1、ABCD第五章第五章 静定结构静定结构 位移计算位移计算计算结构位移，两目的：计算结构位移，两目的：校核刚度校核刚度超静定超静定 （计算环节）（计算环节）位移位移刚体系刚体系位移位移变形体系变形体系位移位移产生位移的主要原因产生位移的主要原因荷载作用荷载作用支座移动、变温、制造误差支座移动、变温、制造误差在后一因素作用下，在静定结构中不会引起内力，但会引起位移在后一因素作用下，在静定结构中不会引起内力，但会引起位移（验算结构位移是否超限）（验算结构位移是否超限）（无应变）（无应变）（有应变）（有应变）1 1. . 单位荷载法单位荷载法求刚体位移求刚体位移则该则该平衡力系平衡力系在此相应在此相应
2、刚体位移刚体位移上所作的上所作的 总虚功总虚功之和等于之和等于零零. .力系力系满足静力满足静力平衡平衡条件（条件（主动力与反力主动力与反力）；可能可能的的刚体刚体位移位移（与约束几何相容与约束几何相容）；彼此无关彼此无关各自独立各自独立(刚体系刚体系 )虚功原理虚功原理求求实实际的际的力力, ,虚虚设设位移位移求求实实际际位移位移, ,虚虚设设力力系系虚位移虚位移法法虚荷载虚荷载法法虚功虚功法法bbbbABCD支座支座A下沉，求下沉，求B点位移点位移 ？FBF /2为求为求 ，在，在B点虚拟点虚拟荷载荷载 F 作用，作用，B虚力系虚力系在在实位移实位移上作虚功上作虚功BF 21B结果为正，表
3、明结果为正，表明 实际位移与虚力同向实际位移与虚力同向当虚拟荷载当虚拟荷载 时时单位荷载法单位荷载法1F多跨静定梁多跨静定梁.CRDR0F21 （几何方程）（几何方程）ABCD虚功方程虚功方程单位荷载法主要步骤单位荷载法主要步骤：（1）在拟求位移处虚拟在拟求位移处虚拟单位荷载单位荷载1 1（沿所求位移方向）（沿所求位移方向）虚拟虚拟平衡平衡力系力系 即可解出未知位移即可解出未知位移（2）虚平衡力系）虚平衡力系 在在 实结构位移上作功实结构位移上作功总虚功总虚功0 虚功方程虚功方程11112aABCX Y 2a2aXA支座有位移支座有位移 ,Y求求B点：竖向点：竖向 ，转角，转角 ？V0a2 a
4、YV2 （ ）（思考：与何量相反？）（思考：与何量相反？）归纳：静定结构因归纳：静定结构因支座移动支座移动引起位移，引起位移，单位荷载法公式单位荷载法公式：0CRkk （实位移）（实位移）（实支座移动）（实支座移动）（虚反力）（虚反力）ABCABC例例解解:（功自身有（功自身有 ）V Y1 01 例例fl/2l/21ACBACB1/21/2HH解解:整体整体: :)2l(210fH21VVBA 右半拱右半拱: :三铰拱三铰拱, ,求求 C C点竖向位点竖向位移移 , , 相对转角相对转角13flH4虚功方程虚功方程: : )(f4l fl41)0(CM （ ）1)10 1ACB1/f1/ffl
5、/2l/2ACB整体整体: :右半拱右半拱: :fH fH1)0(CM 虚功方程虚功方程: :3 fl3)0(Y 0BAVV)0(BM （ ）求求C C 两侧相对转角两侧相对转角2)H0)fl( 1 0 DE若下拉杆缩短若下拉杆缩短1cm ,1cm ,求求 C C点竖向位移点竖向位移1例例解解:1/21/2左半拱左半拱:)0(CM 01N2)2 . 1(N25 . 22NN2虚功方程虚功方程: :cmN5 . 221 （下拉杆）（下拉杆）（花兰螺栓）（花兰螺栓）B1.2m3m3m3m3mCDE（3）虚）虚 平衡力系，实平衡力系，实 结构位移结构位移（2）虚拟）虚拟 单位荷载单位荷载1（ C沿所
