1、第十四章第十四章 虚位移原理虚位移原理14-1基本概念14-2虚位移原理14-3虚位移原理的应用14-4讨论与结论 研究对象质点系的平衡问题 （质点、刚体、刚体系是质点系的特例）1、约束方程 把对质点系位置或速度的限制条件用数学方程表示，此方程为约束方程。yxM (x,y)oL222xyL摆杆为刚性杆222xyL摆杆换为不可伸长的柔索摆长长度可变222( )xyL t14-1基本概念2、约束方程的类型 完整约束与非完整约束 （关于约束方程中是否包含坐标对时间的导数） 单侧约束与双侧约束 （关于单侧方向或者双侧方向限制质点运动的约束） 定常约束与非定常约束 （关于是否显含时间t的约束） 3、自由
2、度与广义坐标 广义坐标 确定系统位置的独立参数为广义坐标。 自由度 对于双侧完整约束的 质点系，确定系统位置的独立坐标数为系统的自由度数。 k = 3n - syxM1M212曲柄滑块机构自由度为1四连杆机构自由度为1纯滚动的圆轮自由度为 1 M1M2xyv4、虚位移 给定瞬时，质点、质点系约束所允 许的任何无限小的位移, 称为质点或质点系的虚位移。r1r2r5、虚功 作用在质点或质点系上的力在虚位移上所作的功称为虚功。6、理想约束 质点或质点系的约束力在虚位移上所做虚功之和为零的约束称为理想约束。WFr0NFNWFrFNrFNrFNF 具有双侧、定常、完整、理想约束的质点系，其具有双侧、定常
3、、完整、理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：该质点系所有主动力在平衡的充分必要条件是：该质点系所有主动力在任何虚位移上所做虚功之和为零。任何虚位移上所做虚功之和为零。证明： 必要条件的证明 即：若质点系平衡，主动力的虚功之和必为零。 因为：质点系平衡，所以每个质点必平衡。 所以有：01, 2,iN iFFin 14-2虚位移原理给定一组虚位移 充分条件的证明 反证法 设质点系不平衡，但质点系的主动力虚功之和为零。 对于不平衡质点，有：则有：()0iN iiFFr0NiiFr因 为 ： 0iiFr所以：110NFF11()0NFFr质点由静止进入运动质点由静止进入运动因为质点系是理想约束，
4、所有约束反力的虚功之和为零。所以：即：若质点系不平衡，质点系所有主动力的虚功之和将不为零。充分性、必要性得证。虚位移原理的数学表示虚位移原理的数学表示 虚功方程：0iiFr0iiFr()0ixiiyiiziFxFyFz1 、各质点虚位移关系的确定（1）分析法建立坐标系用广义坐标写出各个质点的坐标对各个质点的坐标求变分自由度数与独立变分数相同14-3虚位移原理的应用以曲柄滑块机构为例单自由度机构 以为广义坐标写出 各个质点的坐标。rlABxycosAxrsinAyrcoscosBxrlsinsinlrsinAxr cosAyrsinsinBxrl coscosrl(sincos )rtg 首先画
5、出各点的虚位移按速度的关系确定虚位 移的关系（2）几何法（虚速度法）各点虚位移之比等于虚速度之比 rvdt因为： AABBrvrv所以： rlAB1r2r12 ABrvrv cos90()cosABvv12cossin()rr例、求平衡时主动力P与Q之关系AC=CF=BC=EC=ED=FD= l解：建立坐标系xyQPABCDEF2 cosAyl3 sinDxl2 sinAyl 3 cosDxl () 0ixiiyiizF xFyF z虚功方程：0ADQ yP x 1.5QctgP得：例、求压榨机构的压榨力例、求压榨机构的压榨力P P已知：M=50Nm OA= r =0.1m BD=CD=ED=
