1、2.4 功和能功和能 机械能守恒机械能守恒1. 能量转换与守恒定律，保守力与耗散力；能量转换与守恒定律，保守力与耗散力；2. 由势能函数确定保守力场。由势能函数确定保守力场。1. 变力做功，保守力的势能表达式；变力做功，保守力的势能表达式；2. 质点（系）的动能定理、功能原理、机械能守恒定律质点（系）的动能定理、功能原理、机械能守恒定律 及其应用。及其应用。掌握：掌握：了解：了解：一、力的功一、力的功 A = (Fcos) r1. 恒力的功恒力的功Fr力对物体做功：力对物体做功：力力 对质点做功：对质点做功： F= F r cos 如果恒力如果恒力 F 作用在物体上，使物体运动作用在物体上，使
2、物体运动了了一一段位移段位移r= F r 如果如果 与位移与位移 有一定夹角有一定夹角 时：时：rFA = F rA = F rrF变力变力 推动质点运动（位移推动质点运动（位移 ）做功？）做功？F(r)r2. 变力的功变力的功ABr2r1rir1F2FiF方法：将曲线分割成许多小段。方法：将曲线分割成许多小段。 每段位移为：每段位移为：12ir , r ,., r .每段质点受力近似看成恒力：每段质点受力近似看成恒力： 12iF , F, . , F .每段恒力做功为：每段恒力做功为：iiiA = F r将每段功相加，得力做功的近似值：将每段功相加，得力做功的近似值：iiiiiAA =F r
3、取：取：i = max r令令 ，得到：，得到： 0i0iA = limAba=F drii0i= lim(F r )变力做的功等于力变力做的功等于力沿曲线的沿曲线的线积分线积分！. .功是过程量，与力和路径有关。功是过程量，与力和路径有关。. .功为标量，没有方向，但有正负。功为标量，没有方向，但有正负。 功的微分形式（功的微分形式（元功元功）：）：dA = F drdrF0,dA20;,dA20说明说明. .力与力与参照系无关，但位移与参照系有关，参照系无关，但位移与参照系有关，故故力做功力做功 与参照系有关。与参照系有关。 . .合力的功等于各分力的功的代数和。合力的功等于各分力的功的代
4、数和。baA =F drii=A= Fcos drb12na=(F +F +F ) driiF =Fbbb12naaa=F drFdrFdrbaA =F drf0n0bbbaaaxyzxyzxyzA =F dx+F dy+F dzbbaaA=F dr =Fds. .直角坐标系直角坐标系. .自然坐标系自然坐标系xyzdA = F dr = F dx + F dy + F dz元功：元功：ab的功：的功：= FrdAd元功：元功：ab的功：的功：0dr =ds. .平均功率：平均功率：F dr= F vdt瞬时功率：瞬时功率：dAP =dt瞬时功率等于力与物体速度的标积瞬时功率等于力与物体速度的
5、标积 ! 0n00= (F+F n)ds= F dsAP =tFFnF=Fcosds100A =Fdy例：一人从例：一人从10m深的水井把深的水井把10kg的水匀速提上来，由于桶的水匀速提上来，由于桶 漏水，每升高漏水，每升高1m漏漏0.2kg，问把水提到井口需做功多，问把水提到井口需做功多 少？（不计桶重）少？（不计桶重）解：建立如右图所示的坐标系。解：建立如右图所示的坐标系。o oy yy yF F则力做的功：则力做的功：质点质量的变化：质点质量的变化：m=10 - 0.2y（kg）拉力：拉力：10220= (10y-0.1y )g=10 (100-0.1 10 ) = 900(J)F =
6、 mg = (10 - 0.2y)g（N）100=(10-0.2y)gdyyo例：劲度系数为例：劲度系数为k的轻弹簧竖直放置，下端挂一质量为的轻弹簧竖直放置，下端挂一质量为m的的 小球。开始时使弹簧为原长而小球刚好与地面接触，小球。开始时使弹簧为原长而小球刚好与地面接触， 今将弹簧上端缓慢提起至小球刚能脱离地面为止，求今将弹簧上端缓慢提起至小球刚能脱离地面为止，求 此过程中外力做功。此过程中外力做功。 解：以手开始提的位置为原点建立竖直向上的解：以手开始提的位置为原点建立竖直向上的坐标系坐标系oy。拉力做功为拉力做功为 ：mg = khh0A =ky dy得得 ：2221mgm gA =k()