6、求位移方向沿所求位移方向）（1）拉杆缩短（结点相对）拉杆缩短（结点相对内移内移）C（刚体位移）（刚体位移）A1 0)6(211 )(（ ）E1D例例解解: :1/21/2)0(CM Cy).(N212522.N 虚功方程虚功方程: :522.NyC （ ）（下拉杆）（下拉杆）B3m3m3m3m1.2mCDE（2）求）求 yC有虚平衡力系（单位有虚平衡力系（单位1引起）引起）C（刚体位移）（刚体位移）ACy机动法作机动法作 下下 拉杆影响线拉杆影响线）（1N21N2影响线影响线Cy12.5（1）去除拉杆，）去除拉杆， DE相对内移相对内移单位单位1上弦杆虚位移图上弦杆虚位移图下杆力影响线下杆力影
7、响线N2N2)(0621 )(01.52虚拟虚拟单位荷单位荷载载ds2 2. . 单位荷载法单位荷载法求变形体位移求变形体位移一一. .变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理变形体系的两状态变形体系的两状态:外力与内力外力与内力位移与变形位移与变形彼此独立彼此独立互不无关互不无关FQMNTds d d d d（平衡）（平衡）（荷载（荷载/支座移动支座移动/变温变温）虚功原理虚功原理: : 外虚功外虚功 = = 内虚功内虚功（荷载荷载/ /反力反力在在位移位移上作功）上作功）（内力内力在在变形变形上作功）上作功）1（连续协调）（连续协调）ds 1 dM dN dQdTds ds ds ds d（局
8、部变形）简例（局部变形）简例 CaaC1MC = a由虚功原理由虚功原理: : 1 CM a符合图中的几何关系符合图中的几何关系aC1二二. .结构位移计算结构位移计算（变形体系的单位荷载法）变形体系的单位荷载法） 拟求结构上某点位移拟求结构上某点位移, 可在该点沿位移作用线加可在该点沿位移作用线加单位荷载单位荷载（指向预设）（指向预设）, 应用应用变形体变形体虚功原理虚功原理: dTdQdNdM（外虚功）（外虚功）（内虚功）（内虚功）（沿杆长积分）（沿杆长积分）（对各杆求和）（对各杆求和）（代入几何关系）（代入几何关系）若除变形外若除变形外, 结构还有支座位移结构还有支座位移Ck M(ds)
9、TQNM( (变形体系变形体系)虚功方程虚功方程（几何方程）（几何方程）（位移）（位移）（应变）（应变） dsd dsd dsd dsd N ds ) Q T kkCR 上式适用普遍上式适用普遍:材料性质材料性质作用因素作用因素结构类型结构类型变形类型变形类型可用于非线弹性材料可用于非线弹性材料可用于支座移动、变温可用于支座移动、变温可用于各种类型结构（梁、刚架、桁架、拱、组合结构可用于各种类型结构（梁、刚架、桁架、拱、组合结构)；可用于超静定结构可用于超静定结构拉压、剪切、扭转、弯曲、组合变形拉压、剪切、扭转、弯曲、组合变形位移类型位移类型线位移、线位移、 角位移、角位移、 相对位移相对位移
10、三三. . 线弹性线弹性位移计算位移计算若材料在线弹性范围内工作（应力若材料在线弹性范围内工作（应力-应变成正比）应变成正比）,各类应变可由相应内力及弹性常数表达各类应变可由相应内力及弹性常数表达;EANllGAQktGIT （代入上式）（代入上式）kkCR dsTQNMCRkk)( EIMM( EANN ds)tGITT GAQQk EIM1（梁）（梁）（桁架）（桁架）（组合结构、拱）（组合结构、拱）dsEANN （为为与单位力同向）与单位力同向）（广义位移（广义位移线、角、相对位移线、角、相对位移）ACBPddddsGITTdsEANNdsEIMMCRtkk lEANN 1x3 3. .
