1、20XX年度本科生毕业论文（设计）小学数学模型思想培养的案例研究院 系： 教师教育学院基础教育系 专 业： 小学教育（理科） 年 级： XX 学生姓名： XX 学 号： XXX 导师及职称： XX（副教授） 20XX年4月2015Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate Case studies of elementary mathematical model of ideological trainingDepartment:Teacher Education - Basic Education Depar
2、tmentMajor:Primary Education (Science)Grade:2011Students Name:Bao XuefeiStudent No.:201101100138Tutor:Li Yulong (Associate Professor)April , 2015毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 保雪飞 日期：
3、毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解XX学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名：日期： 日期： 毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注组长XX学院本科毕业论文（设计）摘 要在现实世界里数学模型普遍存在，小学数学课程标准中提到学生感悟和了解数学与外部现实世界联系的桥梁是模型思想。模型思想对小学数学
4、教育有很多的益处，如何培养小学数学模型思想是有关工作人员和一线教师必须关注的问题。在小学阶段培养学生的模型思想，有利于提高学生的数学学习兴趣，并开启学生的数学思维。本研究以小学数学模型案例为例，探索数学模型思想的培养策略。关键词：小学；模型思想；数学模型；模型案例；策略ABSTRACTIn the real world math mathematical model everywhere, elementary school mathematics curriculum standards, stressed the idea is to bridge the model student pe
5、rception and understanding of mathematics and the real world outside contact. Model of elementary mathematics education idea has a lot of benefits, how to train primary thought is about the mathematical model of staff and classroom teachers must be concerned. Training students at the primary stage o
6、f model thinking, help to improve students interest in learning, and open students mathematical thinking. In this study, elementary mathematical model case, for example, to explore the idea of training policy mathematical model.Keyword: Primary; Mathematical model; Model thinking model case; Strateg
