1、2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及详解年月日上午一、填空题（每小题分，共分）、若的值域为，那么的取值范围是 、四面体中，是一个正三角形，则到面的距离为 、若对于所有的正数，均有，则实数的最小值是 、已知是正方形内切圆上的一点，记，则 、等差数列与的公共项（具有相同数值的项）的个数是 、设为锐角，则函数的最大值是 、若将前九个正整数分别填写于一张方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是、把从到这个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数的最小值是 二、解答题（共分）、（分）如图，是椭圆的一条直径，过椭圆长轴的左顶点作的平行
2、线，交椭圆于另一点，交椭圆短轴所在直线于，证明：、（分）如图，是的旁心，点关于直线的对称点为证明：、三点共线；、四点共圆、（分）设为正数，满足：，证明：、（分）设集合，对于的任一个元子集，若存在，满足，则称为“好集”，求最大的正整数， 2016年全国高中数学联赛江西省预赛详解一、填空题（每小题分，共分）、若的值域为，那么的取值范围是 答案：解：由值域，.、四面体中，是一个正三角形，则到面的距离为 答案：解：如图，据题意得，于是，因，得，从而以为顶点的三面角是三直三面角，四面体体积，而，若设到面的距离为，则，由，得到、若对于所有的正数，均有，则实数的最小值是 答案：解：由，得，当时取等号、已知是
3、正方形内切圆上的一点，记，则 答案：解：如图建立直角坐标系，设圆方程为，则正方形顶点坐标为，若点的坐标为，于是直线的斜率分别为，所以，由此立得解2：取特例，在坐标轴上，则，这时，、等差数列与的公共项（具有相同数值的项）的个数是 答案：解：将两个数列中的各项都加，则问题等价于求等差数列与等差数列的公共项个数；前者是中的全体能被整除的数，后者是中的全体能被整除的数，故公共项是中的全体能被整除的数，这种数有个、设为锐角，则函数的最大值是 答案：解：由，得，所以当时取得等号、若将前九个正整数分别填写于一张方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是解答：（答案有多种）、把从到
4、这个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数的最小值是 答案：例如，排出的一个数列为解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作记这个连续正整数的集合为，由于，则中必有，而，所以，当时，从到这个数可以搭配成满足条件的三个数段：，但它们不能连接成一个项的数列，故应增加后续的数，增加可使得第一段扩充成，增加可使得第二段扩充成，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即，而之前的数若与邻接，只有，这三段扩充为，仍旧不能连接，应当借助新的平方数，从到这个数能搭配成和为的最小数是，则，而当时，可排出上面的情形：二、解答题（共分）、（分）如图，是椭圆
5、的一条直径，过椭圆长轴的左顶点作的平行线，交椭圆于另一点，交椭圆短轴所在直线于，证明：证1：椭圆方程为，点的坐标为，则直线方程为， 代入椭圆方程得到， 因此，又据，则点坐标为：，因为在椭圆上，则，而，因此证2：易知的斜率存在，不妨令，与椭圆方程联系，解得 , 方程为： .将方程与椭圆方程联立，得 ， 、（分）如图，是的旁心，点关于直线的对称点为证明：、三点共线；、四点共圆证：1、延长到，延长到,连，为旁心，平分，又关于对称，平分,、三点共线。2、过作交于，则 为内心。连,则平分,、四点共圆，,、四点共圆。、（分）设为正数，满足：，证明：证：据条件，即要证 也即 将此式各项齐次化，因为 代入，只
6、要证即也即。此为显然，故命题得证证2：由题设得：，三式相乘，故原不等式等价于证明：上式两边展开并化简得： 配方得： 即显然成立. 、（分）设集合，对于的任一个元子集，若存在，满足，则称为“好集”，求最大的正整数，（），使得任一个含的元子集皆为“好集”解：因任何正整数可以表为形式，其中，为正奇数，于是集合可划分为以下个子集：，对于集合的任一个元子集，只要集中含有某一个中的至少两个元素，因，则；此时为好集；以下证明正整数的最大值为： 若时，对于的任一个元子集，如果中含有某个中的至少两个元素，则便是好集；如果中的个集合，每个集合中恰有一个元素在中，那么也有一个元素在中，但为单元素集，于是，而，这说明仍是好集，因此合于要求 下面说明当时，存在含的集不是好集；分两种情况：、若，取元集，则，因中任两个不同元素，均有，故不为好集，这种不合要求、若，记，令，则，且，若中存在，因，则；若，如果，只有或者，此时的取值只能是：，或者；由于，这说明，这两个数已被挖去，不在集合中； 若，假若，只有，这种数也已悉数被挖去，即，因此不是好集，这种也不合要求综上所述，的最大值为 9
