1、第二篇第二篇 材料力学材料力学1第二篇第二篇 材料力学材料力学本章提要本章提要 本章主要研究扭转的概念、圆轴扭转时横截面上的内力和应力、变形计算、强度条件和刚度条件及应用、矩形截面杆的扭转。 2第二篇第二篇 材料力学材料力学 目目 录录6.1 扭转的概念 外力偶矩的计算6.2 圆轴扭转时橫截面上的内力6 6 扭扭 转转6.3 圆轴扭转时横截面上的应力6.4 圆轴扭转时的变形6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件3第二篇第二篇 材料力学材料力学6.1.1 6.1.1 扭转的概念扭转的概念 等直圆杆的扭转变形，在日常生活和工程实践中是经常遇到的。例如汽车的传动轴（图6.1）、船舶推进器（图6.2）
2、、丝攻（图6.3）。 6.1 6.1 扭转的概念扭转的概念 外力偶矩的计算外力偶矩的计算4第二篇第二篇 材料力学材料力学6.1 6.1 扭转的概念扭转的概念 外力偶矩的计算外力偶矩的计算图图 6.1 5第二篇第二篇 材料力学材料力学6.1 6.1 扭转的概念扭转的概念 外力偶矩的计算外力偶矩的计算图图 6.2 6第二篇第二篇 材料力学材料力学6.1 6.1 扭转的概念扭转的概念 外力偶矩的计算外力偶矩的计算图图 6.3 7第二篇第二篇 材料力学材料力学 这些实例的共同特点：杆件受到外力偶的作用，且力偶的作用平面垂直于杆件的轴线，使杆件的任意横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的这种由于转动而产生的
3、变形称为扭转变形扭转变形。工程中将扭转变形为主的杆件称为轴轴。 工程上的大多数轴，在扭转变形过程中，往往还伴随着其他形式的变形。6.1 6.1 扭转的概念扭转的概念 外力偶矩的计算外力偶矩的计算8第二篇第二篇 材料力学材料力学6.1.2 6.1.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 作用在圆轴上的外力偶的力偶矩往往不是直接给出的，而是根据所给定的轴传递的功率和轴的转速计算出的。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为： 6.1 6.1 扭转的概念扭转的概念 外力偶矩的计算外力偶矩的计算9第二篇第二篇 材料力学材料力学6.2.1 6.2.1 扭矩扭矩 圆轴在外力偶矩作用下，横截面
4、上将产生内力，可用截面法求出这些内力。 如图6.4(a)所示的圆轴，在两端外力偶矩m作用下平衡。现用截面法沿II横截面截开，取左端为研究对象（图6.4（b)），由平衡条件可知，截面上的内力必然为一力偶，此力偶矩称为扭矩，用符号T表示，由平衡方程得6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力10第二篇第二篇 材料力学材料力学6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力图图 6.4 11第二篇第二篇 材料力学材料力学 若取圆轴的右端为研究对象（图6.4(c)，同样可求得m-m横截面上的扭矩T=m。与轴向拉伸和压缩变形相似，为了使同一截面按左端求得的扭矩与按右
5、端求得的扭矩，不仅大小相等，而且还具有相同的正负号。对扭矩正负号规定如下：以右手拇指顺着截面外法线n方向，若横截面上扭矩的转向与其他四指的转向相同时，扭矩取正号;反之取负号。 6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力12第二篇第二篇 材料力学材料力学 【例【例6.1】 图6.5(a)所示的传动轴，已知轴的转速n=200r/min,主动轮A的输入功率NA=40kW，从动轮B和C的输出功率分别为NB=25kW，NC=15kW。试求轴上1-1和2-2截面处的扭矩。 6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力13第二篇第二篇 材料力学材料力学 【解】【解】
6、 （1） 计算外力偶矩计算外力偶矩 6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力14第二篇第二篇 材料力学材料力学 (2) 计算计算1-1截面的扭矩截面的扭矩 假想将轴沿1-1截面截开，取左端为研究对象，截面上的扭矩T1按正方向假设，受力图如图6.5(b)所示。由平衡方程 6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力15第二篇第二篇 材料力学材料力学 (3) 计算计算2-2截面的扭矩截面的扭矩 假想将轴沿2-2截面截开，取左端为研究对象，截面上的扭矩T2按正方向假设，受力图如图6.5(c)所示。由平衡方程 6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转