7、y目 录一、绪论1（一） 研究的目的及意义11. 研究的目的12. 研究的意义1（二) 国内外的相关研究综述11. 国内研究现状12. 国外研究现状2（三) 研究的思路与方法31. 研究的思路32. 研究的方法3（四） 相关概念的界定31. 小学数学模型思想的内涵32. 概念之间的区别与联系4二、 小学数学模型与典型案例分析5（一） 小学数学模型的分类5（二） 典型案例分析51. 方程模型（笼问题）52. 关系模型（行程问题、追及问题）63. 几何模型（体积问题）64. 集合模型75. 概率模型（可能性的大小）7三、 小学数学模型思想的培养策略9（一）创设问题情境9（二）让学生经历建模活动的过
8、程9（三）创新学习方式9（四）采用多元化和多样化的评价形式10（五）在教学中渗透数学模型思想10四、 总结与反思11（一） 总结11（二）反思11参考文献12致 谢13XX学院本科毕业论文（设计）一、绪论（一） 研究的目的及意义1. 研究的目的义务教育数学课程标准（2011年）明确提出了“应当注重发展学生的模型思想。” 中华人民共和国教育部.义务教育课程标准（2011 年版）.S.北京：北京师范大学出版社.2012.同时也提出了模型思想的基本观念和意义，并阐明了数学模型思想的重要性。模型思想是数学教学必须渗透的思想方法之一，而它与传统数学又有所不同得，在新课程改革中它要求学生必须参与到数学建模
9、的过程当中。为了提高教学质量和学生的数学素养形，教师不能是将公式、规则强行的加给学生，应让学生自己去经历建模的过程从而累积数学模型思想。2. 研究的意义1、教师能更深入的思考数学模型思想，在学生模型的构建过程中能更清晰的指引，使数学模型思想渗透到课堂当中。2、在研究的基础上论述培养数学模型思想的有关要求，为教师在今后的教学中渗透模型思想提供一些指导。3、数学模型思想的作用与意义不仅在于解决一般性问题 ，更重要的在于推动数学学科的不断发展。运用模型思想进行创新，会有不一样的发现，最终达到培养现代化社会需要的创新型人才。（二) 国内外的相关研究综述1. 国内研究现状在我国20世纪60年代初，有一些
10、思想开放的数学家进行了一系列有关“数学建模”的演讲，虽然在那时并不是很明确的使用“数学建模”这一名称，但数学家们有意识地经过数学讲座和数学竞赛向学生介绍用数学模型的思想来解决实际问题。早在1982年就出现了有关数学建模的文章，张景中教授在中学数学第一期刊登的“洗衣服的数学”。 周燕.小学数学教学中数学模型思想的融入D.上海师范大学，2013在数学建模研究的领域里，还有一位比较有影响力老师是在北京大学附属中学任教的张思明老师，张老师将自己的教学经验与数学建模相结合，从教学的第一手资料出发，著有中学数学建模教学的实践与探索、数学课题学习的实践与探索等建模思想的资料，给每一位一线的数学教师提供了一些
11、很好的数学建模的学习资料，在数学建模教学中做出了一定的贡献。张宏伟在探讨小学数学模型思想及培养策略中提到了运用数学模型思想提高课程质量的有效策略：正确认识数学模型思想，合理运用理论联系实际的方法。模型思想的应用和引入可以有效转变教学方式，提高学生参与课堂的积极性，激发学生自主学习的兴趣和意识，对自主能动性进行充分利用的重要措施。郭霞在在小学阶段进行数学建模的探索中提到，在小学进行数学建模，首先应将数学模型思想适时地渗入到常规的数学课堂教学中，深化数学问题，让学生所学到的知识更完善。然后，再举办一些与数学建模有关的专题课，让学生了解建模的一些基础知识，并体验建模的过程。最后在组织一些数学建模的课
12、外活动。 郭霞.在小学阶段进行数学建模的探索J.中小学教育，2009（7）.王红平在小学课堂中建构数学模型思想的策略研究中提到小学数学模型思想的建构过程是一个综合性的过程，是一个数学能力和其他能力的协同开发的过程。费岭峰在数学模型思想及其教学策略初探一文中提到在从“境”到“型”的过程，是帮助学生理解感知数学模型结构化、简单化的必要条件。 费岭峰.数学模型思想及其教学策略初探J.小学教学研究,2013数学模型思想是小学数学的核心概念之一，它应该与“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、应用意识以及创新意识”等一起去发展，需要一线教师在小学数学教学中进行适时恰当的培
