1、理科数学答案及评分意见 第 1 页（共 8 页）四川省大数据精准教学联盟 2019 级高三第二次统一监测理科数学答案及评分意见评分说明：1本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共
2、60分。1命题意图：本小题主要考查两个集合的交集，集合的补集的概念及其运算等基础知识；考查运算求解能力，应用意识。答案 B 由题得13ABxx，则AB R , 13, 2命题意图：本小题主要考查复数的除法运算，复数的共轭复数等基础知识；考查运算求解能力。答案 D 由已知得23i(23i)(1 i)1 5i1 i22z ，所以15i22z 3命题意图：本小题主要考查全称量词与存在量词，特称命题的否定等基础知识；考查逻辑推理能力，应用意识。答案 A 因为特称命题的否定为全称命题，所以p：22xxx R，4命题意图：本小题主要考查二项式定理，二项式展开式及其系数等基础知识；考查运算求解能力，推理论证
3、能力，应用意识。答案 C由2 510 3155( )rrrrrrraTC xC a xx，令1034r，解得2r ，所以4x项的系数为22251040C aa，解得2a 5命题意图：本小题主要考查算法初步基础知识以及数学文化；考查抽象概括能力和计算求解等能力；考查应用意识。答案 B根据程序框图，输出S的值为34567S 256命题意图：本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面平行，直线与平面垂直、平面与平面平行的判定理与性质定理等基础知识；考查空间想象、推理论证等能力。答案 B对于命题，l或l，错误；对于命题，lm或l与m异面；正确7命题意图：本小题主要考查抛物的标准方程、抛物线的简单几何性质
4、、余弦定理等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查数形结合、化归与转化等思想方法。答案 C 如图， 过P作PH垂直于准线于H， 连结FH 设|PFt， 则| |PHPFt，120FPH，|3FHt，30PFHDFH ，|3cos30|2DFFH ，所以23tp则在PFD中，由余弦定理，可得227|2| | cos603PDPFFDPFDFp ，所以|7|3PDDF8命题意图：本小题主要考查函数性质和图象等基础知识；考查数形结合等数学思想；考查抽象概括数学能力。答案 D由()( )fxf x 知( )f x为奇函数，排除 A，B；当(0 )x ，时，2( )sinf xxx，则221 1
5、3.6( )( )()0.1862 626f，11( )24f，排除 C，则 D 选项正确理科数学答案及评分意见 第 2 页（共 8 页）9命题意图：本小题主要考查等差数列的通项公式，前 n 项和公式，均值不等式求最值等基础知识；考查运算求解能力，函数与方程思想，应用意识。答案 A 设 na的公差d，由1353611aaSS，有1112265103311adadad，解得121.ad，所以312nnn nanS，则23883822122nnnnSnann83222nn112，当且仅当4n 时等号成立10命题意图：本小题主要考查计数原理、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识；考查了抽象概括、运
6、算求解等数学能力和应用意识；考查概率统计等数学思想。答案 C记所选取的 3 人中女生人数为X，则X的可能值为 1，2，3，且(1)P X 21243615C CC，(2)P X 12243635C CC，(3)P X 03243615C CC，则X均值131255EX 1325 11命题意图：本小题主要考查球体表面积、棱锥的体积、正弦定理等基础知识，考查直观想象、运算求解、推理论证等能力；考查数形结合、化归与转化等思想方法。答案 D在ABC中，根据正弦定理，可得sinsin1ACACBABCAB，所以90ABC如图，设1O为ABC的外心，则 O1为 AC 的中点，且1152OBAC，由于球O的
7、表面积为36，所以球O的半径3R ，22112OORO B，当1SO O， ，三点共线且平面SAB和点S位于点O的异侧时，三棱锥SABC的体积最大此时221130BSSOO B12命题意图：主要考查函数性质、导数及其应用等基础知识；推理论证等数学能力；考查化归与转化等数学思想。答案 C由题eln1ab，令eln1abt (0t )，则lnat，1etb，所以ba1elntt，令1(n)elttf t(0t )，则1e1( )tf tt，令11( )( )etu xf tt，则211( )0etu xt，则( )u x即( )f t 在(0,)时单调递增，又(1)0f，则01t时( )0f t