7、时横截面上的内力16第二篇第二篇 材料力学材料力学 若取2-2截面的右端为研究对象，受力图如图6.5(d)所示。由平衡方程 6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力17第二篇第二篇 材料力学材料力学 根据以上求解过程，可总结出计算扭矩的以下规律： (1) 某一截面的扭矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力偶矩的代数和。 (2) 以右手拇指顺着截面外法线方向，与其他四指的转向相反的外力偶矩产生正值扭矩，反之产生负值扭矩。 (3) 代数和的正负，就是扭矩的正负。 6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力18第二篇第二篇 材料力学材料力学6.2.2 6.2
8、.2 扭矩图扭矩图 为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的x坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴上方，负值扭矩画在x轴下方。这种图形称为扭矩图扭矩图。 6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力19第二篇第二篇 材料力学材料力学 【例【例6.2】 图6.6(a)所示的传动轴，已知轴的转速n=200r/min，主动轮A的输入功率NA=36.77kW，从动轮B和C的输出功率分别为NB=22.08kW,NC=14.71kW。 试作： (1) 该轴的扭矩图； (2) 若将轮A和轮B
9、的位置对调（图6.6（b)），画出其扭矩图。 6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力20第二篇第二篇 材料力学材料力学6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力图图 6.6 21第二篇第二篇 材料力学材料力学 【解】【解】 （1） 计算外力偶矩计算外力偶矩 6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力22第二篇第二篇 材料力学材料力学 (2) 计算各段的扭矩计算各段的扭矩 AB段：考虑AB段内任一截面的左侧，由计算扭矩的规律有 BC段：考虑右侧6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力23第二篇第二篇 材
10、料力学材料力学 (3) 画扭矩图画扭矩图 根据以上的计算结果，按比例作扭矩图(图6.6(b)。由扭矩图可见，轴AB段各截面的扭矩最大，其值 6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力24第二篇第二篇 材料力学材料力学 (4) 若将轮若将轮A和轮和轮B的位置对调的位置对调(图图6.6(c) 扭矩图如图6.6(d)所示，轴BA段各截面的扭矩最大，其值 由此可见，将主动轮放置在从动轮的中间，可降低轴内的最大扭矩值。6.2 6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力25第二篇第二篇 材料力学材料力学6.3.1 6.3.1 现象与假设现象与假设 取一等直圆轴，在圆轴表
11、面画两条圆周线和两条与轴线平行的纵向线。然后在圆轴两端施加外力偶矩m，圆轴即产生扭转变形（图6.7）。 6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力26第二篇第二篇 材料力学材料力学 这时从圆轴表面可以观察到如下情况： （1） 两条圆周线绕轴线旋转了一个小角度，但圆周线的长度、形状和两条圆周线间的距离没有发生变化。 （2） 两条纵向线倾斜了同一微小的角度，原来纵向线和圆周线形成的矩形变成了平行四边形，但纵向线仍近似为直线。6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力27第二篇第二篇 材料力学材料力学 （3） 轴的长度和直径都没有发生变化。轴的长度和直径都
12、没有发生变化。 根据观察到的这些现象，可作如下假设：圆轴在扭转变形时，各个横截面在扭转变形后仍为相互平行的平面，且形状和大小不变，只是相对地转过了一个角度。此假设称为圆轴扭转时的平面假设圆轴扭转时的平面假设。按照平面假设，圆轴任意两横截面之间相对转动的角度，称为扭转角扭转角，用来表示。 6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力28第二篇第二篇 材料力学材料力学 根据平面假设，可以得出以下结论： （1） 横截面上无正应力。由于扭转变形时，相邻两横截面间的距离不变，即线应变=0，所以横截面上无正应力。 （2） 横截面上有剪应力，且其方向与半径垂直，由于扭转变形时，相邻两横截