13、养。2. 国外研究现状在全国第四届数学建模教学及应用会议的会议录叙言中就提：“到数学应用、模型和建模已经越来越受人们的关注。不管是从教育、科学、社会、文化的观念来看，还是从其他角度出发，这些方面已被广泛的认为是重要的决定因素。” 赵林.国外中学数学建模教学情况概述J.课程教材教法，1995（8）.美国在1998年的“人人关心的大事就数学教育的未来向国家提出的报告”中，把中学数学建模加到了数学教育改革最急需的项目当中。 周贝隆.从美日韩教育改革看世界教育改革的焦点培养创新能力J.科技导报.1998(6)在COMAP主办的杂志CONSORTIUM上可以看到一些有关数学建模的优秀文章。除此之外，还有
14、一些学者对模型思想作出了相关的研究如由COMAP著,申大为翻译的数学的原理与实践；James（杰姆斯）著，李玉琪编译的数学建模等。 周燕.小学数学教学中数学模型思想的融入 D . 上海师范大学.2013综上所述，我们可以知道我国的义务教育数学课程标准（2011年）强调课程目标从“双基”拓展到“四基”，它突出了数学基本思想这一课程目标的重要性。模型思想是重要思想数学基本思想，它体现了数学的工具性和应用性价值。 教育部基础教育课程教材专家工作委员会，义务教育数学课程标准解读，北京师范大学出版社，2012研究小学数学模型思想，对于变革小学数学教学方式，提升小学生数学素养具有很重要的意义。本研究是先对
15、小学数学模型思想的类型进行分析，然后选取能体现数学模型思想的几个典型案例并进行分析，以便探索学生在建模活动的过程中的过程模式。最后从创设问题情境、感知建模活动、创新学习方式、改变评价方式等几个方面提出培养小学数学模型思想的策略。（三) 研究的思路与方法1. 研究的思路1、首先梳理与数学模型思想相关的一些概念，然后分析小学数学模型思想类型，最后选取部分体现数学模型思想的典型案例、实例进行分析。2、从几个不同的方面提出培养数学模型思想的策略。2. 研究的方法1、文献研究法。通过XX学院电子阅览室、XX学院图书室及教师教育学院资料室搜集和查阅与该课题相关的资料，并加分析、总结、概述，形成小学数学模型
16、思想的理论框架和操作体系。2、案例分析法。选取部分体现模型思想的典型案例、实例进行分析，以探索学生建模活动的过程模式。（四） 相关概念的界定1. 小学数学模型思想的内涵1、数学模型数学模型是将具体的属性抽象出来构建成为一种特定的数学关系结构。例如数学中的各种概念、算法、关系、定律、公式等知识都是数学模型。2、小学数学建模构建数学模型的整个过程就叫做数学建模。小学数学建模是指小学数学学习中，运用数学思想方法、数学言语将生活中的实际问题抽象为数学问题，然后进行求解、最后验证并应用，体现“生活数学生活”的发展过程。3、数学模型思想数学模型思想是一种数学思想方法。是指针对数学问题构建与之相应的数学模型
17、，再通过对数学模型的研究（建模过程的研究）来解决实际问题的一种数学思想。2. 概念之间的区别与联系（1）数学模型与数学建模“模型”(model)是“建模”(modeling) 的结果，而“建模”是建立模型的过程。model是名词，是指建立起来的模型,强调的是“结果”。而modeling是model的动名词，是指建立模型的过程，而在建立数学模型的过程中，过程比结果更重要。数学模型思想和数学建模有着密切的联系，换言之，只要有数学建模的地方，就有数学模型思想。在小学数学教学中，如果把一些数学概念、命题、原理、公式、定理、数量关系等看做是数学模型的话，那么在建立这些概念、命题、原理、公式、定理、数量关
18、系的过程中就隐含了模型的思想。（2）模型思想与模型教学模型思想是对要解决的数学问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。模型教学是以培养模型思想和建模能力为目的的教学方式和基本途径，模型教学的本质是教师引导学生开展的建模活动。模型思想在小学数学课堂教学中才能更好的得以体现。11XX学院本科毕业论文（设计）二、 小学数学模型与典型案例分析 （一） 小学数学模型的分类数学模型的分类方式有很多种，划分的主要方法是根据数学模型的性质和建立数学模型方法的不同来划分的。按数学模型的来源可划分为理论模型和经验模型；根据该地区的数学模型可分为经济模式、生态模型、人口模型、