8、，1t 时( )0f t ，所以1t 时( )f t取得极小值也即为最小值，最小值(1) 1f，即ba的最小值为 1理科数学答案及评分意见 第 3 页（共 8 页）二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20分。13命题意图：本小题主要考查平面向量的线性运算，两个向量的夹角等基础知识；考查运算求解能力，应用意识。答 案3365 由 已 知(88)，ab，( 2 16) ，ab可 得(3 4)(512)， ，ab， 所 以cos| |a bab(3 4) (512)335 1365 ，14. 命题意图：本小题主要考查等比数列的概念，通项公式，前 n 项和公式及其应用等基础知识；考查运算求解能
9、力，应用意识。答案10122. 由12nnaa，有12nnaa，且21126Saa，解得12a ，所以数列 na是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以1001011002(12)2212S.15命题意图：本小题主要考查三角函数图象及其性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转换思想，数形结合思想，应用意识。答案 由( )cos22cos()2f xxx22131 2sin2sin2(sin)22xxx ， 作出函数的草图如图所示：易知命题不正确，命题正确16命题意图：本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质、直线的倾斜角及斜率等基础知识；考查推理论证、运算求解等
10、能力；考查数形结合、化归与转化等思想方法。答案56以AB为直径的圆的方程为222xya，双曲线过第一象限的渐近线方程为byxa由222xyabyxa，得 P2(,)aabcc由2PAF为等腰三角形，得点P在线段2AF的中垂线上，即2Pcax由22acac得2220caca，即220ee，得2e ，所以2ca而223bcaa，则233PBabackabcc ，故直线2PF倾斜角为56三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（一）必考题：共60分。17 （12 分）命题意图：本小题主要考查变量的相关性、回归方程等知识；考查运算求解能力和应用意识；考查概率统计思想。（1）由题
11、得5.5x ， 2 分设回归方程为yabx，则1011021()()104.851.27182.50()iiiiixx yybxx， 5 分15.65 1.271 5.58.66aybx，7 分理科数学答案及评分意见 第 4 页（共 8 页）所以，y 关于 x 的线性回归方程为8.661.27yx，8 分（2）根据（1）中的回归模型，2022 年该地区生产总值的估计值为8.66 1.27 1122.63y （百亿元） ，10 分由题，2021 年该地区生产总值为 21.5 百亿元，根据该回归模型，增长率估计值为22.6321.5100%5.26%5%21.5，所以，2022 年该地区生产总值能
12、实现 5%的增长目标 12 分18 （12 分）命题意图：本小题主要考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，等差数列，均值不等式等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，分类讨论思想，方程思想，数形结合等思想方法。若选，这样的ABC不存在理由如下：1 分由已知得22 3sin4ABCacbSaC，所以12 3sin22ABCSabCb，4 分则32 3bac，又2 32acac ，所以3ac 8 分又由132 3sinsin22ABCSacBB，所以4 3sin13B与正弦函数的有界性矛盾故这样的ABC不存在 12 分若选，这样的ABC存在由2 ,2 3,6 2ABCacbSabc得2 2,
