1、N单元 选修4系列N1选修4-1 几何证明选讲图1622N12013新课标全国卷 选修41：几何证明选讲如图16所示，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DBDC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径22解：(1)证明：联结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又因为DBBE，所以DE为直径，DCE90，由勾股定理可得DBDC.(2)由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线，所以BG.设DE的中点为O，联结BO，则BO
2、G60.从而ABEBCECBE30，所以CFBF，故RtBCF外接圆的半径等于.15N12013广东卷 (几何证明选讲选做题)如图13所示，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BCCD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB6，ED2，则BC_图13152 解析 由题知ACB90，又BCCD，ADAB6，BACCAE，AEADED4.CE为切线，ACEABC.ACECAEABCBAC90.在ACD中，ACD90，CEAD，CD2EDDA12，解得CD2 ，故BC2 .图1515N12013湖北卷 (选修41：几何证明选讲)如图15所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上
3、的射影为E.若AB3AD，则的值为_158解析 设AB6k，则AD2k，DOk，CO3k，设EOx，由射影定理：DO2EOCO，k2x3k，x，故8.图1311N12013湖南卷 如图12所示，在半径为的O中，弦AB，CD相交于点P.PAPB2，PD1，则圆心O到弦CD的距离为_11.解析 由相交弦定理可知PAPBPCPD，得PC4，故弦CD5，又半径r，记圆心O到直线CD的距离为d，则d27，即d2，故d.21N12013江苏卷 A选修41：几何证明选讲如图11所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC.求证：AC2AD.图11证明：联结OD，因为AB和BC分别与
4、圆O相切于点D，C，所以ADOACB90.又因为AA，所以RtADORtACB，所以.又BC2OC2OD.故AC2AD.11N12013北京卷 如图12，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA3，PDDB916，则PD_，AB_图1211.4解析 由于PDDB916，设PD9a，则DB16a，PB25a，根据切割线定理有PA2PDPB，a，PD，PB5.又PBA为直角三角形，AB2AP2PB2，AB4.22N12013辽宁卷 选修41：几何证明选讲如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，联结AE，BE.证明：(1
5、)FEBCEB；(2)EF2ADBC.图1822证明：(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF.又EFAB，得FEBEBF，从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，所以BCBF.类似可证，RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.N12013陕西卷 B(几何证明选做题)如图14，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P，已知PD2DA2，则PE_.图14解析 利用已知可得，BCEPED
6、BAP，可得PDEPEA，可得，而PD2DA2，则PA3，则PE2PAPD6，PE.15C8，E8，N12013四川卷 设P1，P2，Pn为平面内的n个点，在平面内的所有点中，若点P到P1，P2，Pn点的距离之和最小，则称点P为P1，P2，Pn点的一个“中位点”例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点则有下列命题：若A，B，C三个点共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)15解析 对于，如果中
7、位点不在直线AB上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾而当中位点在直线AB上时，如果不与C重合，则|PA|PB|PC|PA|PB|也不符合题意，故C为唯一的中位点，正确；对于，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为，显然2 16，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，错误；对于，当A，B，C，D四点共线时，不妨设他们的顺序就是A，B，C，D，则当点P在B，C之间运动时，点P到A，B，C，D四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，错误；对于，同样根据三角形两边之
8、和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，正确13N12013天津卷 如图12所示，ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BDAC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若ABAC，AE6，BD5，则线段CF的长为_图1213.解析 由切割线定理可得EA2EBED，有EB4，ED9.因为ABAC，所以ABCCADB，由弦切角定理可得EABADB，所以EABABC，故AEBC.又BDAC，所以四边形AEBC是平行四边形，可得BCAE6，又由平行线分线段成比例定理可得，因为AE6，所以BF，故CFBCBF.22N12013新课标全国卷 选修
9、41：几何证明选讲：如图15，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B，E，F，C四点共圆(1)证明：CA是ABC外接圆的直径；(2)若DBBEEA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值图1522解：(1)证明：因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA，由题设知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此CA是ABC外接圆的直径(2)联结CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DBBE，有CEDC，
10、又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.1614N12013重庆卷 如图16所示，在ABC中，C90，A60，AB20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为_145解析 联结CE.由弦切角定理知BCDA60，所以在RtBCD中，CBD30.又在RtABC中，ABC30，ACAB10，所以CEAC10.在RtCDE中，DCE30，故DECE5.N2选修4-2 矩阵212013福建卷 N2()选修42：矩阵与变换已知直线l：axy1在矩阵A)对应的变换作
11、用下变为直线l：xby1.(1)求实数a，b的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A)，求点P的坐标()解：(1)设直线l：axy1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M(x，y)由)，得又点M(x，y)在l上，所以xby1，即x(b2)y1.依题意得解得(2)由A)，得解得y00.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x01.故点P的坐标为(1，0)N22013江苏卷 B选修42：矩阵与变换已知矩阵A1,0)0,2)，B1,0)2,6)，求矩阵A1B.解：设矩阵A的逆矩阵为a,c)b,d)，则1,0)0,2)a,c)b,d)1,0)0,1)即a,2c)b,2d)1,0)0
12、,1)，故a1，b0，c0，d，从而A的逆矩阵为A10,)所以A1B0,)1,0)2,6)1,0)2,3)2N2，N32013浙江卷 已知aR“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(1)以极坐标系Ox的极点O为原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，并在两种坐标系中取相同的长度单位把极坐标方程cos 2sin 1化成直角坐标方程(2)在直角坐标系xOy中，曲线C：(为参数)，过点P(2，1)的直线与曲线C交于A，B两点若|PA|PB|，求|AB|的值2解：(1)极坐标方程两边同乘以得cos 3sin .又在直角坐标系下，cos x，sin y，2x2y2，故化成直角坐标方程为xy(x
13、2y2).又(0，0)满足原极坐标方程故所求的直角坐标方程为xy(x2y2).(2)由题意，曲线C的直角坐标方程为x22y22.设过点P(2，1)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)及点A，B对应的参数分别为t1，t2.将直线的参数方程代入x22y22得(2tcos )22(1tsin )220.即(1sin2)t24(sin cos )t40.则16(2sin cos sin2 )0，且t1t2，t1t2，由|PA|PB|得|t1t2|.故sin2 .又由0得0tan 2.故t1t2，t1t2.所以|AB|t1t2|.N3选修4-4 参数与参数方程23N32013新课标全国卷 选修44：
