1、 利用导数探究函数的零点问题专题讲座深圳市民办学校高中数学教师深圳市民办学校高中数学教师 欧阳文丰欧阳文丰1全国卷高考数学题展示(2014年全国卷）已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围？ 3231f xaxx f x0 x00 x a2 函数零点是新课标教材的新增内容之一,纵观近几年全国各地的高考试题,经常出现一些与零点有关的问题,它可以以选择题、填空题的形式出现，也可以在解答题中与其它知识交汇后闪亮登场，可以说“零点”成为了高考新的热点和亮点.高考地位3一：复习旧知函数零点函数零点使函数使函数 的的实数实数方程方程 的实的实数解数解函数函数 的图像的图像与与 轴交点的横坐轴
2、交点的横坐标标 0f x x 0f x yf xx函数与方程函数与图像函数零点函数零点使函数使函数 的的实数实数方程方程 的实的实数解数解函数函数 的图像的图像与与 轴交点的横坐轴交点的横坐标标 0f x 0f x fxx4结论结论：函数的零点就是方程函数的零点就是方程f(x)=0f(x)=0的的实数根，也就是函数实数根，也就是函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴的交点的横坐标。轴的交点的横坐标。方程方程f(x)=0f(x)=0有实数有实数根根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点5唯一)(xf在 ba,上单调0)()( bfaf
3、)(xf在 有 ba,零点)(xf在 ba,上连续零点的存在性定理6除了用判定定理外，你还想到什么方法呢？除了用判定定理外，你还想到什么方法呢？7导数在函数零点问题上的应用导数在函数零点问题上的应用函数零点导数的应用数形结合零数零位参数范围8研究两条曲线的交点个数的基本方法研究两条曲线的交点个数的基本方法(1)数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图形交点个数得出答案.(2)函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.2022-6-691 1、三次函数的图象四种类型、三次函数的图象四种类型2022-6-6102.2.三次函数的零点分布三次函数的零点分布三次函数在存在两个
4、极值点的情况下，由于当x时，函数值也趋向，因此只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1x2的函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的零点分布情况如下：a的符号零点个数充要条件a0(f(x1)为极大值，f(x2)为极小值)一个f(x1)0或f(x2)0两个f(x1)0或者f(x2)0三个f(x1)0且f(x2)0a0(f(x1)为极小值，f(x2)为极大值)一个f(x2)0或f(x1)0两个f(x1)0或者f(x2)0三个f(x1)0且f(x2)02022-6-611例例1 1： 函数函数f f( (x x)=)=x x3 3-3-3x x2 2 + +a
5、a( (a aR R) )的零点的零点个数个数. .一、三次函数的零点问题一、三次函数的零点问题12函数函数f f( (x x)=)=x x3 3-3-3x x2 2 + +a a( (a aR R) )的零点个数的零点个数. .几何画板演示13函数函数f f( (x x)=)=x x3 3-3-3x x2 2 + +a a( (a aR R) )的零点个数的零点个数. .几何画板演示14 已知函数已知函数f f( (x x)=)=x x3 3- -x x2 2- -x x+ +a a的图象与的图象与x x轴轴仅有一个交点，求实数仅有一个交点，求实数a a的取值范围的取值范围. .1516几何
6、画板演示172022-6-6182022-6-619当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，1)1(1，)g(x)00g(x)t3t1所以，g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值.当g(0)t30，即t3时，此时g(x)在区间(，1和1，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.当g(1)t10，即t1时，此时g(x)在区间(，0)和0，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.2022-6-620当g(0)0且g(1)0，即3t1时，因为g(1)t70，g(2)t110，所以g(x)分别在区间1，0)，0，1)和1，2)上恰
7、有1个零点，由于g(x)在区间(，0)和(1，)上单调，所以g(x)分别在区间(，0)和1，)上恰有1个零点.综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3，1).探究提高解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如本题第(2)问中的切线过点(1，t).2022-6-6212022-6-622(2)证明由(1)知，f(x)x33x2x2.设g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4.由题设知1k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10，
