1、第三章 函数第二节 函数的基本性质1.（2023全国甲卷理科13，文科14）若为偶函数，则 .【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.【解析】因为为偶函数，定义域为 ，所以，即，则，故 a = 2，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为2. 2.（2023全国乙卷理科4，文科5）已知是偶函数，则（ ）A. B. C. D.【分析】根据偶函数的定义运算求解.【解析】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选D. 3.（2023新高考I卷11）已知函数的定义域为，则（ ）A.B.C.是偶函数D.为的极小值点【解析】选项A，令，则，故A正确；选项B，令
2、，则，所以，故B正确；选项C，令，则，因为，所以，令，则，所以是偶函数，故C正确；选项D，对式子两边同时除以，得到，故可以设，当时，令，解得，令，解得，故在单调递减，在单调递增.又是偶函数，所以在单调递增，在单调递减.的图像如图所示，所以为的极大值点，故D错误.故选ABC.4.（2023新高考II卷4）若为偶函数，则（ ）A. B. 0 C. D.【解析】，则.因为为偶函数，所以，即，所以有，得.故选B.5.（2023北京卷4）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）A. B. C. D.【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【解析】对于A，因为在上
3、单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，显然在上不单调，D错误.故选C.6.（2023北京卷15）设，函数，给出下列四个结论：在区间上单调递减；当时，存在最大值；设，则；设，若存在最小值，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是 .【分析】先分析图像，再逐一分析各结论；对于，取，结合图像即可判断；对于，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于，结合图像可知的范围；对于，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.【解析】依题意，当时，
4、易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当时，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；当时，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于，取，则的图像如下， 显然，当，即时，在上单调递增，故错误；对于，当时，当时，；当时，显然取得最大值；当时，综上：取得最大值，故正确；对于，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小， 当时，当且接近于处，此时，故正确；对于，取，则的图像如下， 因为，结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，联立，解得，则，显然在上，满足取得最小值，即也满足存在最小
5、值，故的取值范围不仅仅是，故错误.故答案为：.【评注】本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题时，可取特殊值进行排除即可.第三节 幂函数1.（2023天津卷3）若，则的大小关系为（）ABCD【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由在上单调递增，则，由在上单调递增，则.所以.故选D.第四节 指数与指数函数1.（2023天津卷3）若，则的大小关系为（）ABCD【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由在上单调递增，则，由在上单调递增，则.所以.故选D.2.（2023全国甲卷文科11）已知函数.记， ，则 （ ）A. B. C.
6、D.【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解析】令，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，又为增函数，故，即.故选A.3.（2023新高考I卷4）设函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.【解析】令，要使得在区间单调递减，需要满足在区间单调递减，所以，所以的取值范围是.故选D.4.（2023北京卷11）已知函数，则 .【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.【解析】函数，所以.故答案为1.第五节 对数与对数函数1.（2023北京卷11）已知函数，则 .【分析】根据给定条件
7、，把代入，利用指数、对数运算计算作答.【解析】函数，所以.故答案为1.2.（2023新高考I卷10）噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为，则（ ）A. B.C.D.【解析】选项A，所以，所以A正确；选项B，所以，所以，故B错误；选项C，所以，所以，故C正确；选项D，所以，所以，故D正确.故选ACD.第六节 函数的图像及应用1.（2023全国甲卷理科
8、10，文科12）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与交点个数为（ ）A. B. C.3 D.4【解析】因为函数向左平移个单位可得而过与两点，分别作出与的图像如图所示，考虑，即处与的大小关系，结合图像可知有3个交点. 故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.2.（2023北京卷15）设，函数，给出下列四个结论：在区间上单调递减；当时，存在最大值；设，则；设，若存在最小值，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是 .【分析】先分析图像，再逐一分析各结论；对于，取，结合图像即可判断；对于，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于，结合图像可知的范围；对于，取，结合图像
9、可知此时存在最小值，从而得以判断.【解析】依题意，当时，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当时，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；当时，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于，取，则的图像如下， 显然，当，即时，在上单调递增，故错误；对于，当时，当时，；当时，显然取得最大值；当时，综上：取得最大值，故正确；对于，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小， 当时，当且接近于处，此时，故正确；对于，取，则的图像如下， 因为，结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，联
10、立，解得，则，显然在上，满足取得最小值，即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故错误.故答案为：.【评注】本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题时，可取特殊值进行排除即可.3.（2023天津卷4）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（）A B CD【分析】由图知函数为偶函数，先判断函数的奇偶性排除选项；再判断函数在上的函数符号排除选项，即得答案.【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由，且定义域为，即A，B中函数为奇函数，排除选项A，B；当时，即C中上函数值为正，排除选项C；故选D.第七节 函数与方程1.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知
11、为函数向左平移个单位所得函数，则与交点个数为（ ）A. B. C.3 D.4【解析】因为函数向左平移个单位可得而过与两点，分别作出与的图像如图所示，考虑，即处与的大小关系，结合图像可知有3个交点. 故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.2.（2023天津卷15）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围【解析】（1）当时，即，若时，此时成立；若时，或，若方程有一根为，则，即且；若方程有一根为，则，解得：且；若时，此时成立（2）当时，即，若时，显然不成立；若时，或，若方程有一根为，则，即；若方程有一根为，则，解得：；若时，显然不成立.综上，当时，零点为，；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，只有一个零点；7当时，零点为，；当时，零点为所以，当函数有两个零点时，且故答案为：【评注】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出
