1、1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编不等式部分2019B一、（本题满分40分）设正实数满足（） 记（），证明：。证明：注意到对，由平均值不等式知 ， 10 分 从而有 20 分 记的右端为 ，则对任意，在的分子中的次数为，在 的分母中的次数为从而。30 分 又（） ，故，结合得40分2018B一、（本题满分40分）设是实数，函数。证明：存在，使得。证明:用反证法.假设对任意的，均有，则，即，注意到又矛盾！所以原命题得证。2017A 9、（本题满分16分）设为实数，不等式对所有成立，证明：。证明：记 ，则。于是；+-知，即。2017A 10、（本题满分20分）设是非负实数，满足，求的
2、最小值和最大值。解析：由柯西不等式当，时取等号，故所求的最小值为；又，当，时取等号，故所求的最小值为；2017B 9、（本题满分16分）设为实数，不等式对所有成立，求实数的取值范围。解析：设，则，于是对所有成立，由于，对给定实数，设，则是关于的一次函数或常值函数，注意，因此等价于，解得所以实数的取值范围是.2017B一、（本题满分40分）设实数满足，令，证明：证明：当时，不等式显然成立以下设，不妨设不异号，即，那么有因此2016A1、设实数满足，则实数的取值范围为 答案：解析：由可得，原不等式可变形为即，所以又，故2016A一、（本题满分40分）设实数满足（）.求的最大值。解析：令由已知得，对
3、，均有。若，则；下面考虑的情况.不妨记，由平均不等式得，当且仅当时取等号。又（），此时,即所求最大值为。2016B 2、设，则平面点集的面积为 答案：解析：点集如图中阴影部分所示，其面积为2015A6、在平面直角坐标系中，点集所对应的平面区域（如图所示）的面积为 答案：解析：设先考虑在第一象限中的部分，此时有,故这些点对应于图中的OCD及其内部由对称性知，对应的区域是图中以原点O 为中心的菱形ABCD及其内部同理，设，则对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部由点集的定义知，所对应的平面区域是被、中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S由于直线CD的方程为，直线
4、GH的方程为，故它们的交点P的坐标为由对称性知，2015A一、（本题满分40分）设实数（）是实数.证明：可以选取使得。 证明： 证法一：我们证明：，即对，取，对，取符合要求（这里，表示实数的整数部分） 10分事实上，的左边为（柯西不等式）30分（利用）（利用）所以 得证，从而本题得证证法二：首先，由于问题中的对称性，可设此外，若将中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的不减，而右边的不变，并且这一手续不影响的选取，因此我们可进一步设 10分引理：设，则事实上，由于，故当是偶数时，当是奇数时，引理得证 30 分回到原题，由柯西不等式及上面引理可知，这就证明了结论 40分证法三：加强命题：设（）
5、是实数，证明：可以选取，使得 .证明 不妨设，以下分为奇数和为偶数两种情况证明.当为奇数时，取，于是有 （应用柯西不等式）. 另外，由于，易证有，因此，由式即得到，故为奇数时，原命题成立，而且由证明过程可知，当且仅当，且时取等号.当为偶数时，取，于是有（应用柯西不等式）.， 故为偶数时，原命题也成立，而且由证明过程可知，当且仅当时取等号，若不全为零，则取不到等号. 综上，联赛加试题一的加强命题获证.2015B一、（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数都有：，并确定等号成立的充要条件。解析：当不全相等时，原不等式等价于上式可化简为, 即 考虑到，故由平均不等式得， 因此原不等式成立
6、 20 分下面考虑等号成立的充分必要条件注意到中等号成立的充分必要条件是若，则，显然 ，与条件矛盾！若，则，但不全为0，不妨设，则类似可得其余两种情况，即中恰有一个非零这时原不等式中等式确实成立因此，原不等式等号成立当且仅当中有两个是0，另一个为正数40 分2010A三、（本题满分50分）给定整数，设正实数满足，记，。证明：。证明：由知，对，有 注意到当时，有，于是对，有 ， 故 2010B三、（本题满分50分）设为非负实数, 求证：。证明：首先证明左边不等式.因为 ,同理,有, ; 于是 ;由算术-几何平均不等式, 得 ,所以 .左边不等式获证, 其中等号当且仅当时成立. 下面证明右边不等式
7、.根据欲证不等式关于对称, 不妨设, 于是 ,所以 . 运用算术-几何平均不等式, 得 .右边不等式获证, 其中等号当且仅当中有一个为0,且另外两个相等时成立. 2009*3、在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数 答案：解析：由题意知 =2009*4、若不等式对一切正整数都成立，则最小正整数的值为 答案：解析：设.显然单调递减.则由的最大值，可得.2009*二、（本题满分50分）求证不等式，。证明：首先证明一个不等式： 事实上，令则对，于是在（1）中取得 令，则， 因此 又因为从而 2007*2、设实数使得不等式对任意实数恒成立，则
