1、一、选择题 1.设 a，b，c(0，)，且 abc3，则1 a 1 b 1 c的最小值为( ) A.9 B.3 C. 3 D.1 解析 ( a)2( b)2( c)2 1 a 2 1 b 2 1 c 2 a 1 a b 1 b c 1 c 2 即(abc) 1 a 1 b 1 c 32. 又abc3，1 a 1 b 1 c3，最小值为 3. 答案 B 2.已知 a21a22a2n1，x21x22x2n1，则 a1x1a2x2anxn的最大 值为( ) A.1 B.n C. n D.2 解析 由柯西不等式(a21a22a2n)(x21x22x2n)(a1x1a2x2 anxn)2得 1 1(a1
2、x1a2x2anxn)2，a1x1a2x2anxn1.所求的最大 值为 1. 答案 A 3.已知 2x3y4z10，则 x2y2z2取到最小值时的 x，y，z 的值为( ) A.5 3， 10 9 ，5 6 B.20 29， 30 29， 40 29 C.1，1 2， 1 3 D.1，1 4， 1 9 解析 x2y2z2（x 2y2z2）（223242） 29 （2x3y4z） 2 29 100 29 ， 当且仅当 x2k， y3k， z4k 时，等号成立，则 4k9k16k29k10， 解得 k10 29， x 20 29， y30 29， z40 29. 选 B. 答案 B 二、填空题 4
3、.已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，则 e 的取值范围为_. 解析 4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2) (abcd)2 即 4(16e2)(8e)2，即 644e26416ee2 5e216e0，故 0e16 5 . 答案 0，16 5 5.设 a，b，c0 且 abcA(A 为常数).则1 a 1 b 1 c的最小值为_. 解析 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c （abc） A a1 a b 1 b c 1 c 2 A 9 A. 答案 9 A 三、解答题 6.已知实数 a，b，c，d 满足 abcd3，a22b23c26d
4、25，试求 a 的 最值. 解 由柯西不等式得，有 (2b23c26d2) 1 2 1 3 1 6 (bcd)2， 即 2b23c26d2(bcd)2 由条件可得，5a2(3a)2 解得，1a2当且仅当 2b 1 2 3c 1 3 6d 1 6 时等号成立，代入b1 2，c 1 3，d 1 6时，amax2. b1，c2 3，d 1 3时，amin1. 7.设 a1a2anan1，求证： 1 a1a2 1 a2a3 1 anan1 1 an1a10. 证明 a1an1(a1a2)(a2a3)(anan1)， (a1a2)(a2a3)(anan1) 1 a1a2 1 a2a3 1 anan1 (
5、a1a2 1 a1a2 a2a3 1 a2a3 anan1 1 anan1) 2 n21. (a1an1) 1 a1a2 1 a2a3 1 anan1 1. 即 1 a1a2 1 a2a3 1 anan1 1 a1an1， 故 1 a1a2 1 a2a3 1 anan1 1 an1a10. 8.设 P 是ABC 内的一点，x，y，z 是 P 到三边 a，b，c 的距离.R 是ABC 外接 圆的半径，证明： x y z 1 2R a 2b2c2. 证明 由柯西不等式得， x y z ax 1 a by 1 b cz 1 c axbycz 1 a 1 b 1 c. 设 S 为ABC 的面积，则 a
6、xbycz2S2abc 4R abc 2R ， x y z abc 2R abbcca abc 1 2R abbcca 1 2R a2b2c2， 故不等式成立. 9.已知 a0，b0，c0，函数 f(x)|xa|xb|c 的最小值为 4. (1)求 abc 的值； (2)求1 4a 21 9b 2c2 的最小值. 解 (1)因为 f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c， 当且仅当axb 时，等号成立. 又 a0，b0，所以|ab|ab. 所以 f(x)的最小值为 abc. 又已知 f(x)的最小值为 4，所以 abc4. (2)由(1)知 abc4，由柯西不等式，得 1 4a 21 9b 2c2 (491) a 22 b 33c1 2 (abc)216， 即1 4a 21 9b 2c28 7. 当且仅当 1 2a 2 1 3b 3 c 1，即a 8 7，b 18 7 ，c2 7时等号成立，故 1 4a 21 9b 2c2的最 小值是8 7.
