1、 4.3.2函数的极大值和极小值一、基础达标1.函数yf(x)的定义域为(a，b)，yf(x)的图象如图，则函数yf(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有()A1个B2个C3个D4个答案A解析当满足f(x)0的点，左侧f(x)0，右侧f(x)0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点2“函数yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析对于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0处取极值，反之成立故选B.3若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1
2、处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9答案D解析f(x)12x22ax2b，f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，ab6.又a0，b0，ab2，26，ab9，当且仅当ab3时等号成立，ab的最大值为9.4函数yx33x29x(2x2)有()A极大值5，极小值27B极大值5，极小值11C极大值5，无极小值D极小值27，无极大值答案C解析由y3x26x90，得x1或x3，当x1或x3时，y0，当1x3时，y0.故当x1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值5函数f(x)x33ax23(a2)x3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_答案(，1)(2，)解析f(x
3、)3x26ax3(a2)，令3x26ax3(a2)0，即x22axa20，函数f(x)有极大值和极小值，方程x22axa20有两个不相等的实数根，即4a24a80，解得a2或a1.6若函数yx33axa在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是_答案(1,4)解析y3x23a，当a0时，y0，函数yx33axa为单调函数，不合题意，舍去；当a0时，y3x23a0x，不难分析，当12，即1a4时，函数yx33axa在(1,2)内有极小值7求函数f(x)x2ex的极值解函数的定义域为R，f(x)2xexx22xexx2exx(2x)ex，令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)
4、的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)04e2由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且为f(0)0；当x2时，函数有极大值，且为f(2)4e2.二、能力提升8已知函数f(x)，xR，且在x1处，f(x)存在极小值，则()A当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0B当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0C当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0D当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0答案C解析f(x)在x1处存在极小值，x1时，f(x)0，x1时，f(x)0.9(2013福建)设函数f(x)的定义域为R
5、，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点答案D解析x0(x00)是f(x)的极大值点，并不是最大值点故A错；f(x)相当于f(x)关于y轴的对称图象的函数，故x0应是f(x)的极大值点，B错；f(x)相当于f(x)关于x轴的对称图象的函数，故x0应是f(x)的极小值点跟x0没有关系，C错；f(x)相当于f(x)关于坐标原点的对称图象的函数故D正确10.如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间内单调递增；函数yf(x)在区间内单调递减；
6、函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2时，函数yf(x)有极小值；当x时，函数yf(x)有极大值则上述判断正确的是_(填序号)答案解析函数的单调性由导数的符号确定，当x(，2)时，f(x)0，所以f(x)在(，2)上为减函数，同理f(x)在(2,4)上为减函数，在(2,2)上是增函数，在(4，)上为增函数，所以可排除和，可选择.由于函数在x2的左侧递增，右侧递减，所以当x2时，函数有极大值；而在x的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x的左右两侧均为增函数，所以x不是函数的极值点排除和.11已知f(x)x3mx22m2x4(m为常数，且m0)有极大值，求m的值解f(x)3x2mx2
7、m2(xm)(3x2m)，令f(x)0，则xm或xm.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，m)mmf(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(m)m3m32m34，m1.12设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？解(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，则x或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是fa，极小值是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正
8、数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，所以曲线yf(x)与x轴至少有一个交点由(1)知f(x)极大值f a，f(x)极小值f(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0或f(x)极小值0，即a0或a10，a或a1，当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点三、探究与创新13(2013新课标)已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.(1)解f(x)ex.由x0是f(x)的极值点得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x)ex.函数f(x)ex在(1，)单调递增，且f(0)0，因此当x(1,0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0.所以f(x)在(1,0)单调递减，在(0，)单调递增(2)证明当m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当m2时，f(x)0.当m2时，函数f(x)ex在(2，)单调递增又f(1)0，f(0)0，故f(x)0在(2，)有唯一实根x0，且x0(1,0)当x(2，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而当xx0时，f(x)取得最小值由f(x0)0得ex0，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x00.综上，当m2时，f(x)0.
