1、2022年6月6日星期一1一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 第二章 2定义由二元方程由二元方程)(xfy 0),( yxF)(xfy 1. 隐函数的定义)(xyy 所确定的函数0),( yxF一、隐函数的导数称为隐函数(implicit function).的形式称为显函数.隐函数的013 yx可显化为函数;13xy 例),10(sin yxy开普勒方程开普勒(J.Kepler)1571-1630德国数学家,天文学家.xy关于关于的隐函数客观存在,但无法将yx表达成的显式表达式.显化.32. 隐函数求导法
2、隐函数求导法则 用复合函数求导法则,并注意到其中将方程两边对x求导.变量y是x的函数.隐函数不易显化或不能显化 如何求导2022年6月6日星期一4隐函数求导方法求导方法: : 0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y.0 1dxdyyexyey的导数所确定的隐函数求由方程例yexydxdy,求导方程两边对 x解解0ydxdyxdxdyey)(xyy 注意5 虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.允许在 的表达式中含有变量y.y y 一般来说,隐函数求导, 求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中
3、解出即可.于是y的函数便是x的复合函数,的方程.y是x的函数,6.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解得得求导求导方程两边对方程两边对,x04433 yyyxyx解得xyxyy 3344得得求导求导两边再对两边再对将将,4433xxyxyy yy )4(3xy )12(2xy )4(3xy ;41 )1 ,0(y )1 ,0(.161 23)4(xy )112(2yy2022年6月6日星期一7例例2.)0 , 0(, 02357处的值在点求设yyyxx 解解求导得方程两边对 x05212146yyyx得代入0, 0yx;2100 yxy求导得两边再对将上方程x05
4、)(2021264235 yyyyyx得2100yxy, 0, 0yx代代入入.000 yxy2022年6月6日星期一8例例3. 求椭圆求椭圆191622yx在点在点)3,2(23处的切线方程处的切线方程.解解: : 椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx练习练习解解在题设方程两边同时对自变量在题设方程两边同时对自变量x求导求导, , 得得解得解得求由方程求由方程所确定的函数所确定的函数1ln yxy在点在点处的切线方程处的切线方程. .)(xfy )1 , 1(M01 yyxyy12 xyyy在点在点
5、处处)1 , 1(M1111211 yxy21 于是于是, , 在点在点处的切线方程为处的切线方程为)1 , 1(M)1(211 xy即即. 032 yx2022年6月6日星期一10对数求导法对数求导法1.方法方法:2. .适用范围适用范围: :先在 两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出y的导数.)(xfy 适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数.例如幂指函数：)0)()()( xuxuyxvuuvuvyy ln1 )()()()(ln)()( )(xuxuxvxuxvxuyxv 所所以以uvylnln 先先两两端端取取对对数数两端对两端对x求导：求导：2022年6月6日星期一11例
6、例.解解.),0(sinyxxyx求设等式两边取对数得xxylnsinln求导得两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx)1sinln(cos )ln(sin)(lnsinlnsinlnsinxxxxexxeeyxxxxxx)sinln(cossinxxxxxx也可这样求:2022年6月6日星期一12例例.解解等式两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy求导得上式两边对x4131)2(11121xxxxyy.,)4)(3()2)(1(yxxxxy求设4131)2(111)4)(3()2)(1(
7、21xxxxxxxxy2022年6月6日星期一13另例另例)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t),()(1x
8、ttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),(ttytx且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?由于思考与讨论思考与讨论: :则2022年6月6日星期一17若上述参数方程中若上述参数方程中)(, )(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(
9、ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得例例.解解dtdxdtdydxdytatbsincosabdxdyt 4处的切线方程在求椭圆4sincosttbytax.22,22,4byaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)22(22axabby 02abaybx即例例求由摆线的参数方程求由摆线的参数方程 )cos1()sin(tayttax所表示的函数所表示的函数的二阶导数的二阶导数. .)(xyy t一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线摆线解解 )cos1()sin(taytt
10、axdtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin ),2(Znnt dxdydxddxyd22 ttdxdcos1sindtdxttdtd1cos1sin 2)cos1(1)cos1(1cos11tatat 练习：练习：解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 2022年6月6日星期一22例例. 抛射体运动轨迹的参数方
11、程为抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时刻求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向. 解解: : 先求速度大小:速度的水平分量为,dd1vtx垂直分量为,dd2tgvty故抛射体速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 则yxo2212tgtvy2022年6月6日星期一23抛射体轨迹的参数方程抛射体轨迹的参数方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 0tan令达到最高点的时刻,2gv
12、t 高度ygv2221落地时刻,22gvt 抛射最远距离xgvv212速度的方向yxo2vt g22vt g三、相关变化率三、相关变化率.,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而变量都是可导函数都是可导函数及及设设dtdydtdxyxtyytxx 相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?2022年6月6日星期一25)(, )(tyytxx为两可导函数yx ,之
13、间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率2022年6月6日星期一26例例. 一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升处离地面铅直上升, ,其速率为其速率为,minm140当气球高度为当气球高度为 500 m 时时,观察员观察员视线的仰角增加率是多少视线的仰角增加率是多少? 500h解解: :设气球上升 t 分后其高度为h ,仰角为 ,则tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001已知,minm140ddth h = 500m 时,1tan22tan1sec,2sec2tdd14050012114. 0)minrad/(2022年6月6日星期一27思考题思考题: :当气球升至当气球升至500 m 时停住时停住, ,有一观测者以有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来的速率向气球出发点走来,当当距离为距离为500 m 500 m 时时, 仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少 ?提示提示: : tanx500对 t 求导2sectddtxxdd5002已知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求