8、g(0)4，所以g(x)0在(，0有唯一实根.当x0时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x).h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)没有实根.综上，g(x)0在R R有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.探究提高研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.2022-6-623二、非三次函数的零点问题二、非三次函数的零点问题24几何画板演示25附
9、：非三次函数的零点问题也是通过导数求极值来画出附：非三次函数的零点问题也是通过导数求极值来画出其图象，采用类似于三次函数的方法探究零点。其图象，采用类似于三次函数的方法探究零点。262022-6-627f(x)与f(x)在区间(0，)上的变化情况如下表：2022-6-6282022-6-629探究提高对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.2022
10、-6-6301 1、已知函数、已知函数f f( (x x)=)=x x3 3-3-3ax ax -1, -1, a a0 0 (1) (1) 求求f f( (x x) )的单调区间；的单调区间； (2) (2) 若若f f( (x x) )在在x x= -1= -1处取得极值，直线处取得极值，直线 y y= =m m与与y y= =f f( (x x) )的图象有三个不同的交点，求的图象有三个不同的交点，求m m的取值范围的取值范围3132几何画板演示332022-6-6342022-6-6352022-6-6362022-6-637解解:(1):(1)设曲线设曲线y=f(x)y=f(x)与与
11、x x轴切于点轴切于点 , ,则则 , ,即即 解得解得 当当 时时,x,x轴是轴是y=f(x)y=f(x)的切线的切线. .3 3. .已知函数已知函数 , g(x)=-lnx , g(x)=-lnx (1) (1)当当a a为何值时为何值时,x,x轴为曲线轴为曲线y=f(x)y=f(x)的切线的切线 (2) (2)用用minm,nminm,n表示表示m,nm,n中的最小值中的最小值, ,设函数设函数 h(x)=minf(x),g(x)(x0), h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论讨论h(x)h(x)零点的个数零点的个数. .41)(3 axxxf)0 ,(0 x 0)( 0)
12、(00 xfxf 0304120020axaxx21,430 xa43 a(2)(2)当当x1x1时时,g(x)=-lnx0,g(x)=-lnx0,从而从而h(x)=h(x)=minf(x),g(x)minf(x),g(x)g(x)0g(x)0 故故h(x)h(x)在在 无零点无零点. .),1( 当当x=1x=1时时, ,若若 , ,则则f(1)=f(1)= h(1)= h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,x=1minf(1),g(1)=g(1)=0,x=1是是h(x)h(x)的一个零点的一个零点 若若 , ,则则h(1)=f(1)0,h(x)h(1)=f(1)0,h(x)无零
13、点无零点. .45 a045 a45 a38当当0 x10 x0,g(x)0无零点无零点, ,只需考虑只需考虑f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)上的零点个数上的零点个数. . ( ()当当a0a0时时, , ,f(x) ,f(x)在在(0,1)(0,1)单单调递增且调递增且f(0)0f(0)0 故故f(x)(0,1)f(x)(0,1)上无零点上无零点. . ( ()当当a-3a-3时时, , , f(x) , f(x)在在(0,1)(0,1)单调递减单调递减 且且 ,f(x) ,f(x)在在(0,1)(0,1)内仅有一个零点内仅有一个零点. . axxf 23)( 03)( 2 axxf
14、03)( 2 axxf045)1(, 041)0( aff ( ()当当-3a0-3a0,f(x) ,f(1)0,f(x)在在(0,1)(0,1)内有内有两个零点两个零点当当 时时,f(1),f(1)0,f(x)0,f(x)在在(0,1)(0,1)内有一个零点内有一个零点. . 40已知函数已知函数 )0,()(23aRxxbxaxxf且当且当x=1x=1和和x=2x=2时函数取得极值（时函数取得极值（1 1）求函数的解析式）求函数的解析式（2 2）若曲线）若曲线 )(xfy与与 ) 02(3)(xmxxg有两个不同的交点，求实数有两个不同的交点，求实数m m的取值范围的取值范围4 4、41真真 题题 感感 悟悟2022-6-6422022-6-6432022-6-6442022-6-645