14、坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0，02)23解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.将代入x2y28x10y160，得28cos 10sin 160.所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程为x2y22y0，由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.7N32013安徽卷 在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为
15、()A0(R)和cos 2 B(R)和cos 2C(R)和cos 1 D0(R)和cos 17B解析 圆的直角坐标方程为x2y22x0，故垂直于极轴的两条切线的直角坐标方程为x0，x2，其极坐标方程分别为(R)和cos 2.9N32013北京卷 在极坐标系中，点到直线sin 2的距离等于_91解析 极坐标系中点的对应直角坐标系中的点的坐标为(，1)，极坐标系中直线sin 2对应直角坐标系中直线方程为y2，所以距离为1.N3()选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为cosa，且点A在直线l上(1)
16、求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系()解：(1)由点A，在直线cosa上，可得a.所以直线l的方程可化为cos sin 2，从而直线l的直角坐标方程为xy20.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21.所以圆C的圆心为(1，0)，半径r1，因为圆心C到直线l的距离db0)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为sinm(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为_16.解析 直线l的直角坐标方程为xym0，圆O
17、的直角坐标方程为x2y2b2，由直线与圆相切得：m22b2.又椭圆C的一般方程为1，直线过椭圆焦点，故mc，所以c22b2e.9N32013湖南卷 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则常数a的值为_93解析 将参数方程化为普通方程可得，直线l：即yxa，椭圆C：即1，可知其右顶点为(3，0)，代入直线方程可得a3.N32013江苏卷 C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)，试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1得
18、tx1，代入y2t，得到直线l的普通方程为2xy20.同理得到曲线C的普通方程为y22x.联立方程组解得公共点的坐标为(2，2)，1.152013江西卷 N3(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_N42013江西卷 (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为_15(1)cos2sin 0(2)解析 (1)曲线方程为yx2，将ysin ，xcos 代入得cos2sin 0.(2)1|x2|110|x2|22x22，得0x4.23N32013辽宁卷 选修44：坐标系
19、与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos2 .(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值23解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C2交点的极坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ的直角坐标方程为xy20.由参数方程可得yx1，所以解得a1，b2.CN32013陕西卷 (坐标系与参
20、数方程选做题)如图15，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2y2x0的参数方程为_图15(为参数)解析 设P(x，y)，则随着取值变化，P可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x2y2x0x2y2，表示以，0为圆心，半径为的圆，可得弦OP1cos，所以可得故已知圆的参数方程为(为参数)11N32013天津卷 已知圆的极坐标方程为4cos ，圆心为C，点P的极坐标为4，则|CP|_.112 解析 圆的极坐标方程为4cos ，圆心C的直角坐标为(2，0)P点极坐标，化为直角坐标为(2，2)，|CP|2 .23N32013新课标全国卷 选修44：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数
21、)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点23解：(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d(00，且t1t2，t1t2，由|PA|PB|得|t1t2|.故sin2 .又由0得0tan 2.故t1t2，t1t2.所以|AB|t1t2|.15N32013重庆卷 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为c
22、os 4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|_1516解析 直线的普通方程为x4，代入曲线的参数方程 得t2，当t2时x4，y8；当t2时x4，y8，即有A(4，8)，B(4，8)，于是|AB|8(8)16. N4()选修45：不等式选讲24N42013新课标全国卷 选修45：不等式选讲已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围24解：(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图像如图所示，从图像可知，当
23、且仅当x(0，2)时，y0，所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x时，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化为1ax3.所以xa2对x都成立，故a2，即a，从而a的取值范围是设不等式|x2|a(aN*)的解集为A，且A，A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值()解：(1)因为A，且A，所以a，且a.解得0，求证：2a3b32ab2a2b.证明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0.从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.24.N42013
24、辽宁卷 选修45：不等式选讲已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为，求a的值24解：(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；当2x4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3.15N42013陕西卷 (考生注意：请在下列三题中任选一题作答
25、，如果多做，则按所做的第一题评分)A(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_2解析 利用柯西不等式式可得：(ambn)(bman)()2mn(ab)22.14N42013天津卷 设ab2，b0，则当a_时，取得最小值142解析 2 1，当且仅当时，等号成立联立ab2，b0，a0.可解得a2.24N42013新课标全国卷 选修45：不等式选讲设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.24证明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c
26、22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为 b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc，又abc1，所以1.1N42013浙江卷 (1)解不等式|x1|x4|5.(2)求函数y|x1|x4|x24x的最小值1解：(1)当x4时，x1x45，得x5，此时x5.综上所述，原不等式的解集是(，05，)(2)因为|x1|x4|(x1)(x4)|3，当且仅当1x4时取等号；x24x(x2)244，当且仅当x2时取等号故|x1|x4|x24x341，当x2时取等号所以y|x1|x4|x24x的最小值为1.16N42013重庆卷 若关于实数x的不等式|x5|x3|a无解，则实数a的取值范围是_16(，8解析 要使不等式无解，则a必须小于或等于|x5|x3|的最小值，而|x5|x3|(x5)(x3)|8，则a8，所以实数a的取值范围是(，8N5 选修4-7 优选法与试验设计
