1、1刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律角动量角动量转动转动惯量惯量角动量角动量变化率变化率力矩力矩角动量角动量定理定理角动量守角动量守恒定律恒定律空间旋转空间旋转对称性对称性重要性：重要性：大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；微观粒子的角动量具有量子化特征；微观粒子的角动量具有量子化特征；角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。2一、角动量一、角动量问题：问题：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，则由于该系统质心速度为零，所以，系个质点系，则由于该系统质心速度为零，
2、所以，系统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜用动量来量度转动物体的机械运动量。说明不宜用动量来量度转动物体的机械运动量。*引人与动量引人与动量 对应的角量对应的角量 角动量（动量矩）角动量（动量矩）pLprprmvrLsin大小：大小：方向：方向：右手规则右手规则1. 质点对参考点的角动量质点对参考点的角动量vmrprLmoprpr00,总总注意：PvvMpPcci3vmrprL服从右手规则。组成的平面，和方向：垂直于大小：prrprmvLLsinxyzmrporLp4LpprLoLom，大小相同，则：、若为参考点：以为参考点：以作直
3、线运动设00* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动这一机械运动的强弱。点旋转运动这一机械运动的强弱。oorrpmp相对性）。（具有到的角动量也可以不同察的是同一个物体，得哪怕考；选择不同的参考点，有转动运动才有角动量以为只也可能有角动量（不要作直线运动的物体同样5iiiiiiiiivmrprLLipo1ririm2r1p2pipocririmirc2. 质点系对同一参考点的总角动量质点系对同一参考点的总角动量系统内所有质点对系统内所有质点对同一参考点同一参考点角动量的矢量和角动量的矢量和63. 定轴转动刚性质点系对转轴的角动量定轴转动刚性质点
4、系对转轴的角动量方向：沿大小：2iiiiiioiormvmrLL2iiiormL 即即o对对 的角动量：的角动量：imiiiiovmrLo转轴转轴 角速度角速度刚体上任一质点刚体上任一质点转轴与其转动平面交点转轴与其转动平面交点 绕绕 圆周运动半径为圆周运动半径为 imzimoirivimor转动转动平面平面zi7刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点： (1) 质点均在各自的垂直于转轴的转动平面内，作质点均在各自的垂直于转轴的转动平面内，作半径不同的圆周运动；半径不同的圆周运动； (2) 各质点的角速度各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。大小相等，且均沿轴向。定义：定义：质点质点 对其转动
5、平面上圆心对其转动平面上圆心 点的角动点的角动量的大小，称为质点对转轴的角动量。量的大小，称为质点对转轴的角动量。imo2iiiiiizrmvmrL定义：刚体对定义：刚体对 z 轴的总角动量为：轴的总角动量为：JmrmrLLiiiiiiiizz22式中式中iiimrJ2刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量8vmrLodd2dddmrrdmrrvdmvmrLz刚体对刚体对z z轴的总角动量为：轴的总角动量为：JmrmrLLzzddd22vmdorz对质量连续分布的定轴转动刚体：对质量连续分布的定轴转动刚体：式中式中mrJd2刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量9二、刚体对轴的转动惯量二、刚体对轴
6、的转动惯量1. 定义定义iiimrJ2刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积求和。质点到转轴距离的平方之积求和。若质量连续分布，则若质量连续分布，则mrJd2积分元选取：积分元选取：mdlld,d线元：线密度：SSd,d面元：面密度：VVd,d体元：体密度：（离散刚性质点系）（离散刚性质点系）102. 计算计算刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 J与刚体总质量有关与刚体总质量有关与刚体质量分布有关与刚体质量分布有关与转轴的位置有关与转轴的位置有关练习练习1. 由长由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系的轻杆连接的质点如
7、图所示，求质点系对过对过A垂直于纸面的轴的转动惯量垂直于纸面的轴的转动惯量llllAmm2m3m4m522222232)2(5)2(4)2(320mllmlmlmmlmJiiimrJ2112. 一长为一长为 的细杆，质量的细杆，质量 均匀分布均匀分布 ，求该杆对垂，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。Lmo解：解：(1) 轴过中点轴过中点23332222212188312231dddmLLLLmLLxLmxLmxmxmrJLLxmdx2L2Ldxx 0dx12(2) 轴过一端端点轴过一端端点Lmdoxx23022231031
