1、4 4 静定结构的内力分析与计算静定结构的内力分析与计算 一、杆件一、杆件 所谓杆件杆件，是指长度远大于其它两个方向尺寸的构件。如房屋中的梁、柱，屋架中的各根杆等。 杆件的形状和尺寸可由杆的横截面和轴线两个主要几何元素来描述。横截面横截面是指与杆长方向垂直的截面，而轴线轴线是各横截面形心的连线。 轴线为直线、横截面相同的杆件称为等直等直杆杆。材料力学主要研究等直杆。二、二、 杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式 1轴向拉伸或压缩轴向拉伸或压缩 2剪切剪切 3扭转扭转 4弯曲弯曲 1轴向拉伸或压缩轴向拉伸或压缩 在一对方向相反、作用线与杆轴重合的在一对方向相反、作用线与杆轴重合的拉力或压力作用下
2、，杆件沿着轴线伸长拉力或压力作用下，杆件沿着轴线伸长（图（图a）或缩短（图）或缩短（图b）木压杆木压杆 2剪切剪切 在一对大小相等、指向相反且相距很近在一对大小相等、指向相反且相距很近的横向力作用下，杆件在二力间的各横截的横向力作用下，杆件在二力间的各横截面产生相对错动。面产生相对错动。 3扭转扭转 在一对大小相等、转向相反、作用面与在一对大小相等、转向相反、作用面与杆轴垂直的力偶作用下，杆的任意两横截杆轴垂直的力偶作用下，杆的任意两横截面发生相对转动。面发生相对转动。 4弯曲弯曲 在一对大小相等、方向相反、位于杆的在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的力偶作用下，杆件轴线由直纵向平面
3、内的力偶作用下，杆件轴线由直线弯成曲线。线弯成曲线。组合受力与变形组合受力与变形 内容内容 种类种类 外力特点外力特点 变形特点变形特点轴向拉伸、轴向拉伸、 压缩压缩剪切剪切扭转扭转平面弯曲平面弯曲四种基本变形四种基本变形 工程实际中的杆件，可能同时承受不同工程实际中的杆件，可能同时承受不同形式的荷载而发生复杂的变形，但都可以形式的荷载而发生复杂的变形，但都可以看做是以上四种基本变形的组合。看做是以上四种基本变形的组合。一、静定结构和超静定结构一、静定结构和超静定结构工程结构大都是几个物体组成的系统。物系平衡时，组成该系统的每个物体皆平衡。在平面任意力系的作用下，每个物体可写出三个平衡方程，若
4、物系由 n 个物体组成，则可写出 3 n 个独立方程。（平行、汇交力系减少）当系统中的未知量个数等于独立方程数，这样的问题称为静定静定问题。为提高结构坚固性，常常增加多余约束，使未知量个数超过独立方程数，这样的问题称为静不定静不定或超静定超静定问题。工程结构大都是几个物体组成的系统。物系平衡时，组成该系统的每个物体皆平衡。在平面任意力系的作用下，每个物体可写出三个平衡方程，若物系由 n 个物体组成，则可写出 3 n 个独立方程。（平行、汇交力系减少）当系统中的未知量个数等于独立方程数，这样的问题称为静定静定问题。为提高结构坚固性，常常增加多余约束，使未知量个数超过独立方程数，这样的问题称为静不
5、定静不定或超静定超静定问题。静定和静不定问题静定和静不定问题 对比（对比（1 1）静定和静不定问题静定和静不定问题 对比（对比（2 2）静定和静不定问题静定和静不定问题 对比（对比（3 3） ABCAB二、按组成特征和受力特点分类二、按组成特征和受力特点分类（1）梁（2）刚架（3）桁架（4）拱（5）组合结构4.3.1内力分量内力分量 物体受到外力作用而变形时，其内部各质点间的相对位置将有变化，与此同时，各质点间的相互作用力也会发生变化。上述相互作用力由于物体受到外力的作用而引起的改变上述相互作用力由于物体受到外力的作用而引起的改变量，就是材料力学中所研究的量，就是材料力学中所研究的内力内力。由
6、于已假设物体是连续均匀的可变形固体，因此在物体内部相邻部分之间相互作用的内力，实际上是一个连续分布连续分布的内力系，而将分布内力系的合成(力或力偶)，简称为内力内力。 四、截面法： 由于内力存在于杆件内部。为了求出杆件某一截面上的内力，就必用一假想平面，将杆件沿欲求内力的截面截开，分成两部分，这样内力就转化为外力而显示出来。任取一部分为研究对象，可用静力平衡条件求内力的大小和方向。这种方法称为截面法截面法。截面法是计算内力的基本方法。 FN使杆件产生沿轴线方向的伸长或压缩变形的内力分量成为轴向力，简称轴力轴力 FQy和FQz将使两个相邻截面分别产生沿y和z方向的相互错的，这种变形称为剪切变形，