19、交通流模型等；根据数学工具的使用数学模型可以分为函数模型、方程模型、三角模型、几何模型、概率模型；根据设计变量的数学模型可分为离散模型和连续模型；按照数学模型的功能可分为描述性模型和解释性模型。而在小学数学模型中最重要的模型是描述性模型和解释性模型。从描述性数学模型来分类，又可以分为确定性的数学模型、随机性数学模型和模糊数学模型。确定性的数学模型用方程式、关系式等来表示。小学的数学模型基本上都属于这一类型。例如，计算长方体的体积、圆锥的体积等。随机性数学模型所对应的对象具有偶然性或随机性。而概率论、随机过程、数理统计方法都是处理随即数学模型的方法。而模糊数学模型所对应的目标具有模糊性。小学阶段
20、的数学模型：方程模型、概率模型、统计模型、运算模型、公式模型、图形模型、空间模型、关系模型、面积模型等。（二） 典型案例分析真正的数学学习是学习深入到“模型”和“建模”的意义上。这种“深入”，是指在小学数学教学中渗透数学模型思想，用数学建模的思想和精神来引导数学教学。 刘勋达. 小学数学模型思想的培养及研究策略 D.华中师范大学，2013而小学数学在课程内容的常规教学和拓展练习中都渗透了构建模型、求解模型的思想方法。在小学数学教材中我们会发现有很多的案例都是模型教学案例，其中综合与实践也是小学数学的课程内容，而这一领域的教学活动也是能反映数学中的模型思想。 小学数学教学中的就有一些有关模型的典
21、型案例。下面我们选取部分案例做具体分析。1. 方程模型（笼问题）一个笼子里共有鸡和兔若干只，从笼子上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，问笼子里鸡和兔各有多少只？分析：“鸡兔同笼“问题是我国古代算书孙子算经中的名题。学生利用方程思想，构建的一元一次方程，就是鸡兔同笼问题的方程模型。在这个模型中：变量是，它代表是兔子的数量；常量是35和94，分别是鸡兔头和脚的总数；利用鸡和兔脚数的不同就构成了该数量关系模型。模型建立起来了，下一步就是求解模型，也就是解方程，最终得出结果：兔有12只，鸡有23只。方程是一种应用比较广泛的数学模型，在数学中有许多的数量关系，它们都可以归结为式的相等关系，成为一种
22、抽象的模型。所以求解模型的思想常用于对方程模型的分析。2. 关系模型（行程问题、追及问题）小明的家距学校600米，每天上学从家步行10分钟到学校。今天早上去了2分钟后才发现忘了带学习工具，立刻回家去取。如果他想按原来的时间到达学校，步行的速度应该是多少？（取东西的时间忽略不计）分析：行程问题是日常生活中较常见的一类模型，由题目知本题是关于时间、速度和路程的问题。根据关系式，可先求出（米），（分钟）。列式为：，解得,所以小明步行的速度为每分钟90米。本题的难点是找到相应的数量构建数学关系模型。3. 几何模型（体积问题）一瓶矿泉水满瓶为350毫升，小林喝了一些，剩余的水都在圆柱形的部分，且剩余水的
23、高度是16厘米。如果把瓶盖拧紧，倒立过来，无水的部分高度为4厘米。那么小林喝了多少水？分析：本题是求水的体积，因为在建模的过程中不知道圆柱的底面积，所以无法用容积公式直接求解。所以就需要换一种思路来构建数学模型，应用已有的数学知识圆柱的体积公式去分析数量关系和空间形式，建立模型v=sh从而解决问题。根据圆柱体的体积公式v=sh，知如果圆柱体的底面积一定，那么圆柱体的体积与圆柱的高成正比，所以可以把求体积的问题转化为比例问题。由于矿泉水瓶的顶部是不规则形状，倒立过来后喝的水就相当于圆柱形瓶子高度为4厘米的水。满瓶矿泉水就相当于这瓶水都装在圆柱形瓶子后，高度为20厘米的水。可设小林喝的水为v毫升，
24、列式为：v:350=4:(16+4)，最后解得v=70，即小林喝了70毫升的水。4. 集合模型某班有50名学生，其中有25人订了小学生数学报，15人订了中国少年报，其中两人同时订阅了这两份报纸，求这两种报纸均未订阅的学生人数。分析：在讲解的过程中，建构集合模型。由集合模型可以得出如下演算方式：订阅了小学生数学报而没有订阅中国少年报的人数为：，故得出两种报纸均未订阅的人数为：。在学生与学生，学生与教师的互动中，建立相应的数学模型。集合模型指的是通过构建几何的模型，通过几何之间的交、差、并、补之间的运算使问题得到解决。5. 概率模型（可能性的大小） 一个盒子里有形状、大小都相同的19个球，其中9个