8、满足条件的所组成的集合是 A. B. C. D. 答案：A解析：令，则有，排除B、D。由对称性排除C，从而只有A正确。一般地，对，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的成立。由于，所以，从而上述不等式等价于。2005*1、使关于的不等式有解得实数的最大值为 A. B. C. D. 答案：D解析：令，可得，即，所以2003*7、不等式的解集是 答案：解析：不等式等价于，解得，即或。2003*13、（本题满分20分）已知,证明：证明：由题意得，解得由平均不等式注意到在上单调增即 故证2002*二、（本题满分50分）实数和正数，使得有三个实根，且满足：求。解析： 是方程的两个根 ，即 (
9、)， 且 () ， () 由()得 记，由() 和()可知且 令 ，则且 = 取，则有根， 显然假设条件成立，且 综上所述的最大值是 50分2001*6、已知枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和大于元，而枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和小于元，则枝玫瑰的价格和枝康乃馨的价格比较结果是 A.枝玫瑰价格高 B.枝康乃馨价格高 C.价格相同 D.不确定答案：A解析：设玫瑰与康乃馨的单价分别为元每枝则，令，解出，。所以，即 （也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究）2001*10、不等式的解集为 答案：解析：等价于或 即或此时或或解得或或 即解集为2001*二、（本题满分50分）设（i=1，2，n），且，求的最大
10、值与最小值解析：先求最小值，因为，等号成立当且仅当存在使得，的最小值为1 再求最大值，令，设M =令则30分令，则由柯西不等式得等号成立（）由于，从而，即所求最大值为 1999*2、平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式的整点的个数是( )A. B. C. D. 答案：A解析：由,可得为，或.从而，不难得到共有16个.1999*13、（本题满分20分）已知当时，不等式恒成立，试求的取值范围解析：当时，不等式恒成立，则当，时，不等式即，；当时，原不等式两边同时除以正数，即变为，即对恒成立。下面考虑括号里取的情况，得，显然此时，只要保证，解得，解得。另解：当时，记，则，这
11、是一个开口向上的二次函数，其对称轴，此时，即，即可得到。1998*二、（本题满分50分） 设，且，求证：，并问等号成立的充要条件。证明：由于，故于是，即求和得，又由，得，故由，得， 当且仅当为偶数且中一半取，一半取，且时等号成立1997*12、设，记中最大数为，则的最小值为 答案：解析：，由于于是中必有一个即，于是的最小值但取，得即此时于是的最小值即所求值1997*二、（本题满分50分） 试问：当且仅当实数，（），满足什么条件时，存在实数，使得，其中，为虚数单位，证明你的结论。解析：由于 ，；若，则此时矛盾故必反之，若成立此时，可分两种情况： 当成立时，取 ()，于是，而，即成立 当成立时，记
12、，于是 ()不能全为0不妨设，取，则此时，；而仍有成立故所求条件为1996*二、（本题满分25分）求实数的取值范围，使得对任意实数和任意，恒有解析：令，则，当时，并记则 当时，取得最小值，或 ，或因为，所以，或1995*10、 直角坐标平面上，满足不等式组的整点个数是_答案：解析：如图，即内部及边界上的整点由两轴及围成区域(包括边界)内的整点数有个由轴、，围成区域(不包括上)内的整点数(时各有1个整点，时各有2个整点，时有25个整点，时依次有个整点共有由对称性，由轴、围成的区域内也有个整点所求区域内共有个整点1994*1、设是实数，那么对任何实数， 不等式都成立的充要条件是（ ） A.同时为，
13、且 B. C. D. 答案：C解析：. 只需即可，得，故选C1993*11、设任意实数，要使恒成立，则的最大值是_ _答案：解析：显然，从而即，即又，由柯西不等式，知即的最大值为1992*13、 (本题满分20 分)求证：证明：因为，同时于是得即1991*15已知，求证：证明：由于，不等式即证由于而于是故证1990*7设为自然数，为正实数，且满足，则的最小值是 答案：解析：由题意得，从而，故注意以上式子的等号当且仅当时成立即所求最小值为1990*9设为自然数，对于任意实数，恒有成立，则的最小值是 答案：解析：由于 等号当且仅当时成立故1989*7若，则的取值范围是 答案：解析：不等式等价于或解
14、得1989*13. (本题满分20分)已知是个正数，满足求证：证明：，()1989*二、（本题满分35分）已知,（，）满足，求证：。证明：由已知可知，必有，也必有 (，且)设为诸中所有的数，为诸中所有的数由已知得，于是当时，;当时，总之，成立1988*12、（本题满分15分）已知、为正实数，且，试证：对每一个，证明：由已知得，故于是又 下面用数学归纳法证明： 1 当时，左右左右成立 2 设当(，)时结论成立，即成立则即命题对于也成立故对于一切，命题成立1984*五、(本题满分15分) 设都是正数，求证：证明：由于上述各式相加即得1983*5、已知函数数，满足，那么应满足（ ）A. B. C. D. 答案：解析：由于，令9ac=(ac)+(4ac)，但，选C1983*6、设都是正实数，那么（ ）A B C D、的大小关系不确定，而与的大小有关答案：B解析：由柯西不等式，选B1983*二、(本题满分16分)函数在上有定义，如果对于任意不同的，都有求证：证明：不妨取,若，则必有若，则,于是,即 而故证.1982*4、由方程确定的曲线所围成的图形的面积是（ ）A. B. C. D.答案：B解析：此曲线的图形是一个正方形，顶点为；其面积为选B
