1、经济类核心课程计量经济学PowerPoint Presentation by Lu Shiguang 2012 All Right Reserved, Hunan Institute of Engineering第四章 线性回归模型的矩阵方法教师：卢时光本章介绍用矩阵代数符号来表示经典线性回归模型。本章除矩阵模型之外，不涉及新概念。矩阵代数最大的优越性在于，它为处理任意多个变量的回归模型提供了一种简洁的方法。本章需要具有行列式和矩阵代数的数学基础，请各位同学自行复习相关知识。在本章的讲授过程中所遇到的有关矩阵计算的定理和结论，不再一一证明，请自行参考有关书籍。4.1 k变量的线性回归模型如果我
2、们把双变量和三变量的回归模型进行推广，则包含应变量Y和k-1个解释变量X2，X3，Xk的总体回归函数（PRF）表达为：其中，1截距， 2 到k是偏斜率（回归）系数，u是随机干扰项，i是第i次观测，n为总体大小。总体回归函数如同以前那样解释：给定了X2，X3，Xk的固定值（在重复抽样中）为条件的Y的均值或期望值。PRF还可以表达为：niuXXXYikikiii, 2 , 1 33221nknknnnkkkkuXXXYuXXXYuXXXY3322122323222121131321211上述表达式，如果写出矩阵的形式：这样，我们把下述方程表达称之为：一般（k变量）线性模型的矩阵表现：如果矩阵和向量
3、的各个维数或阶不会引起误解，则可以简单写作：y ：对应变量Y观测值的n1列向量。X：给出对k-1个变量X2至Xk的那次观测值的nk矩阵，其全为1的列表示截距项。此阵又称为数据矩阵。：未知参数1 到k的k1列向量。u ： n个干扰ui的n1列向量。uXY 1112121222212121nnknnkknuuuXXXXXXYYY111 nkknnuXYuXY 4.2 经典回归模型的假定的矩阵表达1. 残差期望为零2. 同方差性和无序列相关性u是列向量u的转置或者一个行向量。做向量乘法：0)(iuE000)()()()(2121nnuEuEuEuuuEE u) (2121nnuuuuuuEEuu由于
4、同方差性和无序列相关性，我们得到干扰项ui的方差-协方差矩阵。此阵的主对角线（由左上角到右下角）上的元素给出方差，其他元素给出协方差。注意方差-协方差矩阵的对称性。其中I是一个恒等矩阵。Iuu2222222122212121212212221212121100010001000000)()()()()()()()()()(nnnnnnnnnnuEuuEuuEuuEuEuuEuuEuuEuEuuuuuuuuuuuuuuuEE3.X是非随机的。我们的分析是条件回归分析，是以各个X变量的固定值作为条件的。4.无多重共线性无多重共线性是指矩阵X是列满秩的，即其矩阵的秩等于矩阵的列数，意思是，X矩阵的列
5、是线性独立的。存在一组不全为零的数12k，使得：用矩阵来表示：5.向量u有一多维正态分布，即：02211kikiiXXX0X),(2I0uN4.3 OLS估计我们先写出k变量样本回归函数：如同前面的分析，我们也是从残差平方和的最小化来进行的：uXy33221用矩阵来表达：ikikiiiuXXXY22222121212332212)(innnkikiiiiuuuuuuuuuuXXXYuuuuu最小化：等于求用矩阵来表达，为了使得残差平方和 尽可能的小，我们仍然是对参数1 到k微分，并令微分的结果表达式为零，同样得到最小二乘理论的正则方程：k个未知数的k个联立方程。为其自身；（实数）其转置为一标量
6、以及；这里用到矩阵的性质：XyyXXXXXyXyyXyXyuuXyu)(2)()(2iu0)( )(20)( )(20) 1( )(2211222112221112kikikiikiikikiiikikiiiXXXYuXXXYuXXYu整理后：注意(XX)矩阵的特点：1.主对角线是元素的平方和；2.因为X2i与X3i之间的交叉乘积就是之间X3i与X2i的交叉乘积，因此矩阵的对称的；3.它的阶数是（kk），就是k行与k列。y X X)(X 1112121222212123223222232233221223232222133221nknkknkkiikiikikikiiiiiikiiiikiki
7、kikiikikiiikiikiiiiikikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXnYXXXXXXXYXXXXXXXYXXXn写出矩阵的形式：上述方程是用矩阵符号来表示的OLS理论的一个基本结果。上述方程也能够通过uu对的微分直接求得，请大家自行参考相关文献。yXX)(XyXX)(XIIX)(XX)(XyXX)(XX)(XX)(XX)(XX)(XyXX)(X1 -1 -1 -1 -1 -1 -或阶的恒等矩阵，故得：为存在，用它前乘两边：的逆矩阵，因此，如果未知量是更为简洁地：kk一个例子： 收入-消费0.507924.454520550011100.00003030.00515
8、2-0.005152-0.975760.00003030.005152-0.005152-0.97576)(2055001110)(3220001700170010)(1111)( 1 1 1 11111)(211 -321321232132121XXyXXXyXXX根据矩阵求逆法则：，带入数据：iiinniiinnYXYYYYYXXXXXXXnXXXXXXXXY1X7080651009012095140110160115180120200140220155240150260 的方差-协方差矩阵矩阵方法不仅能使我们导出 的任意元素 的方差公式，还求出 的任意两元素 和 的协方差。我们需要用这些
9、方差和协方差来做统计推断。定义：参考相关资料，上述方差-协方差矩阵可以从下述公式计算：jii)var(),cov(),cov()var(),cov(),cov(),cov()var()cov(var)()()cov(var122121211kkkkEEE12)()cov(varXX其中 是ui的共同方差，而 就是出现在OLS估计量方程中的逆矩阵。和前面一样， 用其无偏估计量 来替代： 的计算原理上 可以从估计的残差中算出，但实践中更愿意按照下述方法直接得到。回顾：21)(XX22knknuiuu 22uu uu kiikiiiiiiiiiiiiiixyxyyuxyxyyuxyuESSTSSuK
10、RSS2222332222222222变量模型，有：推广到在三变量回归模型中：在双变量回归模型中：）（ 一项被称为均值校正值。因此：一旦得到 则 就容易计算。回到我们的例子中：22222:YnxyxyESSYnyTSSkiikiiiyXyy用矩阵符号来表示：2YnyXyyuuuu 21591.4283737.337373.33720550011105091. 04545.241321002knuuuu4.4 用矩阵来表示判定系数R22222332222332222222222/RYnYnRyxyxyxyRkyxyxyRyxRTSSESSRikiikiiiiiiiiiiiyyyX利用前面的分析：
11、变量的情形：得到推广到在三变量回归模型中：在双变量回归模型中：定义为：判定系数9224. 0123210 132100831.131409 20550011105079. 03571.242222YnYnRYnyyyXyyyX利用前面的例子：4.5 关于个别回归系数的假设检验的矩阵表达我们曾经假设每一个ui都服从均值为0和不变方差的正态分布。用矩阵符号来表示，为：其中，u和0都是n1列向量，I是nn恒定矩阵，0是零向量。在k阶回归模型中，我们可以证明：由于实际的 未知，我们使用估计量 ，就要用到从正态分布到t分布的的转换，这样 每一个元素都遵循n-k个自由度的t分布。利用t分布来检验关于真值
12、的假设，并建立它的置信区间，具体的方法我们在前面已经讨论过，这里不再重复。),(2I0uN)(,12XXN22)(iiiset4.6 检验总体回归的总显著性：用矩阵表示的方差分析方差分析（ANOVA）用以（1）检验回归估计的总显著性，即检验全部（偏）回归系数同时为零的虚拟假设。（2）评价一个解释变量的增量贡献。方差分析很容易推广到k变量情形。假定干扰ui是正态分布的，并且虚拟假设：则可以证明：是服从自由度为（k-1, n-k）的F分布。0:320kH)/()() 1/()(2knkYnFyXyyyX在前面的讨论中，我们发现F与R2之间存在紧密联系，因此，上面的方差分析表还可以表达为：这么做的好处是全部分析都通过R2来进行，这样我们不需考虑F变量中被消掉的 。)/()1 (2knR/(k-1)RF2)(2Ynyy小结本章的主要目的是介绍线性回归模型的矩阵方法。矩阵方法的优点是在处理多变量线性回归模型的时候，提供了一种简洁的表达方法。回归系数的假设检验和利用回归做均值预测、个值预测的方法和前面讨论的没有差别，具体方法请回顾以及学习过的知识。