13、面相对地转过一个角度，即发生了旋转式的相对滑动，由此产生了剪切变形，横截面上各点有剪应变，相应地有剪应力存在。又因半径长度不变，说明剪应变沿垂直于半径方向发生，故剪应力方向与半径垂直。 6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力29第二篇第二篇 材料力学材料力学6.3.2 6.3.2 横截面上的剪应力横截面上的剪应力 (1) 变形几何关系变形几何关系 从轴中取出一微段dx来研究（图6.8）。 6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力30第二篇第二篇 材料力学材料力学 圆轴扭转后，微段的右截面相对左截面转过一微小角度d，半径Oa转到Oa，纵向线cb转
14、到cb，圆轴表面的矩形abcd变成了平行四边形abcd，原来的矩形直角改变了一个微小角度,就是横截面边缘上点的剪应变。距离圆心为的内层圆柱上，纵向线fe倾斜到fe，倾角的角度即为距离圆心为处的剪应变。在小变形的情况下，由几何关系有 6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力31第二篇第二篇 材料力学材料力学 (2) 物理关系物理关系 根据剪切虎克定律，圆轴横截面上距圆心为处的剪应力，与该点处的剪应变成正比，即将式（a)代入上式，得6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力32第二篇第二篇 材料力学材料力学 上式表明：横截面上任意点处的剪应力横截面上任
15、意点处的剪应力与该点与该点到圆心的距离到圆心的距离成正比。成正比。 在半径为的同一圆周上各点的剪应力相等，圆心处剪应力为零，圆周边缘上剪应力最大。剪应力的分布规律如图6.9所示。6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力33第二篇第二篇 材料力学材料力学6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力图图 6.9 34第二篇第二篇 材料力学材料力学 (3) 静力学关系静力学关系 在横截面距圆心为处取一微面积dA(图6.10)，微面积上的合力为dA,该力对圆心的力矩为dA。截面上所有这些微力矩的总和就等于横截面上的扭矩T，即 式中A为整个横截面的面积。将式（
16、b)代入式（c)，并注意到 对确定的横截面是常量，G也是常量，有6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力35第二篇第二篇 材料力学材料力学6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力图图 6.10 36第二篇第二篇 材料力学材料力学 式中积分A2dA只与横截面的形状和尺寸有关，称为横截面对横截面对O点的极惯性矩点的极惯性矩，是截面的一种几何性质，用Ip来表示，即则式(d)可写成从式（b)和(e)中消去 ，即可得到 上式即为圆轴扭转时横截面上任一点剪应力的计剪应力的计算公式算公式。6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力37第二
17、篇第二篇 材料力学材料力学 式中的T和Ip，对确定的截面是常量。在圆截面的边缘上， 则令Wn称为抗扭截面系数抗扭截面系数。则式（f）可写为6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力38第二篇第二篇 材料力学材料力学 需要注意的是：平面假设只对圆截面直杆才成立，并且在推导剪应力公式时，应用了剪切虎克定律。所以只有在max不超过材料的剪切比例极限，并且杆件为圆截面直杆的情况下，剪应力计算公式才适用。 6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力39第二篇第二篇 材料力学材料力学6.3.3 6.3.3 极惯性矩和抗扭截面系数极惯性矩和抗扭截面系数 由于只研究
18、圆轴的剪应力计算，故极惯性矩和抗扭截面系数也是针对圆形截面而言的。 (1) 实心圆截面实心圆截面 对实心圆截面，可如图6.11取一圆环形微面积dA，圆环的内径为，圆环的宽度为d，则 6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力40第二篇第二篇 材料力学材料力学6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力41第二篇第二篇 材料力学材料力学于是得到实心圆截面的极惯性矩为 实心圆截面的抗扭截面系数为6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力42第二篇第二篇 材料力学材料力学 (2) 空心圆截空心圆截面面 求空心圆截面（图6.12）的极惯性
