1、第十章 直线与圆第三节 直线与圆的位置关系1.(2023全国甲卷理科8,文科9)已知双曲线的离心率为,其中一条渐近线与圆交于两点,则( )A. B. C. D.【解析】由,则,解得.所以双曲线的一条渐近线为,则圆心到渐近线的距离,所以弦长.故选D.2.(2023全国乙卷理科22,文科22)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线(为参数,).(1) 写出的直角坐标方程;(2) 若直线既与没有公共点,也与没有公共点,求的取值范围.【分析】(1) 根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解,注意的取值范围;(2) 根据曲线的方程,结合图形通过平移直线分析相
2、应的临界位置,结合点到直线的距离公式运算求解即可.【解析】(1)因为,即,可得,整理得,表示以为圆心,半径为1的圆,又因为,且,则,则,故.(2)因为(为参数,),整理得,表示圆心为,半径为 2,且位于第二象限的圆弧,如图所示,若直线过,则,解得;若直线,即与相切,则,解得,若直线与均没有公共点,则或,即实数的取值范围为. 3.(2023全国乙卷文科11)已知实数满足,则的最大值是 ( )A. B. C. D.【分析】解法一:令,利用判别式法即可;解法二:通过整理得,利用三角换元法即可,解法三:整理出圆的方程,设,利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【解析】解法一:令,则,代入原式化简得,因为存在实数,则,即,化简得,解得,故 的最大值是.故选C.解法二:,整理得,令,其中,则,因为,所以,则,即时,取得最大值.故选C.解法三:由可得,设,则圆心到直线的距离,解得.故选C.4.(2023新高考I卷6)过点与圆相切的两条直线的夹角为,则( )A.B.C.D.【解析】,所以圆心为,记,设切点为,如图所示.因为,故,.故选B.5.(2023新高考II卷15)已知直线与圆交于两点,写出满足“”的m的一个值_.【解析】由题意可知,直线恒过点,此点同时为圆与轴负半轴的交点.又圆心,则,所以,解得,或.所以满足条件的点可以为,代入直线方程得或或或.