11、单位荷载法求位移算例单位荷载法求位移算例例例解解: :tF求挠曲线求挠曲线)x( fy )(tlFMMx) tx( （tx）0（tx）yEIF)3(62xlEIFxtlydtEIMMx0dt)tx)(tl (dsEIMM ABCABC例例解解: :aABCaF求求A点水平位移、转角点水平位移、转角EI1EI21）M =Fx （1）x （2）（设内拉为）（设内拉为）M =0 （1）M = 1（1）（2）Fa （2）dsEIMM 0Ax aEIFax02222EIFa2）A dxEIFxa01dxEIFaa02)121(212IIEFa（ ）1（ ）1xx2m2mADB2mPCADBC1P/2P/
12、2(P/2)22(P（P）1/21/2)22(lEANNdsEANN D (1/2)ADBC11例例解解:02)22)(2222(EAP)221( Bx 000 EAP2（ ）（ ）各杆各杆EA同，求同，求D点竖向和点竖向和B点水平位移点水平位移（1）（2）222121EAP )(22121 )(EAP132解解：1)例例：求求B点点水平位移水平位移, 转角转角1R部分圆环部分圆环1)cosR1(RM M)cosR(1 （设内拉为）（设内拉为）dsEIMMBx 0EI13PR2EI2)cos1( )(Rd )cos(1sinPR2 （ ）2)1M 0BdsEIMM sinPR 0EI1)(Rd
13、 2PREI)cos1( （ ） dRP AB AB ABds sinPRm例例：ABR半圆形小曲率曲杆半圆形小曲率曲杆A A端固定，端固定，自由端作用扭转力偶矩自由端作用扭转力偶矩mm，曲杆横截面为圆形，直径曲杆横截面为圆形，直径d d 试求试求B 端扭转角端扭转角CL12TU13解解：,mcos)T( 1) 内力分析内力分析 sin)(M,cos)(T 0pdRIG) (T) T( 020p2dRIEmsindRIGmcos2IEmR2IGmRp IE1IG12RmpnmT2)单位单位m =1 作用作用M msin)M( B 1 0dRIE) (M) M(广义单位荷载广义单位荷载广义位移广
14、义位移线位移线位移力力角位移角位移力偶力偶相对线位移相对线位移一对力一对力相对角位移相对角位移一对力偶一对力偶单位荷载法求相对位移单位荷载法求相对位移如：如：ABABABA1W AB A1W AB 1111CABB C AB Cl1W lBC AB （单位力功）求相对求相对AB AB 求弦转角求弦转角AB1/l1/llB1 B1 Bl1 A B)1(BA BAABBA)1(BA 1111在两点沿连线方向虚拟在两点沿连线方向虚拟作用作用 一对单位力一对单位力( (偶偶) )（大小相等方向相反）（大小相等方向相反）1ABAB AB BDiNFCA例例求求 B-D 间相对位移（各杆间相对位移（各杆E
15、AEA相同）相同）BAF沿沿 B-D 连线加一对单位力连线加一对单位力解：解：（0）DCF)(（0）（0）F)( 2iNF1)算算节点法节点法依次分析依次分析iNF2)算算BC D)22(1)()22(（0）（0）BC DiNF11iNNBDlEAFFii 3）EAFl )222( EAFl)22()22(ll)2)(1)(2()22)(1(例例ABC活塞环，求切口处相对转角活塞环，求切口处相对转角 , , 张开量张开量 ABAB由于环形状、荷载、相对位移均对称，故由于环形状、荷载、相对位移均对称，故计算可只考虑半环，然后两倍。计算可只考虑半环，然后两倍。C截面（因对称性）无位移可看作固端RF
16、F 0ABdsEIMM21C11C Rdds解：解：1）)cosFR(1M 1M )cosR(1M 0)(RdcosFR(1 2）AB 022)(Rd)cos(1FREI2 EIR3F3EIR2F2 d（约定：内拉为）（约定：内拉为） EI24 4 图乘法图乘法应用莫尔定理求位移时，应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式积分需计算下列形式积分： ldx(x)MM(x)dxEI(x)M(x)Ml (x)MM(x)、 中，只要有一是线性（变量的一次函数）中，只要有一是线性（变量的一次函数） 以上积分即可简化：以上积分即可简化：下设下设 图形是直线图形是直线, （直杆（直杆M(xM(x) )图必定是直
17、线）图必定是直线）(x)M一一. .方法方法 tg0yAyy(x)MM(x)xx以上简化以上简化Mohr积分的方法积分的方法 图乘法图乘法1. 二图同侧为，反之为二图同侧为，反之为 ；dx（M图形面积图形面积）M图图对对y静矩静矩lxtg dxxMxMl)()(MM2. 其中一图必须是直线；其中一图必须是直线；Cx0A Ay0OSydxxM)(0 xA y0 须取自直线图须取自直线图hlA32hlA31 二次抛物线二次抛物线CL12TU212l/3l/3Chl21A hh 一次斜直线一次斜直线CC二二. .图形面积和形心图形面积和形心5l/83l/83l/4l/4顶点顶点顶点顶点2A三三. .