25、红球3个黄球和7个篮球，每次摸一个球，再放回去摇匀再摸。摸出哪种球的可能性大，哪种球的可能性小？ 分析：教师要求学生摸球的次数要尽可能的多，每次摸完放回摇匀后再摸。然后让学生开始小组合作试验，并要求学生做好实验记录。实验记录表如下：实验记录表 9个红球 3个黄球 7个篮球猜想：摸出（红球）的可能性最大；摸出（黄球）的可能性最小。红球共（26）次黄球共（5）次篮球共（19）次让学生观察统计的数据，总结出结论：数量多的球摸到的可能性大，数量少的球摸到的可能性小。学生通过小组协同合作，在实验中，加强对“可能性的大小与物体数量的多少有关”这一结论的认同。所以，概率模型也应该是学生“创造”出来的，而教师
26、应该为学生的“创造”提供条件。总结以上的模型案例可得出解答数学模型问题的一般步骤：(1)弄清实际问题，并熟悉问题的背景(2)构建数学模型（如：方程模型、图形模型、概率模型、统计模型、几何模型、函数模型、概念模型、数量关系模型等）(3)求解数学模型，并获得数学模型的解答(4)回到实际问题，验证模型，模型的应用（即解释结果)XX学院本科毕业论文（设计）三、 小学数学模型思想的培养策略 （一）创设问题情境数学本身就是源于生活，所以教师要从学生已有的知识经验和生活经验出发，运用多种方式去创设一些能激发学生兴趣的问题情境。创设问题情境是进行建模活动的第一步，只有创设符合前苏联著名心理学家维果茨基的“最邻
27、近发展区”理论(学生认知发展规律），与学生实际生活密切相关的情境，才有利于学生找出数量关系，从而建立数学模型。教师要经常鼓励学生去了解实际生活中的一些数学问题，这样可使学生把复杂的数学问题简单化。 （二）让学生经历建模活动的过程学生亲历建模的过程是他们学会学习，获得主动发展的过程。他们在探索、获得、运用数学模型的过程中,才能更好的体会数学模型思想的内涵。 唐兆. 小学数学模型思想及培养策略研究 J 课程教育研究.2015在课堂教学中，如果教师不愿意花时间让学生亲身体验建模的过程，硬是将结论强加给学生，那么学生的记忆将会僵化，思维得不到扩散，从而会抑制学生的全面发展。让学生亲身经历“问题情境建立
28、模型求解验证”的数学活动过程，体会数学模型思想的本质特征。可帮助学生在活动过程当中掌握相关的知识和技能，并积攒一些有关建模活动的经验，感知模型思想的本质。学生要摘果子只有经历“跳一跳，才能够得着”。（三）创新学习方式随着现代化信息技术高速的发展，将数学模型思想与小组协作式学习方法、开放式学习方法等相结合，通过多媒体教学设备，调动学生建模的积极性，更有利于培养学生的数学模型思想。在义务教育新课标中提倡独立自主、协同合作、探究式的学习方式。长期以来，中国的教学方式是教师在课堂上以传授知识为主，而学生则被视为一个被动接受知识的“机器”。而这样的学习方式它忽略了学生的主动性，不利于培养学生创新精神和实
29、践能力。学生的数学学习活动应当是一个积极主动的、富有挑战性的过程。所以在教学中教师要引导学生进行自主探究、合作交流，建造人人都能懂的的数学模型。在学习过程中学生运用多种学习方式去解决问题，就会发现探索知识的过程是一个充满乐趣的建模过程。（四）采用多元化和多样化的评价形式“多一把尺子，就多一批好学生。”许多好学生是评价的结果。具备什么样的评价观，怎样评估学生，其实也是教师的教育观、价值观、人生观的表现。多样化评价可以激励学生全面发展、持续发展。所以多样化的评价形式是我们当代教师必须具备的。首先，评价内容要多样化。评价的内容要关注学生的知识和技能的收获情况，学生学习的方式方法，以及相应的情感态度价
30、值观等方面的发展。唯有如此，才能培养出适应时代发展需要的创新人才。其次是评价主体要多元化。新课程评价变革重视学生在评价过程当中的主体地位，由单一教师评价学生的状况，过渡到教师的评价与学生的自我评价和家长、社区有关人员评价相结合。然后，评价手段要多样化。鼓励学生建立多元的、总结性的评价内容和评价准则，同时也要注重多样化的评价工具与方法。评价方法、定性与定量相结合，可以有效地描述学生的全面发展，并评估复杂的教育现象。教师要根据学生的特征和需要，灵活地选择多样化的评价方式，并将评价融合在教学过程之中。这样能更好的观察学生在数学知识寻求的活动过程当中所表现出来的数学模型思想。最后，评价形式不一化。即口