7、这两个内力分量称为剪力剪力yFP1FP2MxMyMzFQyFQxFNFRMMxAOzx 内力偶Mx使杆件的两个相邻截面产生绕杆件轴线的相对转动，这种变形称为扭转变形，这一内力偶的力偶矩称为扭矩。扭矩。 My和Mz将使杆件的两个相邻截面产生绕横截面上的某一轴 线的相互转动，从而使杆件分别在xz和xy平面内发生弯曲变形，这两个内力偶矩称为弯矩。弯矩。yFP1FP2MxMyMzFQyFQxFNFRMMxAOzx截面法的步骤：截面法的步骤：1、应用静力学方法，确定作用在杆件上的所有未知的外力2、在所要考察的横截面处，用假想截面将杆件截开，分为两部分3、考察其中任意一部分的平衡，在截面形心处建立合适的直
8、角坐标系，由平衡方程计算出各个内力分量的大小与方向4、考察另一部分的平衡，以验证所得结果的正确性4.3.2 内力方程内力方程 通过平衡方程求得：( ),( ),( )( ),( ),( )yyxxQQQQyyxxNN xFFxFFxTT xMMxMMx轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。轴向拉伸：轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。一、轴向拉伸与压缩的概念一、轴向拉伸与压缩的概念4.3.3 轴力与轴力图轴力与轴力图 杆件的轴向拉伸和压缩是工程中常见的一种变形。如图 a)所示的
9、悬臂吊车，在载荷F作用下，AC杆受到A、C两端的拉力作用，如图 b)所示，BC杆受到B、C两端的压力作用，如图 c)所示。 轴向压缩，对应的力称为压力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。杆件的轴向拉伸和压缩的力学模型FFFF二、轴向拉伸与压缩的内力二、轴向拉伸与压缩的内力 1、 内力的定义 内力指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。 2、内力的计算 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。截面法是求内力的一般方法。截面法的基本步骤： 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应
10、的内力（力或力偶）代替。 平衡：对留下的部分建立平衡方。由于整体平衡的要求，对于截开的每一部分也必须是平衡，因此，作用在每一部分上的外力必须与截面上分布内力相平衡，组成平衡力系（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。3. 轴力 轴向拉伸、压缩时，杆的内力与杆轴线重合，称为轴力，用FN 表示。例如： 截面法求FN。 0XF 0NFFNFFAFF简图AFF截开：代替：平衡：FAFNx 反映出轴力与横截面位置变化关系，较直观； 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。4、 轴力图轴力图 FN (x) 的图象表示。以平行于杆轴的坐标表示横截面的位置，垂直于
11、杆轴的另一坐标表示轴力轴力的正负规定轴力的正负规定: FN 与外法线同向，为正轴力(拉力)FN与外法线反向，为负轴力(压力)FN0FNFNFN0q0FQFQ0 x斜直线增函数xFQxFQ降函数xFQCFQ1FQ2FQ1FQ2=P自左向右突变xFQC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM坟状xM盆状自左向右折角 自左向右突变与m反xM折向与P反向MxM1M2mMM21简易作图法简易作图法: : 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。 例例4-7 4-7 用简易作图法画图示梁的内力图。解解: : 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。特殊点特殊点: :端点、分区点（外力变化点