19、矩和抗扭截面系数与求实心圆截面的方法相同，即空心圆截面的极惯性矩为6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力43第二篇第二篇 材料力学材料力学式中 空心圆截面的抗弯截面系数为 极惯性矩Ip的单位为mm4或m4，抗扭截面系数的单位为mm3或m3。 6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力44第二篇第二篇 材料力学材料力学 【例【例6.3】 图6.13（a)所示的传动轴，在外力偶矩mA、mB、mC作用下处于平衡，试求 （1） 轴AB的I-I截面上离圆心距离20mm各点的剪应力； （2） I-I截面的最大剪应力； （3） 轴AB的最大剪应力。 6.3 6
20、.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力45第二篇第二篇 材料力学材料力学 【解】【解】 （1） 画轴画轴AB的扭矩图的扭矩图 AC段： CB段： 轴AB的扭矩图如图6.13(b)所示。6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力46第二篇第二篇 材料力学材料力学 （2） 计算极惯性矩和抗扭截面系数计算极惯性矩和抗扭截面系数 AD段： DB段：6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力47第二篇第二篇 材料力学材料力学 (3) 计算应力计算应力 I-I截面上离圆心20mm处的剪应力为 I-I截面上的最大剪应力为 DC段扭矩与AD段相同，但
21、抗扭截面系数比AD段小，故轴AB的最大剪应力发生在DC段横截面圆周边缘上，即6.3 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力48第二篇第二篇 材料力学材料力学 圆轴扭转时的变形，用两个横截面间绕轴线的相对扭转角来度量。由上节式（e)可得相距为l的两个截面之间的扭转角为 当轴在l长度范围内T、G和Ip均为常量时，有 式（6.8）就是等直圆轴扭转时扭转角的计算公式，扭转角的单位是弧度（rad）。式中GIp越大，则扭转角越小。GIp称为圆轴的抗扭刚度圆轴的抗扭刚度，它反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。6.4 6.4 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形49第二篇第二篇 材料力学材料力学 从上
22、式可知，的大小与轴的长度有关，为了消除长度的影响，用单位长度扭转角来表示扭转变形的程度，即式中的单位是弧度每米(rad/m)，由于工程上的单位常用度每米（/m），则6.4 6.4 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形50第二篇第二篇 材料力学材料力学6.5.1 6.5.1 强度条件强度条件 要使受到扭转的圆轴能正常工作，就应使圆轴具有足够的强度，即使轴工作时产生的最大剪应力不超过材料的许用剪应力，故强度条件强度条件为 对于等直轴，T应是Tmax。对于阶梯轴，因为各段的Wn不同，max不一定发生在Tmax所在的截面，所以须综合考虑T和Wn两个因素来确定max。6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚
23、度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件51第二篇第二篇 材料力学材料力学 许用剪应力由扭转实验测定，设计时可查有关手册。在静载条件下，它与许用拉应力有如下关系： 塑性材料 脆性材料 利用强度条件式（6.10）,可解决强度校核、设计截面尺寸和确定许可荷载三个方面的问题。6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件52第二篇第二篇 材料力学材料力学6.5.2 6.5.2 刚度条件刚度条件 圆轴扭转时，不仅要有足够的强度，还应有足够的刚度，才能使其安全可靠地工作。工程中要求轴工作时产生的最大单位长度扭转角不超过许用单位扭转角，故刚度条件刚度条件为 对于等直轴，T应是Tm
24、ax。对于阶梯轴，应综合考虑T和Ip两个因素来确定max。6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件53第二篇第二篇 材料力学材料力学 许用单位扭转角的单位为/m，其值根据荷载性质和工作条件来确定，设计时可查有关手册。一般情况下规定 精密机械的轴 一般传动轴 精密度较低的轴 利用刚度条件式（6.11），也可解决刚度校核、设计截面尺寸和确定许可荷载三个方面的问题。6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件54第二篇第二篇 材料力学材料力学 【例【例6.4】 汽车传动轴AB（图6.14)，由45号无缝钢管制成，外径D=90mm，内