6、l=0.3m OAB=900 =150解：给出各点的虚位移oABCDEMPrArDrCrB建立虚功方程0cMP rccPMrvcctgvr建立虚位移的关系： 1866MPctgNr得：例、均质杆例、均质杆ABAB长长2l2l，一端靠在光滑的铅垂墙壁上，另一一端靠在光滑的铅垂墙壁上，另一端放在固定光滑曲面的端放在固定光滑曲面的DEDE上。欲使杆能在铅上。欲使杆能在铅 垂平面任何垂平面任何位置上平衡，曲面位置上平衡，曲面DEDE应是什么曲线应是什么曲线? ?解：1、分析此问题的特点， 因为：作用在杆上的主动力只有杆的自重， 平衡时其虚功为零。 所以：重力与其作用点的虚位移必相互垂直 。 故可以判断
7、质心只能有水平方向的虚位移。 2、建立直角坐标系并写出A点的坐标DE为椭圆曲线ABPxyo2 sinylcosxl 虚位移原理求内力虚位移原理求内力例、求桁架结构中1杆的约束力(杆长为a)解：解除 1杆约束，用反力代之1ABGHEFDPP确定各点的虚位移1rGrErFrH1Era 12Fra 1GrA G 12FHrraaaS1S1代入求解得：1ABGHEFDPP建立虚功方程1rGrErFrH011cos60cos300EFGHP rP rSrSr11.15SP S1S1例、求复合梁的约束反力例、求复合梁的约束反力已知：已知：P1 = 5 kN, P2 = 4 kN, P3 = 3 kN, M
8、 = 2 kN.m 画出虚位移图 解除固定端约束MAFAy 建立虚功方程 123230AMPPPMP1P2P3M2m 1m 2m 1m3m12311033AyAAAAAFyP yPyMyP y7AMkNm4AyFkNmyA 求链杆约束处的约束反力 232630BPPMFP1P2P3M2m 1m 2m 1m3m8BFkNm分布力q的虚功计算FBACB以广义力表示的虚功方程以广义力表示的虚功方程 主动力的坐标用广义坐标表示 (q1 q2、 qk ) k=3n-s ()0ixiiyiiziFxFyFz12()iikxx q qq12()(1 )iikyy q qqin12()iikzz q qq 主
9、动力作用点坐标的变分31nsiikkkxxqq31nsiikkkyyqq31nsiikkkzzqqQk为广义力为广义力 虚功方程3331111()nnsnsnsiiiixkiykizkikkkkkkxyzWFqFqFqqqq311110nsnnniiiixiyizkkiiikkkxyzFFFqqqq 1110nnniiikixiyiziiikkkxyzQFFFqqq310nskkkQq虚 功 方 程 为 ： 因为每一个广义坐标的变分是独立的，所以虚功方程等因为每一个广义坐标的变分是独立的，所以虚功方程等价于价于k 个广义力分别等于零。个广义力分别等于零。（2）、根据定义计算 给质点系一组广义虚
10、位移 qk0 ， qj= 0 ， jk 广义力的计算（1）、直接根据公式计算01 3kQkns111nnniiikixiyiziiikkkxyzQFFFqqq1nikkWQq对于保守系统， 广义力等于零是具有双侧、定常、完整、理想约束质点系平衡的充分必要条件。kkUQq 22d Udq当： 0系统处于稳定平衡状态22d Udq当： 0系统处于不稳定平衡状态例、双摆摆长分别为l1与l2,质量分别为m1与m2。在摆端作用一水平力F。求平衡时双摆的位形。解：双摆的自由度数是2 选择广义坐标1，2 计算广义力第一组虚位移（102=0）第二组虚位移（ 1 =0 2 0）yxAB12Fmg1mg2 计算广义力 Q1（102=0）yxAB12Fmg1mg2yxAB121111211111111(0.5)sin()sin()cosm glm g lF lQ121111(0.5)sincosmmglFl 计算广义力 Q2（ 1 =0 2 0）yxAB12yxAB12Fmg1mg2222222222(0.5)sin()cosm glF lQ222220.5sincosm glFl 令广义力等于零，1121111(0.5)sincos0QmmglFl 1222220.5sincos0Qm glFl 可得系统平衡位形：1122arctan()2Fm gm g222arctan()Fm g