12、）和驻点等。aaqaqA230;2QFMqa ; 0QFqaM 2; QFqa Mqa 230 ;2QFMqa 左端点：左端点：线形：线形：根据d( )( )dQM xF xx22d( )( )dMxq xx ddQFxq xx及集中载荷点的规律确定。分区点分区点A：M 的驻点的驻点：右端点：右端点：FQx223qaqa2qaxMaaqaqA57 例例4-84-8 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解：解：求支反力 ; 22RARDqaqaFF;02QqaFM 左端点A：21;22QqaFMqa B点左：21;22QqaFMqa B点右：21;22QqaFMqa C点左：M 的驻点：230
13、;8QFMqa 21;22QqaFMqa C点右：1 ; 02QFqaM 右端点D：qqa2qaFQxqa/2qa/2qa/2+ABCFRAFRDDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8+多跨静定梁实例多跨静定梁实例不依赖其它不依赖其它部分而能部分而能 F2F1F2F1F2简支斜梁的计算1.斜梁承受竖向均布荷载时的两种表示方法dsqdxq0cos0qdsdxqq2.斜梁内力计算支座反力计算：支座反力计算：20qlVMAB20qlVMBA00AHX内力计算：内力计算：sin2sinsin0 xlqqxVNtAcos2coscos0 xlqqxVQnA2212120qxqlxxqxxVMM
14、AC3.斜梁的内力图例 作简支斜梁的内力图M图Q图N图桁架的连接方式平面简单桁架的几点说明桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。的结构，它在受力后几何形状不变。所有的杆件都在同一平面内所有的杆件都在同一平面内 平面桁架。平面桁架。桁架中杆件的铰链接头桁架中杆件的铰链接头 节点。节点。满足以下假设的桁架满足以下假设的桁架 理想桁架理想桁架。 桁架的杆件都是直的；桁架的杆件都是直的； 杆件用光滑铰链连接；杆件用光滑铰链连接； 桁架所受的力（载荷）都作用在节点上，而且在桁架所受的力（载荷）都作用在节点上，而且在桁架的平面内；桁
15、架的平面内； 桁架杆件的重量略去不计，或分配在杆件两端的桁架杆件的重量略去不计，或分配在杆件两端的节点上。节点上。 平面简单桁架平面简单桁架容易证明平面简单桁架为静定桁架，而有余杆桁架为静不定桁架。由于所有的杆件都是二力杆，所有求解时总假定杆件受拉。 计算桁架内力的方法（1）节点法节点法 桁架的每个节点都受一个平面汇交力系的作用。可以逐个取节点为研究对象，以已知力求出未知力。注意每个节点只允许两个未知力。 手算时， 通常先求支座反力， 然后采用列表求解，表由4列、m行 （ m为节点数）组成。这4列分别是节点号、受力图、平衡方程和未知内力；每一行放着一条求解记录。例4-9、图示桁架，P = 10
16、kN，求各杆内力。2m2mDP30见后续 计算桁架内力的方法（2）截面法 如果并不是要求解出所有杆的内力，而只是想求解出桁架内若干根杆的内力，可以适当地选取一截面把桁架截开，通过平衡方程求解内力未知力。显然，作截面时每次最多截断三根内力未知杆。 如果截断内力未知的杆的数目多于三根，则它们的内力还需通过联合其它截面列出的方程一起求解。例4-10、图示平面桁架，各杆件的长度均为 1m，P1=10kN，P2=7kN，试计算杆1、杆2和杆3的内力。P1P2见后续P1EACDS1S3S24.6.1静定平面刚架的几何组成及特点静定平面刚架的几何组成及特点 一、刚架特征一、刚架特征 1、在刚结点处各杆端不能
17、发生相对移动和相对转、在刚结点处各杆端不能发生相对移动和相对转动；动；2、刚结点能承受弯矩和传递弯矩，可以削弱结构中弯刚结点能承受弯矩和传递弯矩，可以削弱结构中弯矩的峰值，使弯矩分布较均匀，故比较节省材料。矩的峰值，使弯矩分布较均匀，故比较节省材料。3、由于刚架具有刚结点，杆数较少、内部空间由于刚架具有刚结点，杆数较少、内部空间大，便于利用；且多数为直杆组成，制作方便，大，便于利用；且多数为直杆组成，制作方便，运用广泛。常作主要骨架将荷载传到基础上；运用广泛。常作主要骨架将荷载传到基础上；二、类型二、类型1.2kN/m6m6m6m6m4m2mABCDEFGHIJK4.6.2 静定刚架的支座反力
