1、第五章 分析力学 拉格朗日 哈密顿 导读 ? 动能和势能的泰勒展开 ? 线性齐次方程的求解 ? 简正频率 ? 简正坐标 5.4 小振动 1 多自由度力学体系的小振动多自由度力学体系的小振动 一个完整的稳定、保守的力学体系在平衡位置时的广义坐标均等于零 . 如果力学体系自平衡位置发生微小偏移, 力学体系的势能可以在平衡位形区域内展成泰勒级数 , )(2121102100qOqqqqVqqVVVss? 利用保守体系的平衡方程 , 略去二级以上的高级项并令V0=0, 就得到 ?qqcVs?1,21在稳定约束时, 动能T只是速度的二次齐次函数 , 即 式中系数a?是广义坐标q?的显函数. 把a? ?在
2、力学体系平衡位形的区域内展成泰勒级数 , 就得到 由于q?值很小, 因此展开式中只保留头一项 , 动能T变为 ?qqaTs?1,21? ?010( )sqO qq?qqaTs?1,21现在式中系数a? ? ? ?是不变的. c? ? ? ? 称为恢复系数或准弹性系数, 而a? ? ? ?则称为惯性系数. ?qqcVs1,21所以所以 0 ,dd ,11?qTqaqTtqaqTss?qcqVs?1 把这些表示式代入拉格朗日方程式就得到力学体把这些表示式代入拉格朗日方程式就得到力学体系在平衡位置附近的动力学方程系在平衡位置附近的动力学方程 ?ssqcqa1, 2 , 1 , 0?这是线性齐次常微分
3、方程组 , 它的解 teAq?式中A ? ?及? ?是常数. 把这表示式代回, 得 ?sscaA12, 2 , 1 , 0?从行列式从行列式 0222212122222222212211211221211211?sssssssssssscacacacacacacacaca?求出2s个个? ?的本征值? ?l , (l1,2,2s). 然后求出一组然后求出一组A? ?(l), 方程式的解即是方程式的解即是 ), 2 , 1( 21)(seAqsltll?为了物体在平衡位置附近振动 , 则力学体系的势能 V 0 (即平衡位置V0是极小值), 方程所有的根?l为纯虚数. 既然?l是纯虚数, 因此可令
4、 lli?这样, 解可以写为 ?sltiltillleAeAq1)()(?实数 解为 ?sllllltbtaq1)()(sincos?实际上, 我们把?的某一本征值?l代入原方程后, 并不能得出s个互相独立的常数 A? (? 1,2,s), 而只能得出它们的比, 因为此时系数行列式等于零 . 如果行列式的 (s-1)阶代数余子式中有一个不等于零 , 则在一组解A? 中只有一个数是可以任意取的 . 如果设此常数为A(l) ,则A? (l)可写为 ? ?21)()(lllAA?即即 ? ? ? ?21)()(212)()(2211)()(1,lsllsllllllAAAAAA?在方程的解中共有 2
5、s2个常数, 因为每个? ?l对应一个任意常数, 而共有2s个? ?l, 所以2s2个常数只有2s个是独立的. 这2s个常数, 可由起始条件决定 , 即t0时的初始位置和初始速度应为已知. 这样， ? ? ?sltilltilllleAeAq12)(2)(? ? ?sllllllltbtaq12)(2)(sincos?实数解： 这里的? ?l叫做简正频率, 它的数目共有 s个, 和力学体系的自由度数相等. 多自由度体系的小振动问题比较复杂的原因是在势能和动能中都有交叉项 (相互作用). 消除之, 可以简化问题. 因为动能总是正定的 , 根据线性代数理论, 总能找到线性变换 ?slllgq1?使
6、得T和V同时变成正则形式 , 即没有交叉项. 变换后 2 简正坐标 ?slllslllcVaT12012021 ,21?相应的拉氏方程为 0dd?lllVTTt?所以 )21( 000,s,lcallll?可得, 解 ? ? ?), 2 , 1( cossincossltCtB tAllllllll?式中 00lllac?坐标?l叫做简正坐标, ?l仍为简正频率. 每一个简正坐标都做具有自己固有频率 ?l的谐振动, 而广义坐标, 作为简正坐标的线性函数 , 将是s个谐振叠加而成的复杂运动 . 例1 耦合摆 两相同的单摆,长为a,摆锤的质量为m,用倔强系数为 k且其自然长度等于两摆悬点之间距离的
7、无重弹簧相耦合.略去阻尼作用,试求此体系的运动 . 解: 两个摆在同一平面内振动 ,取振动平面为 xy平面, 并且令两个摆锤的坐标为(x1, y1)及(x2,y2), 则由于约束关系(两摆的摆长一定 ), 四个坐标中只有两个是独立的 . 选x1及x2作为两个广义坐标, 而x1及x2等于零时相当于耦合摆的平衡状态. y2 y1 x1 x2 a a ? ? 耦合摆的势能等于弹簧的弹性势能与摆锤重力势能两者之和,即 ?2122121mgymgyxxkV?耦合摆的动能为 ?222221212121yxmyxmT?因为 22222222221212112121xxaxyxayaxxaxyxaya?故 ?