7、 =2k2kmgh =k21=kh2y小球脱离地面时提升距离小球脱离地面时提升距离h为：为：解：解：沿沿x轴由轴由(0,0)(2,0)，此时，此时y=0，dy=0，则：，则：21x0A=F dx例：质点所受力例：质点所受力 ，求质点由，求质点由 (0,0)(2,4) 点的过程中力做功：点的过程中力做功：先沿先沿x轴由轴由(0,0)(2,0)点，再平行点，再平行 y轴由轴由(2,0)(2,4)点；点；沿连接沿连接(0,0)、(2,4)的直线；的直线；沿沿 抛物线抛物线y=x2由由 (0,0)(2,4)点。点。 （单位为国际单位）（单位为国际单位）22F = (y -x )i +3xyj42y0A
8、=F dy由原点至由原点至(2,4)的直线方程为的直线方程为y=2x，则：，则：24xy00A =f dx +f dy324422002A =(x - x )dx +3y dy = 42J15因因y=x2，则：，则：121A = A + A= 45J3(2,4)oxy220=(-x )dx8= -J340=6ydy = 48 J24222003=(4x -x )dx +y dy2= 40J242200=(y -x )dx +3xydy由由(2,0)(2,4) ：解：解：小球在力小球在力 的作用下作圆周运动。的作用下作圆周运动。在自然坐标系中：在自然坐标系中：例：小球在水平变力例：小球在水平变力
9、 作用下缓慢移动，即在所有位置上作用下缓慢移动，即在所有位置上 均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成 角。角。 求：求： 的功，的功， 重力的功。重力的功。FFF = mgsinmlFmgFFA =F ds= mg (1-cos)l0=mgsin dlds= dlmgA= -mg (1-cos )l 0=(-mgsin ) ld BA二、质点的动能定理二、质点的动能定理在在ab过程总功：过程总功：dv= mdsdt1v2v21vvA =dA =mvdv22211=m(v -v )2对物体做功对物体做功速度变化速度变化外力作用外力作用 功与速度变化
10、的功与速度变化的联系？联系？k2k1A = E-E动能定理：外力对质点做的功等于质点动能的增量。动能定理：外力对质点做的功等于质点动能的增量。F = maF dr = ma dr在自然坐标系中在自然坐标系中= EdA = F ds= mvdv区别：功为过程量，动能是状态量。区别：功为过程量，动能是状态量。. .动能定理提供了一种计算功的简便方法。动能定理提供了一种计算功的简便方法。 . .功与动能跟参考系有关，具有相对性。功与动能跟参考系有关，具有相对性。说明：说明：. .功与动能的区别和联系：功与动能的区别和联系：联系：功是动能变化的量度。联系：功是动能变化的量度。kbkaA 0E Ekbk
11、aA 0E0）：）：CAkE = A 0;保守力作负功时（保守力作负功时（A0）：）：kE = A 0;AB过程保守力做功过程保守力做功pE = A 02. 物体在某一位置的势能只有相对意义，随零势能点位置物体在某一位置的势能只有相对意义，随零势能点位置 的不同而不同。两个位置的势能之差有绝对意义。的不同而不同。两个位置的势能之差有绝对意义。1. 势能是属于以保守力相互作用的物体系统共有的能量，势能是属于以保守力相互作用的物体系统共有的能量， 是相互作用能。是相互作用能。 3. 保守力做功与势能关系的微分形式：保守力做功与势能关系的微分形式： 说明：说明：CpdA = -dEp2p1= -E