31、头、书面和肢体语言语言相结合。口头式的评价是最为常见和实用评价。书面式评价是师生心灵沟通极为有效的一种方法，它很受教师的青睐。体态语言式评价（即眼神、面部表情、动作等）在评价中对学生的全面、和谐发展有着重要的作用。有时教师的一个眼神、一个手势等，都有可能使学生产生共鸣。世界上不可能有完全一样的两片树叶，也找不到每个学生都适应的一种教学方法。因此教师的评价不能只是单一的，要有多样性。（五）在教学中渗透数学模型思想教师要积极带领学生认识模型，构建模型，潜移默化的渗透模型思想，发展模型思维。渗透数学模型思想是促进学生可持续发展的必然要求。 聂勇. 模型思想在小学数学教学中的渗透J ，新课程导学，20
32、14培养学生的数学思维模式是一个长期的过程，教师应该有意识地抓住教育时机，使用适当的方法来促进学生的数学模型思想的形成和发展，促进学生全面发展。XX学院本科毕业论文（设计）四、 总结与反思 （一） 总结通过对本论文的研究和分析，笔者认为在小学阶段进行数学模型思想的培养是非常有必要和有意义的。数学的本质是模型不断发展和丰富的过程。数学的学习只有深入到“模型”和“建模”里，才是一种真正意义上的数学学习。这种“深入”，就是将数学模型思想运用到小学数学教学中，用数学建模的思想和精神来指导教学。教师通过一些具体的问题，引导学生进行观察、分析，建立基本的数学模型，如用字母表示有关的运算定律和性质，总结出路
33、程、速度、时间、单价、数量、总价格的关系式。数学建模一般要经历“创设情境提出假设建立模型求解模型验证模型应用模型”的过程。小学数学课程标准指出：根据学生的实际情况逐步培养学生的数学模型思想。随着小学数学教学中模型思想的渗透，小学教师应积极研究建模的思想方式方法，总结分析数学的基础知识，挖掘建模的重点。注重数学知识和实际生活知识相联系，逐渐渗透建模思想，加深学生对数学模型的理解，使其积极主动地运用数学模型来解决数学问题、现实生活中问题，体现数学知识的应用价值。（二）反思 由于掌握的研究资料有限，本研究有许多的不足之处：1.由于国外的相关文献资料少，所以不能对国内国外研究内容和方法进行对比。2.本
34、研究在对模型思想培养的策略一章运用的理论性不是很强。针对问题的不足，作者期望日后会有更多有关这类研究的资源。 参考文献1中华人民共和国教育部.义务教育课程标准（2011 年版）.S.北京：北京师范大学出版社.20122周燕.小学数学教学中数学模型思想的融入D.上海师范大学.20133郭霞.在小学阶段进行数学建模的探索J.中小学教育.2009（7）4费岭峰.数学模型思想及其教学策略初探J.小学教学研究.20135赵林.国外中学数学建模教学情况概述J.课程教材教法.1995（8）6周贝隆.从美日韩教育改革看世界教育改革的焦点培养创新能力J.科技导报.1998(6)7教育部基础教育课程教材专家工作委
35、员会，义务教育数学课程标准解读，北京师范大学出版社.20128刘勋达.小学数学模型思想的培养及研究策略D.华中师范大学.20139唐兆.小学数学模型思想及培养策略研究J.课程教育研究.201510聂勇.模型思想在小学数学教学中的渗透J.新课程导学.2014致 谢历时将近几个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师李玉龙老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最中心的感谢！感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。 感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我很多的素材，还在论文的撰写和排版等过程中提供热情的帮助。 由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！15