18、 复杂图形的图乘复杂图形的图乘1.折线折线分段分段2.复杂复杂分解分解1A2AC1C2y1y2C1C2y1y21A2A1A2AdxxMxMl)()(11yA 22yA 例例lh2ql81MhhM1)(l)ql81(32A2hy 0)0 xy(AEI1 解：解：c求求B 支座支座x)0y(AEI1xABBq12ql12112EIhql2 MABCaa/2a/2q2qaACAC求求C点竖向位移点竖向位移例例解解：qa22aaqa22Mqa22qa22qa22qa222qa1MdsMEIC1 EI121)21(2aaqaEIqa832（ ）a/4a/43a/4EIyA0 a )qa(22131)a(
19、43 例例解解：1FaFaABAB求求2)32a)(Fa21(EI12)(a)(Fa2EI2Fa22)(1)Fa21(EI12)(1)(Fa2)(3EI5qa3（ ）0yAEI1iAB2)0yAEI1iAB1)MaaM11111M21a/2a/2aFFAB130030023FaFa例例解解：0yAEI1iC)121(2EIFa3)32635(EIFa3（ ）a3a311/223)(32 5/6求求C点竖向位移点竖向位移C300300C300300aaaaFF)365(5 变温位移计算变温位移计算静定结构，温度改变不引起内力静定结构，温度改变不引起内力 t1ds t2dst0 dsdshhdst
20、t)(12 t1t2htds 轴向伸缩应变轴向伸缩应变 l/l 弯曲应变（曲率）弯曲应变（曲率）dsd ht dsNM)( dsMht 轴线温度轴线温度hhthtt21120ltl 线膨胀律线膨胀律= t0虚内力（虚内力（ M，N ）与实变形（）与实变形（ , ）同向取正）同向取正变形和位移是材料自由胀缩的结果变形和位移是材料自由胀缩的结果 ddsNt 0 例例解解：+100ABll+100+200+200求求A A点竖向位移点竖向位移00001522010t000101020t dsNtdsMhtA0 11AMlAN)21(1022llh lhl 15152（M图面积）图面积）（N图面积）图
21、面积）dsM（面积微分）（面积微分）（ ）1)(15(l fl/2l/2ACB求求C点竖向位移点竖向位移温度均匀上升温度均匀上升 t1ACB1/21/2HH解解:整体整体:21BAVV右半拱右半拱:flH4虚功方程虚功方程: :dsNt01 )4(201fflt )0(CM （ ）1)例例2004(ldxflt dxds cosdyds sindsdxdy N)sincos( 0QHN2)（化为正交系积分）（化为正交系积分）)210fdy 2 sin21 cosf4l 6 虚功方程的证明与应用条件虚功方程的证明与应用条件变形体系的两种状态变形体系的两种状态:外力与内力外力与内力位移与变形位移与
22、变形彼此独立彼此独立互不无关互不无关（平衡）（平衡）虚功原理虚功原理: : (外虚功外虚功) W = (内虚功内虚功 ) Wi（荷载荷载/ /反力反力在在 位移位移上作功）上作功） （内力内力在在 变形变形上作功）上作功）（连续协调（连续协调）一一. .平衡与几何关系平衡与几何关系ABqpQMNMAQANAMBQBNBQ+dQM+dMN+dN外力内力分量间外力内力分量间 满足平衡条件满足平衡条件dN + p dx = 0dQ+ q dx = 0dM + Q dx = 0dxuAwAAABBuBwBuw位移应变分量间位移应变分量间 满足几何关系满足几何关系dxdu dxdw LRuudu（位移应
23、变）（位移应变）uLuRdwdwdxdx)( dxABqpMAQANAMBQBNBQQ+dQMM+dMNN+dNdxuAwAABuBwBuwwq dx d (外虚功外虚功) W = BMwQuN dxup)( BA (内虚功内虚功) Wi = dM BA二二. .虚功方程证明虚功方程证明dxN dxQ qpdx A外力内力外力内力平衡平衡条件条件dN + pdx = 0dQ+ qdx = 0dM + Qdx = 0位移应变位移应变几何几何关系关系dxdu dxdw Qw (dN + pdx ) u +(dQ+ qdx) wBA= 0BA+(dM + Qdx ) u dN + w dQ + dM
24、 ( p u+ q w +Q ) dxBA= 0(分部积分分部积分) BANuN duBA ( p u+ q w +Q ) dxBA= 0BAMwQuN dxqwpu)(BA dM BA得证得证dxdu dxdw )( dxN dxQ 证证:)(kkCRP M + Q dw + M d三三. . 虚功方程的两种应用虚功方程的两种应用dsTQNMCRPBAkk)( dsTQNMCRPBAkk)( 前面证明中只应用了前面证明中只应用了 条件条件 力系平衡力系平衡 变形协调变形协调可见虚功方程可代替可见虚功方程可代替 方程方程平衡平衡几何几何dsTQNMCRPBAkk)( 虚位移法虚位移法虚荷载法虚