12、(r )-E (r )k2k1E (r )-E (r ) =例：质量为例：质量为m的物体处在距地面的物体处在距地面 2R 处。求地面为零势能点处。求地面为零势能点 时的势能。（时的势能。（R为地球半径）为地球半径）3Rp2RGMmE (3R) =drr2=mgR3ppE (3R)-E (R)0rp2rMmE (r) =Gdrr得：得：112GMm= -GMm(-) =3RR3R距地面距地面 2R 处的势能：处的势能：另法另法：以无穷远为零势能点的引力势能：以无穷远为零势能点的引力势能： pMmE (r) = -Gr取取Ep(R)=0，得：，得：p2GMmE (3R)=3R解：由解：由 ，引力势
13、：，引力势：0rprE (r) = -F dr112GMm=(-GMm)-(-GMm)=3RR3R以弹簧原长为零势能点的弹性势能：以弹簧原长为零势能点的弹性势能：解：以平衡位置为原点解：以平衡位置为原点o 建立建立ox坐标系坐标系，设平衡时弹簧伸长量设为，设平衡时弹簧伸长量设为x0 。有：。有： 例：如图，劲度系数为例：如图，劲度系数为k的轻弹簧下挂质量为的轻弹簧下挂质量为m的物体。求的物体。求 势能零点位于平衡位置势能零点位于平衡位置o处时系统的势能。处时系统的势能。xmo ox0Px则则x处的系统总势能：处的系统总势能：0mg = kx0mgx =k2p001E (x +x)=k(x +x
14、)22p01E = kx x+kx2-mgx21=kx220p1= kx xE (+)kx2x取取Ep(x0)=0，得：，得：2p001-E (x )-kx2四、四、保守力与势能的关系保守力与势能的关系功与势能的微分关系：功与势能的微分关系：xyzdA = F dr = F dx+F dy +F dzppppEEEdE =dx+dy +dzxyzpxEF = -xpyEF = -ypzEF = -zCpdA = -dE在直角坐标系：在直角坐标系：xyzF = F i +F j+F kpppEEE= -i -j-kxyzpF = - E=ijkxyz梯度算符：梯度算符：1. 质点在轨道上任一位置
15、时，曲线显示出质点在轨道上任一位置时，曲线显示出 系统所具有的势能值；系统所具有的势能值；2. 势能曲线上任一位置处的斜率的负值，即为质点在该处势能曲线上任一位置处的斜率的负值，即为质点在该处 所受的保守力；所受的保守力； 如：一保守系统的质点沿如：一保守系统的质点沿x方向作一维运动，则有：方向作一维运动，则有： 3. 势能曲线有极值时，即曲线斜率为零处，其受力为零；势能曲线有极值时，即曲线斜率为零处，其受力为零；4. 受力为零的位置称为受力为零的位置称为平衡位置平衡位置。 势能曲线有极大值的位置点是势能曲线有极大值的位置点是不稳定平衡位置不稳定平衡位置； 势能曲线有极小值的位置点是势能曲线有
16、极小值的位置点是稳定平衡位置稳定平衡位置。势能曲线势能曲线*2p1E =kx2弹性势能：弹性势能：弹性势能曲线弹性势能曲线xopEpdEF(x) = -dxpx pE 22iik1jji1iF dr +(f ) dr =E + =2kkiiiii1E =E=m v2 五、质点系动能定理五、质点系动能定理n个质点组成的个质点组成的质点系质点系 mi ， 各质点速度为各质点速度为 iv质点系的动能：质点系的动能：第第i质点受力为：质点受力为： iF外力外力 第第i质点应用动能定理有质点应用动能定理有 ：2iiik2kji11j i(F +f ) dr = E - E 内力内力 jij(j i) f
17、 +总外力功总外力功总内力功总内力功总动能增量总动能增量1F2FiFjFijjif f 质点系的动能定理质点系的动能定理inA注意：注意：先求每个质先求每个质点的功，再求总功点的功，再求总功。不能先求合力再不能先求合力再求功求功。因各质点的元位移因各质点的元位移不同，不能作为公不同，不能作为公因子提到求和符号因子提到求和符号之外。之外。exAkE即：一般内力做功总和即：一般内力做功总和 inA0exinkA+ A= E211122dA = fdr +fdr注意：注意：一对内力所做功之和一对内力所做功之和等于力与相对位移的标积，等于力与相对位移的标积， 不一定等于零。不一定等于零。1m2m21f