18、的计算静定刚架的支座反力的计算 1、三铰刚架支座反力的计算、三铰刚架支座反力的计算所以：所以：02, 02fqlFMyAB)(22lqfFyA)(22lqfFyB020lFfFMyBxBC，02, 02fqlFMyBA所以：所以： 首先用两个整体平衡方程求首先用两个整体平衡方程求FyA和和FyB。 然后用铰然后用铰C处弯矩为零的平衡方程求处弯矩为零的平衡方程求FxB。如取右半边刚架作隔离体，则有如取右半边刚架作隔离体，则有 所以所以)(42qfflFFyBxB00qfFFFxBxAx，)(43qfqfFFxBxA所以：所以： 最后用第三个整体平衡方程求最后用第三个整体平衡方程求FxA 2、多跨
19、刚架支座反力的计算、多跨刚架支座反力的计算先考虑先考虑GE部分，由部分，由ME=0，得，得)(3)12/422(41kNmmmkNmkNmFxG再考虑整体平衡条件：再考虑整体平衡条件：)(1322, 0kNFFxAx)(2)2222(41, 0kNFMyAB)(30)2222484(41, 0kNFMyBA4.6.3静定刚架内力计算和内力图的绘制静定刚架内力计算和内力图的绘制 求杆端内力的基本方法求杆端内力的基本方法：截面法截面法注意以下几点注意以下几点： 1、作轴力、剪力时要注明正负号；作轴力、剪力时要注明正负号； 2、作弯矩图时，弯矩图的纵坐标应画在杆件、作弯矩图时，弯矩图的纵坐标应画在杆
20、件受拉纤维一边，不注明正负号。受拉纤维一边，不注明正负号。3、正确选取隔离体、正确选取隔离体节节点点处处的的平平衡衡关关系系FNFQFQFNFNFQFNFQMMMM4、要注意结点的平衡条件。、要注意结点的平衡条件。 刚架内力图基本作法是把刚架折成杆刚架内力图基本作法是把刚架折成杆件。也就是说，先求各杆的杆端内力，件。也就是说，先求各杆的杆端内力，然后利用杆端内力分别作各杆的内力然后利用杆端内力分别作各杆的内力图，各杆内力图合在一起就是刚架的内图，各杆内力图合在一起就是刚架的内力图。力图。 例例MMqa/2qa/2qa2/2qa2/2qa2/2qa2/2QFQQqaqa/2FQFQNFNqa/2
21、qa/2NFNFNFNFQqa2/2qa2/2例例 试作图示刚架的内力图试作图示刚架的内力图解解：(1)求支座反力求支座反力0X0AM0BM0420AXkNXA80024203501006BVkNVB35010035024206AVkNVA150503515Y校核(2)绘弯矩图绘弯矩图AC杆CE杆EB杆0ACM)(1602420480右侧受拉mkNMCA)(.1602420480下侧受拉mkNMCD)(100下侧受拉mkNMED)(205335100下侧受拉mkNMDE0FBBFMMmkNMMEFFE100图M（3）绘剪力图）绘剪力图AC杆DE段CE杆 CD段EB杆：各杆截面均为零杆：各杆截面
22、均为零kNQAC80042080CAQkNQQDCCD15kNQQEDDE355015图Q(4)绘轴力图绘轴力图AC杆CE杆EB杆kNNNCAAC15042080ECCENNkNNNBEEB35图N（5）校核内力图）校核内力图 取刚结点取刚结点C、E为隔离为隔离体体0, 0YX0, 0ECMM0503515Y0100635350160CM取取CE梁为梁为隔离体隔离体Q图和图和N图的另一种绘制方法图的另一种绘制方法 可可利用已作出的利用已作出的M图图，以杆件为隔离体，以杆件为隔离体，根据平衡条件求出杆端剪力，根据平衡条件求出杆端剪力，绘制绘制Q图图；然后取结点为隔离体，利用杆端剪力求出然后取结点
23、为隔离体，利用杆端剪力求出杆端轴力，杆端轴力，绘制绘制N图。图。0CM0EM0X0Y0X0Y)(356160350100kNQECkNQCE1561603501000CEN)(15压力kNNCA0ECN)(35压力kNNEB图M图Q图N静定梁和静定刚架内力图作法要点归纳静定梁和静定刚架内力图作法要点归纳（1）通常先求约束力和支座反力。）通常先求约束力和支座反力。求约束和支求约束和支座反力时，要注意结构的几何构造特点，求约座反力时，要注意结构的几何构造特点，求约束力的次序应与组成次序相反。束力的次序应与组成次序相反。（2）作）作M图时，先求每杆的杆端弯矩。图时，先求每杆的杆端弯矩。将坐标将坐标画
24、于受拉纤维一边，连以直线，再叠加上由于画于受拉纤维一边，连以直线，再叠加上由于横向荷载产生的简支梁的横向荷载产生的简支梁的M图。图。M图不注正负图不注正负号。号。 （3）作）作Q图图时，先计算每杆的杆端剪力。时，先计算每杆的杆端剪力。杆端剪力杆端剪力通常可根据截面一边的荷载及支座反力直接计算。通常可根据截面一边的荷载及支座反力直接计算。当情况比较复杂时，可取一杆为隔离体，利用力矩当情况比较复杂时，可取一杆为隔离体，利用力矩平衡方程求杆端剪力。杆端剪力求出后，杆的平衡方程求杆端剪力。杆端剪力求出后，杆的Q图图可按简支梁的规律画出。可按简支梁的规律画出。Q图的正负号必须注。图的正负号必须注。（4）