25、径d=85mm，许用剪应力=60MPa，许用单位扭转角=2/m，G=80GPa，传递最大力偶矩m=1.5kNm。6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件55第二篇第二篇 材料力学材料力学 试求： （1） 校核其强度和刚度。 （2） 若改用材料相同的实心轴，要求它不低于原传动轴的强度和刚度，设计其直径D1。 （3） 计算空心轴和实心轴的重量之比。 6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件56第二篇第二篇 材料力学材料力学 【解】【解】 （1） 校核强度和刚度校核强度和刚度 所以传动轴满足强度和刚度要求。6.5 6.5 圆轴扭
26、转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件57第二篇第二篇 材料力学材料力学 （2） 计算实心轴直径计算实心轴直径D1 对空心轴和实心轴而言，强度相同即max相同。从公式可知，由于T是相同的，则应有Wn相同，即则 同理，根据两轴的刚度相同，可得到极惯性矩Ip应相同，即6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件58第二篇第二篇 材料力学材料力学则 综合强度和刚度两方面，取实心轴的直径D1=61mm。6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件59第二篇第二篇 材料力学材料力学 （3） 两轴重量之比两轴重量之比 由于两轴
27、材料相同，长度相同，它们的重量之比就等于横截面面积之比，若用W1和W2分别表示空心轴和实心轴的重量，则 即空心轴重量仅为实心轴重量的23.5%，因此采用空心轴比实心轴合理，既可节省材料，又能减轻自重。6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件60第二篇第二篇 材料力学材料力学 【例【例6.5】 一传动轴受力情况如图6.15(a)所示。已知材料的许用剪应力=50MPa，许用单位扭转角=0.6/m，剪力弹性模量G=80GPa，试设计轴的直径。 6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件61第二篇第二篇 材料力学材料力学 【解】【解
28、】 (1) 画传动轴的扭矩图画传动轴的扭矩图 BC段： CD段： 轴的扭矩图如图6.15(b)所示。从扭矩图可以看出，危险截面在CD段内，最大扭矩值为 6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件62第二篇第二篇 材料力学材料力学 （2） 按强度条件设计轴的直径按强度条件设计轴的直径 6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件63第二篇第二篇 材料力学材料力学 (3) 按刚度条件设计轴的直径按刚度条件设计轴的直径要使轴同时满足强度条件和刚度条件，选取轴的直径D=63mm。6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的
29、强度条件和刚度条件64第二篇第二篇 材料力学材料力学 【例【例6.6】 某减速箱的实心传动轴，直径D=60mm，材料的许用剪应力=50MPa，转速n=1900r/mm，试求轴能传递多少功率。 6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件65第二篇第二篇 材料力学材料力学 【解】【解】 （1） 确定许用扭矩确定许用扭矩而6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件66第二篇第二篇 材料力学材料力学 （2） 确定轴能传递的功率确定轴能传递的功率 由式（6.1）有 6.5 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件67第二篇第二篇 材料力学材料力学 （1） 圆轴扭转横截面上任一点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，在圆心处为零。最大剪应力发生在截面外周边各点处，其计算公式如下 本章小结本章小结68第二篇第二篇 材料力学材料力学 (2) 圆轴扭转的强度条件为圆轴扭转的强度条件为 利用它可以完成强度校核、确定截面尺寸和许可荷载等三类强度计算问题。本章小结本章小结69第二篇第二篇 材料力学材料力学 (3) 圆轴扭转变形的计算公式为圆轴扭转变形的计算公式为 圆轴扭转的刚度条件是本章小结本章小结70