18、12f1dr2dr2112= f(dr -dr )一对内力有：一对内力有：1221f= -f12drdr0dA0两质点间元功之和为：两质点间元功之和为：1dr2dr12dr1212dr= dr - dr相对位移相对位移2112= fdrinC,inN,inA= A+AexN,inC,ink2k1A+A+A= E-E即有：即有：将内力做功分为保守内力做功与非保守内力做功，即：将内力做功分为保守内力做功与非保守内力做功，即：非保守内力功非保守内力功保守内力功保守内力功六、质点系的功能原理六、质点系的功能原理C,inp2p1A=-(E -E )exN,ink2p2k1p1A+A= (E+E )-(E
19、+E )既然：既然：kpE=E +E系统的机械能系统的机械能:表明：表明：系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力 的功之和。的功之和。exN,inBAA+ A= E -E= E质点系的功能原理质点系的功能原理exinkA+ A= E七、机械能守恒定律七、机械能守恒定律 能量转换与守恒定律能量转换与守恒定律对于功能原理：对于功能原理：exN,inA+A= EexN,inA= A= 0若：若：E = 0则：则：系统的机械能守恒系统的机械能守恒或：或：21E = E = const.孤立系统中非保守内力不做功时，系统的动能与势能孤立系统中非保守内力不做功
20、时，系统的动能与势能 可以彼此转化，各质点的机械能也可以相互交换，但可以彼此转化，各质点的机械能也可以相互交换，但 系统的总机械能为恒量。系统的总机械能为恒量。非保守内力做功会使系统的机械能发生变化！非保守内力做功会使系统的机械能发生变化！ 孤立系统中机械能增加或减少时，孤立系统中机械能增加或减少时， 就有等量的非机械能就有等量的非机械能减少或增加，从而保持系统的总能量（机械能与非机械之减少或增加，从而保持系统的总能量（机械能与非机械之和）不变。和）不变。 四、能量转换和守恒定律四、能量转换和守恒定律exA= 0对于孤立系统：对于孤立系统：则功能原理为：则功能原理为：N,inA= E能量转换和
21、守恒定律能量转换和守恒定律摩擦内力做功：摩擦内力做功：例：如图，质量为例：如图，质量为M的卡车载质量为的卡车载质量为m的木箱以速率的木箱以速率v沿平沿平 直路面行驶，因故紧急刹车车轮立即停止转动，卡车滑直路面行驶，因故紧急刹车车轮立即停止转动，卡车滑 行距离行距离L后静止，木箱相对卡车滑行了后静止，木箱相对卡车滑行了l 距离。已知木箱距离。已知木箱 与卡车、车轮与地面间的摩擦系数分别为与卡车、车轮与地面间的摩擦系数分别为 1、 2。求求L 和和l。 fNmgMgfNmgF解：视卡车与木箱看作质点系。解：视卡车与木箱看作质点系。2-M+m gL1- mgl据质点系动能定理，有：据质点系动能定理，
22、有： 2211-M+m gL- mg = -M+m v2l 211- mg L+= -mv2l外力外力F做功：做功：对木箱应用动能定理：对木箱应用动能定理：221MvL =M+m - m glL21v=2 g-Ll；例：如图，质量为例：如图，质量为M的滑块置于斜面底端的滑块置于斜面底端A处，斜面倾角处，斜面倾角 高度为高度为h。今有质量为。今有质量为m的子弹以速度的子弹以速度v0水平射入水平射入滑滑块块 并留在其中，且使并留在其中，且使滑滑块沿斜面滑动，摩擦系数为块沿斜面滑动，摩擦系数为 。求。求 滑滑块滑出顶端时的速度大小。块滑出顶端时的速度大小。 解：解：子弹与滑块撞击过程沿斜面的动量守恒
23、，设滑块得到的子弹与滑块撞击过程沿斜面的动量守恒，设滑块得到的初速度为初速度为v1有：有： 令滑块滑出顶端时的速度为令滑块滑出顶端时的速度为v2，取取A点为重力势能零点，由功点为重力势能零点，由功能原理有：能原理有：联立上式得：联立上式得： 01mv cos= m+M v 220mv =v cos-2gh cot+1m+M 222111=m+M v + m+M gh-m+M v22 h- m+M gcossin0v例：打桩机锤的质量例：打桩机锤的质量m，将长，将长L、质量、质量M、半径、半径r的桩打入地的桩打入地下，其侧面单位面积受泥土阻力为下，其侧面单位面积受泥土阻力为k。求：。求：桩由于自