8、dddmLLxLmxLmxmxmrJL2222231411212121mlmlmllmmlJ若使用平行轴定理：133. 求质量求质量 m ,半径半径 R 的球壳对直径的转动惯量的球壳对直径的转动惯量解：解：用一系列垂直于轴线的平用一系列垂直于轴线的平面来切分球壳面来切分球壳,得到无数个环得到无数个环面面.当上下两圆无限接近时当上下两圆无限接近时,所所夹面元面积相当于一圆柱面的夹面元面积相当于一圆柱面的侧面面积侧面面积,且极限下该面元上且极限下该面元上各点到轴线距离相等各点到轴线距离相等24 Rmdsin2d2dRRlrsdsin21ddmsmoRl ddrRrddl143. 求质量求质量 m
9、,半径半径 R 的球壳对直径的转动惯量的球壳对直径的转动惯量24 Rmdsin2d2dRRlrsdsin21ddmsmdsin21dsindd3222mRmRmrJ对圆环：023232dsin21dmRmRJJoRl ddr154. 求质量求质量 m ,半径半径 R 的球体对直径的转动惯量的球体对直径的转动惯量解：解：以距中心以距中心 ，厚，厚 的球壳的球壳 为积分元为积分元rrdrrVd4d2334RmVmdd342d2d32dRrmrrmJ由上例知：234052d2dmRRrmrJJRRorrd16注意：注意： 对同轴的转动惯量才具有可加减性。对同轴的转动惯量才具有可加减性。平行轴定理平行
10、轴定理CDdm2mdJJCD绕质心轴17一些均匀刚体的转动惯量表一些均匀刚体的转动惯量表18练习练习CA4LmBozL求长求长 L、质量、质量 m 的均匀杆对的均匀杆对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量243422487ddmLxxLmmxJLLz解一：解一：解二：解二：2224874343314431mLLmLmJJJoBoAz解三：解三：222248741214mLLmmLLmJJCz为二者共同的转轴。转动。的杆绕其左端点长度为转动；的杆绕其右端点有可加性：长度为对同轴的转动惯量才具OOLOL434x19三、角动量的时间变化率三、角动量的时间变化率 力矩力矩1、质点角动量的时间变化率、质点角动
11、量的时间变化率tprptrprttLdddd)(ddddprLFrtprtLvmvpvptrdddd0dd质点位矢质点位矢该质点所受合力该质点所受合力rmFMr一参考点的物理量。都是相对于同、注意前提：运算中的Lpr20FrM服从右手规则组成的平面和垂直于方向：大小：FrFrFdsin定义：定义：2、力矩力矩1) 力对参考点的力矩力对参考点的力矩大小：大小：FrtLddFdrFFrsin方向：方向：服从右手螺旋法则服从右手螺旋法则rFodm参考点的位置矢量为力的作用点到r212) 力对定轴的力矩力对定轴的力矩FrM第一项第一项/1FrM方向垂直于轴，其效果是改方向垂直于轴，其效果是改变轴的方位
12、，在定轴问题中，变轴的方位，在定轴问题中，与轴承约束力矩平衡。与轴承约束力矩平衡。第二项第二项FrMz方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，称为力对轴的矩，表为代数量：称为力对轴的矩，表为代数量：FrMzFrozFrFrFFr/)(/FFzMd不在转动平面内）：（点的力矩对力FOF22转动的力矩为负。转动的力矩为正、阻碍加强的方向作为正方向，则转动时示了。通常把体系绕轴号来表的方向就可以用轴的正方向，于是事先选定种可能。故可方向相反，但只有这两方向一致，要么与轴，要么与的方向沿着。由图可知，为：轴的力矩转动。于是定义力对定的作用是让刚体绕转轴考虑）；而
13、的约束力矩平衡，故不这个力矩会被刚体转轴位（在定轴问题中的作用是改变转轴的方平视图看出，FrZZFrFrMFFz/Fz2F3F4F1F1r2r3r23注意：注意：1. 力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。oooMMM21zzzMMM21矢量和矢量和代数和（事先规定正向）代数和（事先规定正向）00MF00MFFFooFF2.T243、质点系角动量的时间变化率（对同一参考点）、质点系角动量的时间变化率（对同一参考点）两边求和得两边求和得iiiiiiMMtLLt内外总dddd内外内外内外内外内外内外NNNNNNMMFFrtLMMFFrtLMMFFrtLdddd
14、dd222222111111是外力矩对每一个质点而言，都力矩；表示来自体系内的力的力矩；表示来自体系外的力的内外iiMMtLFrMdd可得可得对对 个质点个质点 组成的质点系，由组成的质点系，由Nmmm,21N内外FFF25于是：于是：外外总iiFrMtLidd质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和外力矩的矢量和 (合外力矩合外力矩 )iiiiiiMMtLLt内外dddd注意：注意： 合外力矩合外力矩 是质点系所受各外力矩是质点系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。的矢量和，而非合力的力矩。外M由图可知由图可知0iiM内1212f21f1m2m1r2rdo点的力矩和对同一参考与反作用力一对作用力