25、作）作N图图时，先计算每杆的杆端轴力。时，先计算每杆的杆端轴力。杆端轴力杆端轴力通常可根据截面一边的荷载及支座反力直接计算。通常可根据截面一边的荷载及支座反力直接计算。当情况比较复杂时，可取结构的结点为隔离体，用当情况比较复杂时，可取结构的结点为隔离体，用投影平衡方程求杆端轴力。投影平衡方程求杆端轴力。N图必须注明正负号。图必须注明正负号。 （5）图的校核是必要的。）图的校核是必要的。通常截取结点或结构的通常截取结点或结构的一部分，验算其是否满足平衡条件。一部分，验算其是否满足平衡条件。三铰拱的组成和类型三铰拱的组成和类型 1、拱的类型、拱的类型无铰拱无铰拱三铰拱三铰拱拉杆拱拉杆拱2、三铰拱的
26、组成、三铰拱的组成 高跨比或高跨比或矢高比矢高比4.7.2 竖向荷载作用下竖向荷载作用下三铰拱的支座反力及三铰拱的支座反力及截面内力计算公式截面内力计算公式 )(12211bPbPlVA)(12211aPaPlVB0AAVV BAHH0CM01111HfalPlVA00 HfMc0BM0AM与相应简支梁比较：0BBVV 0XfMHC0水平推力H内力正负规定内力正负规定：KKKHyMM0KKKKHQQsincos0取负号在拱右侧，取正号在拱左侧，KKKKHQNcossin0M以拱内侧纤维受以拱内侧纤维受拉为正，反之为负拉为正，反之为负Q与梁相同与梁相同;N以压为正拉为负以压为正拉为负例例 三铰拱
27、及其所受荷载如图所示，拱的轴三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线线为抛物线 。试求支座反力，并绘。试求支座反力，并绘制内力图。制内力图。）（xlxlfy24解解（1）求支座反力）求支座反力(2)内力计算内力计算（以（以x=3m的截面的截面E为例说明）为例说明）A、截面、截面E的几何参数的几何参数)(4123613860kNVVAA)(10126989610kNVVBBkNfMHC5 . 446640mxlxlfy3)312(3)12(44)(4223667. 0)3212()12(44)2(4tan22xllfdxdy832. 0cos,555. 0sin7 .330，B、截截面面E的
28、的内内力力mkNHyMMZZ5 . 135 . 434033kNHQQ83. 0555. 05 . 4832. 04sincos033kNHQN96. 5832. 05 . 4555. 04cossin033mkNHyMMyy5 . 735 . 46340334.7.3 三铰拱的受力特性三铰拱的受力特性KKKHyMM0KKKKHQQsincos0KKKKHQNcossin0三铰拱支座反力的三铰拱支座反力的计算公式：计算公式： 0AAVV 0BBVV fMHC0三铰拱内力的三铰拱内力的计算公式：计算公式：1、三铰拱的竖向反力与相应水、三铰拱的竖向反力与相应水 平简支梁的反力相等，与拱平简支梁的反
29、力相等，与拱 轴线形状及拱高无关；轴线形状及拱高无关；4、由于水平推力的存在三铰、由于水平推力的存在三铰拱拱 横截面上的弯矩比相应简横截面上的弯矩比相应简支支 梁的弯矩小。梁的弯矩小。3、水平推力只与三铰位置及、水平推力只与三铰位置及荷荷 载有关，与各铰间的拱轴载有关，与各铰间的拱轴线线 无关；无关；2、在竖向力作用下，水平梁无、在竖向力作用下，水平梁无 轴力，但拱截面上有轴力且轴力，但拱截面上有轴力且 轴力较大是主要的内力；轴力较大是主要的内力；4.7.4 三铰拱的合理轴线三铰拱的合理轴线 当各截面弯矩为零，只受轴力作用，正应力当各截面弯矩为零，只受轴力作用，正应力沿截面均匀分布，拱处于无弯矩状态。这时材料的沿截面均匀分布，拱处于无弯矩状态。这时材料的使用最经济。使用最经济。在固定荷载作用下使拱处于无弯矩状在固定荷载作用下使拱处于无弯矩状态的轴线称为态的轴线称为合理拱轴线合理拱轴线。00HyMMHMy0例例 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理轴线载，试求其合理轴线解:HMy0)(20 xlxqMfqlfMHC820)(420 xlxlfHMy