24、重下桩由于自重下沉深度沉深度h1；在桩稳定后，将锤升至距桩顶端在桩稳定后，将锤升至距桩顶端h处让其自由处让其自由下落击桩，若锤与桩发生完全非弹性碰撞，第一锤使桩下沉下落击桩，若锤与桩发生完全非弹性碰撞，第一锤使桩下沉深度深度h2；若桩已下沉若桩已下沉 l 时，锤再一次下落击桩后反弹起时，锤再一次下落击桩后反弹起h ，此时已非完全非弹性碰撞，桩的下沉，此时已非完全非弹性碰撞，桩的下沉深度深度h3。解：解：取桩和地球为系统，取桩和地球为系统，桩初始位置的质心为势能零点桩初始位置的质心为势能零点，由功能原理：由功能原理： 桩下沉距离：桩下沉距离：1h0(-k2 ry) dy 122Mgh =k r
25、0v =2gh锤与桩发生完全非弹性碰撞后桩的速率设为锤与桩发生完全非弹性碰撞后桩的速率设为v，由动量守恒，由动量守恒定律有：定律有：锤下落的末速设为锤下落的末速设为v0： 0mv = M+m vyoy1=(0-Mgh )-(0 + 0)联立上式得桩再次下沉的深度：联立上式得桩再次下沉的深度： 21211=0-(M+m)g(h +h )-M+m v -(M+m)gh 21v =2gh 2h =121h +hh(-k2 ry)dy 第一锤能使桩下沉深度设为第一锤能使桩下沉深度设为h2，下沉过程由功能原理：，下沉过程由功能原理：联立上式得桩下沉深度：联立上式得桩下沉深度：再次击桩时的碰撞是一般非弹性
26、的，碰后锤的速率再次击桩时的碰撞是一般非弹性的，碰后锤的速率v1为：为： 对桩下沉过程中再次应用功能原理，得：对桩下沉过程中再次应用功能原理，得：桩的速率设桩的速率设v ，由动量守恒有：由动量守恒有：01mv = -mv +Mv 3+h231(-k2ry)dy = -Mgh -Mv2 ll3h = 2222122k r1(h +2h h )=M+m v +(M+m)gh22 例：如图，质量例：如图，质量m长长 l 的绳放在水平桌面上，绳与桌面间摩的绳放在水平桌面上，绳与桌面间摩 擦系数为擦系数为 。求：。求：绳下垂段绳下垂段 l0 至少多长时，绳开始下至少多长时，绳开始下 滑；滑；当绳全部离开
27、桌面时绳的速率当绳全部离开桌面时绳的速率v 。00( -)mg = mgll lll解：解：绳绳下垂部分的重力大于桌面的下垂部分的重力大于桌面的静摩擦力静摩擦力，绳开始下滑绳开始下滑：01+ll当下垂绳长为当下垂绳长为y时，桌面对绳的摩擦力为：时，桌面对绳的摩擦力为：-= mfygllbfaA =f dr0-y=( mg)dy- llll20( -)= -mg2l ll2001= ( mv -mg)-(0-mg)222llllgv =1+l以桌面为重力势能零点，由功能原理有：以桌面为重力势能零点，由功能原理有：oyy20( -)-mg2l ll摩擦力做功：摩擦力做功：解：取解：取AB弹簧弹簧+
28、地球地球为系统。为系统。弹簧原长为弹簧原长为l，取，取原长时原长时A位置为原点建立位置为原点建立ox系，此处为重力与弹力势系，此处为重力与弹力势能零点。能零点。A的平衡位置为的平衡位置为x0。例：如图，用弹簧连接质量分别为例：如图，用弹簧连接质量分别为m1和和m2的木板的木板A和和B。求。求 对对A至少需施加多大的压力至少需施加多大的压力F，才能因突然撤去它使，才能因突然撤去它使 跳起过程中提拉起跳起过程中提拉起B？初态初态0 xiE =初态：初态：fE =末态：末态：因机械能守恒：因机械能守恒：fiE =Emin12F= (m +m )g101F+m g =k(x +x )220m g = k(x -x )平衡平衡ABox1x末态末态2x2011k(x +x )2101-m g(x +x )2-m gl2201k(x -x )2120+m g(x -x )2-m gl