25、荷载法1.两种应用：两种应用：外力内力的外力内力的平衡平衡方程方程位移变形的位移变形的几何几何方程方程2. 若虚拟量为若虚拟量为单位单位1：单位单位位移法位移法单位单位荷载法荷载法变形体虚功原理所需满足的全部条件变形体虚功原理所需满足的全部条件7 互等定理互等定理线性变形体系有四个互等定理线性变形体系有四个互等定理, 其中最基本的其中最基本的功的互等功的互等若体系若体系 1.材料线弹性材料线弹性; 一一. . 功功互等定理互等定理P1P21221dsEANNdsEIMM2121 12112 PW21221 PWdsEANNdsEIMM1212 2112WW外力外力A在在 力力B引起引起位移位移
26、 上所作的上所作的功功212121 PP21 位移处位移处P2P1引起引起2.小变形小变形线性变形体系线性变形体系等于外力等于外力B在在 力力A引起引起位移位移 上所作的上所作的功功 2 二二. . 位移位移互等定理互等定理212121 PP若121 PP2112 则则单位力单位力 A引起的引起的 B处处 位移位移 （ Note: 广义力广义力（力/力偶）与 广义位移广义位移（线/角位移）对应对应 ）三三. . 反力反力互等定理互等定理12 =1=11 r21r12应用功的互等应用功的互等)1(12r约束约束A单位位移单位位移 引起的引起的约束约束B反力反力 2112 2112rr )1(21
27、r等于等于 单位力单位力 B引起的引起的 A处位移处位移等于等于约束约束B单位位移单位位移引起的引起的 约束约束A反力反力 应用功的互等应用功的互等)(112 单位力单位力 A 引起的引起的 约束约束B反力反力 四四. . 位移位移- -反力反力互等定理互等定理P=1r21121221 r（二者符号相反）（二者符号相反）Note: 广义力广义力（力（力/力偶）与力偶）与 广义位移广义位移 （线（线/角位移）角位移）对应对应 四个互等定理中四个互等定理中核心、基本的是核心、基本的是功互等功互等)(1r21 （数值）（数值）等于等于B处单位位移处单位位移 引起的引起的 A处位移处位移10 解解B1
28、例例FDBA4aaawBDDBA4aa（此题挑臂对内跨变形无影响）（此题挑臂对内跨变形无影响）B求求 （用功的互等用功的互等 ）B功互等功互等为求为求 ，在，在 B 处虚拟（假想）处虚拟（假想）作用作用单位力偶（与单位力偶（与 对应对应）BBB1（号说明实际号说明实际 与单位与单位1 1方向相反方向相反）B3EI4Fa2DwDwF （两项本身有正负）（两项本身有正负）M1M132)4(211aEIB 3EI4a3EI4a2四、五章 小结影响线影响线静力法静力法位移计算位移计算基本原理基本原理虚功原理虚功原理机动法机动法（Mohr图解图解）基本方法基本方法基本公式基本公式单位位移单位位移图解影响
29、线图解影响线单位荷载单位荷载积分求位移积分求位移虚功原理虚功原理dsGITTdsEANNdsEIMMCRtkk 单位荷载法单位荷载法（ Mohr积分）积分）影响方程（平衡解析）影响方程（平衡解析）单位位移法单位位移法dsdsdsds2 2. . 单位荷载法单位荷载法求变形体位移求变形体位移一一. .变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理变形体系的两种状态变形体系的两种状态:外力与内力外力与内力位移与变形位移与变形彼此独立彼此独立互不无关互不无关FQMNTdsddsddsdsd1dsd（平衡）（平衡）（荷载（荷载/支座移动支座移动/变温变温）虚功原理虚功原理: : 外虚功外虚功 = 内虚功内虚功（
30、荷载荷载/ /反力反力在在位移位移上作功）上作功） （内力内力在在变形变形上作功）上作功）1（下拉杆）（下拉杆）（花篮螺栓）（花篮螺栓）DECAB2AFl/2l/2ABCaa/2qQMNl/2三、位移计算中的基本假定三、位移计算中的基本假定位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即，结构的位位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即，结构的位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，结构的位移也随移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，结构的位移也随之消失。并应满足如下基本假定：之消失。并应满足如下基本假定：、应力和应变服从虎克定律（物理线性）；、应力和应变服从虎克定律（物理线性）；、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原尺寸和、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原尺寸和叠加法计算其位移；叠加法计算其位移；、所有约束为理想约束，即约束力不作功、所有约束为理想约束，即约束力不作功。
