28、对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB=PA+PD=AD的值最小，然后根据勾股定理即可求得【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=x+4，得a=1+4，解得a=3，A（1，3），点A（1，3）代入反比例函数y=，得k=3，反比例函数的表达式y=，两个函数解析式联立列方程组得，解得x1=1，x2=3，点B坐标（3，1）；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB=PA+PD=AD的值最小，D（3，1），A（1，3），AD=2，PA+PB的最小值为2【点评】本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；轴对称最短路线问题；解题关键在于
29、点的坐标的灵活运用22（10分）随着柴静纪录片穹顶之下的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降
30、低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润=单件利润销量列出一元二次方程求解即可【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，=，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）
31、设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x1200）（4+）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大23（12分）如图，点D在O的直径AB的延长线上，点C在O上，且AC=CD，ACD=120（1）求证：CD是O的切线；（2）若O的半径为2，求图中阴影部分的面积【分析】（1）根据ACD，AOC为等腰三角形，ACD=120，利用三角形内角和定理求OCD=90即可；（2）连接OC，求出D
32、和COD，求出边DC长，分别求出三角形OCD的面积和扇形COB的面积，即可求出答案【解答】证明：（1）连接OC，CD=AC，CAD=D，又ACD=120，CAD=（180ACD）=30，OC=OA，A=1=30，COD=60，又D=30，OCD=180CODD=90，CD是O的切线； （2）A=30，1=2A=601=2A=60，在RtOCD中，图中阴影部分的面积为2【点评】本题考查了本题考查了圆的切线的判定方法，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，切线的性质，扇形的面积，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积，题目比较典型，难度适中24（12分）已知点P（x0，y0）和直线
33、y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d=计算例如：求点P（1，2）到直线y=3x+7的距离解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7所以点P（1，2）到直线y=3x+7的距离为：d=根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P（1，1）到直线y=x1的距离；（2）已知Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断Q与直线y=x+9的位置关系并说明理由；（3）已知直线y=2x+4与y=2x6平行，求这两条直线之间的距离【分析】（1）根据点P到直线y=kx+b的距离公式直接计算即可；（2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q到直线y=x+9，然后根据切线的判定方法可判断Q与直线y=
34、x+9相切；（3）利用两平行线间的距离定义，在直线y=2x+4上任意取一点，然后计算这个点到直线y=2x6的距离即可【解答】解：（1）因为直线y=x1，其中k=1，b=1，所以点P（1，1）到直线y=x1的距离为：d=；（2）Q与直线y=x+9的位置关系为相切理由如下：圆心Q（0，5）到直线y=x+9的距离为：d=2，而O的半径r为2，即d=r，所以Q与直线y=x+9相切；（3）当x=0时，y=2x+4=4，即点（0，4）在直线y=2x+4，因为点（0，4）到直线y=2x6的距离为：d=2，因为直线y=2x+4与y=2x6平行，所以这两条直线之间的距离为2【点评】本题考查了一次函数的综合题：熟
35、练掌握一次函数图象上点的坐标特征、切线的判定方法和两平行线间的距离的定义；提高阅读理解能力25（12分）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60，EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且EAF=60（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB=15时，求点F到BC的距离【分析】（1）结论AE=EF=AF只要证明AE=AF即可证明AEF是等边三角形（2）欲证明BE=CF，只要证明BAECAF即可（3）过点A
36、作AGBC于点G，过点F作FHEC于点H，根据FH=CFcos30，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题【解答】（1）解：结论AE=EF=AF理由：如图1中，连接AC，四边形ABCD是菱形，B=60，AB=BC=CD=AD，B=D=60，ABC，ADC是等边三角形，BAC=DAC=60BE=EC，BAE=CAE=30，AEBC，EAF=60，CAF=DAF=30，AFCD，AE=AF（菱形的高相等），AEF是等边三角形，AE=EF=AF（2）证明：连接AC，如图2中，BAC=EAF=60，BAE=CAE，在BAE和CAF中，BAECAF，BE=CF（3）解：过点A作AGBC于点G，过点F作
37、FHEC于点H，EAB=15，ABC=60，AEB=45，在RtAGB中，ABC=60，AB=4，BG=AB=2，AG=BG=2，在RtAEG中，AEG=EAG=45，AG=GE=2，EB=EGBG=22，BAC=EAF=60，BAE=CAF，ABC=ACD=60，ABE=ACF=120在AEB和AFC中，AEBAFC，AE=AF，EB=CF=22，在RtCHF中，HCF=180BCD=60，CF=22，FH=CFsin60=（22）=3点F到BC的距离为3【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常
38、用辅助线，属于中考压轴题26（14分）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x2交于B，C两点（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得ABO=CBO=45，可证得结论；（3）设出N点坐标，可表示出M点
39、坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当MON和ABC相似时，利用三角形相似的性质可得=或=，可求得N点的坐标【解答】解：（1）顶点坐标为（1，1），设抛物线解析式为y=a（x1）2+1，又抛物线过原点，0=a（01）2+1，解得a=1，抛物线解析式为y=（x1）2+1，即y=x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，B（2，0），C（1，3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，ABO=CBO=45，即ABC=90，ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，x2+
40、2x），ON=|x|，MN=|x2+2x|，由（2）在RtABD和RtCEB中，可分别求得AB=，BC=3，MNx轴于点NABC=MNO=90，当ABC和MNO相似时有=或=，当=时，则有=，即|x|x+2|=|x|，当x=0时M、O、N不能构成三角形，x0，|x+2|=，即x+2=，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；当=时，则有=，即|x|x+2|=3|x|，|x+2|=3，即x+2=3，解得x=5或x=1，此时N点坐标为（1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（5，0）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中第32页（共32页）