8、22221222121xaamgxaamgxxkV22222222121221121121xxaxmxxaxmT?为了算出在平衡位置附近的势能及动能 , 按泰勒级数展开, 可得 amgkxVckxxVcamgkxVcxxx?022222021212021211211 , ,? ? ?mama?022011,又又 故在平衡位置附近 , V与T简化为 2221212121xamgkxkxxamgkV?222121xxmT?运用拉氏方程, 得动力学方程 1211)(xamgxxkxm?2212)(xamgxxkxm?这是二阶常系数线性齐次方程组 ,具有形式解 tteAxeAx?2211,?所以所以
9、?00221221kamgmAkAkAkamgmA?此方程组有非零解的充要条件为此方程组有非零解的充要条件为 022?kamgmkkkamgm由此得到由此得到4个本征值如下个本征值如下: 这样得到通解这样得到通解 22112 ,?imkagiiagi?,22112211)2(2)2(2) 1(2) 1(22)2(1)2(1) 1(1)1 (11titititititititieAeAeAeAxeAeAeAeAx?把? ?1,? ?2代入行列式,得到 ? ? ?)1(1211)1 (121112111,:?AAAAAAkk? ? ? ? ?)2(2221)1(222112112,:?AAAAAA
10、kk?,22112211)2()2()1()1(2)2()2()1()1(1?titititititititieAeAeAeAxeAeAeAeAx?4个任意常数由初始条件决定 . 如果令 则? ?1, ? ?2将以单一的 频率?1, ?2振动, 因此?1, ?2就是简正坐标. ?21221121,21xxxx?例2 线对称三原子分子的振动 设两个质量为m的原子, 对称地位于质量为 M的原子两侧, 三者皆处于一直线上 , 其间的相互作用可近似地认为是准弹性的 , 即相当于用弹性系数为k的两个相同弹簧把它们联结起来 . 如平衡时, M与每一m间的距离均等于b,求三者沿联线振动时的简正频率. 解:
11、由图知, 若以水平轴x上某处O为原点. 系统的势能为 ? bxxkbxxkV22321222?而 ? xMxxmT2223212121?m m M 令 b xqbxqxq2,332211?则 ? qqkqqkV22321222? qMqqmT2223212121?本问题是三个自由度 , 故q1,q2,q3就是广义坐标, 由拉氏方程得 ?00203233212211kqkq qmkqkqkqqMkqkqqm?设解的形式为 )sin(?tcqMmm1x2x3xbb带入动力学方程组带入动力学方程组, 得得 0)(00)2(00)(2323221221?mkckckcMkckckcmkc有非零解的条件有非零解的条件 0020222?mkkkMkkkmk于是于是 ?Mmmkmk21, 0321?小小 结结 0?qVQ?qqaTs?1,21c? ? 为恢复系数或准弹性系数 , 而a? ?惯性系数. ?qqcVs1,21保守力系: ?ssqcqa1, 2 , 1 , 0?运动微分方程 简正频率 简正坐标