13、4 2,2 3.ABCbacS4 分由余弦定理得22222cos2cos1bacacBacacB，所以(cos1)12acB (1)又12 3sin2ABCSacB，即sin4 3acB ,(2)由（1） ， （2）消去ac得cos13sinBB， 8 分所以3sincos1BB，即1sin()62B，因为abc， ，成等差数列，b不是最大边，所以02B，所以66B，即3B则84 2acac，解得2 2ac，此时ABC为等边三角形12 分若选，这样的ABC存在由题意有2 ,2 3,8,ABCacbSac则12 3sin4sin2ABCSacBB，所以3sin2B ，4 分理科数学答案及评分意见
14、 第 5 页（共 8 页）因为abc， ，成等差数列，b不是最大边，所以02B，所以3B，由余弦定理得2222232cos2cos14162bacacBacacBb，解得2 2b， 8 分所以4 2ac ，又8ac ，解得2 2ac 此时ABC为等边三角形 12 分19 （12 分）命题意图：本小题主要考查直棱柱的结构特征、平面与平面平行的判定定理、用空间向量计算二面角的平面角等基础知识；考查空间想象、推理论证、运算求解等能力；考查化归与转化、数形结合等思想方法。（1）取AB中点D，连结CD交AF于G，即 G 为ABC 的重心（或 G 为线段 AF 靠近 F 的三等分点等）时，平面1ACE平面
15、1BCG1 分证明：连结DE因为在三棱柱1 1 1ABCABC中，DE，分别为1 1AB AB，的中点，所以1DE CC，且1DECC，则四边形1DECC是平行四边形，故1ECDC又DC 平面1BCD，1EC 平面1BCD所以1EC平面1BCD3 分因为在三棱柱1 1 1ABCABC中，DE，分别是1 1AB AB，的中点，则1BE AD且1BEAD，四边形1BEAD是平行四边形，所以1EA DB又1DB 平面1BCD，EA 平面1BCD，所以EA平面1BCD5 分又EA 平面1AC E，1EC 平面1AC E，1EA ECE，所以平面1ACE平面1BCG6 分（2）由已知，可以C为坐标原点建
16、立如图所示空间直角坐标系C xyz，则1(2 0 0)(0 0 2)0 1 0)(1 1 2)ACFE，（ ， ， ，7 分设()G x y z，由（1）知，2AGGF ，即(2)2(1)xy zxyz，解之可得22033xyz，即2 2( , ,0)3 3G所以114 2( 2 0 2)(0)(1 1 0)3 3ACAGC E ， ， ， 8 分设平面1ACG的法向量()x y z ，m，由10,0,ACAG mm得220,420.33xzxy令1x ，则21yz，即(1,2,1)m设平面1AC E的法向量()x y z ，n，理科数学答案及评分意见 第 6 页（共 8 页）由1100ACC
17、 E ，mm得220,0.xzxy令1x ，则11yz，即(1 11)， ，n10 分设二面角1G ACE的平面角为，则coscos0| |，m nmnmn，所以二面角1G ACE的余弦值为 0. 12 分20 （12 分）命题意图：本小题主要考查动点的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证、运算求解、创新等能力；考查数形结合、化归与转化等思想方法。（1）设00(0)(0)()A xByM xy， ，由2AMMB ，得00()2()xxyxyy，即003 ,3.2xxyy2 分而| 3AB ，即22009xy 3 分所以223(3 )()92yx，即2214yx （2）设112
18、2()()C xyD xy， ，当直线l的斜率存在时，设其方程为y kx t6 分由22,44ykxtxy消去 y，得222(4)240kxktxt则21212222444kttxxx xkk ，7 分所以，22222111|()(1)NCxytkx，22222222|()(1)NDxytkx，则222121212222222222222121212()2111111|(1)(1)11xxxxx xNCNDkxkxkx xkx x2222222222222224()211(28)83244411(4)()4ktttktkktkktk 9 分当且仅当2228832tt ，即2125t ，5152
19、t时，22115|NCND10 分当直线l的斜率不存在时，(0, 2)(0,2)CD ，若5152t，则222222211112(4)5|(2)(2)(4)tNCNDttt11 分综上，存在实数5152t，使得2211|NCND为定值为5 12 分21 （12 分）命题意图：本小题主要考查函数性质，导数的几何意义，利用导数研究函数的性质等基础知识；考查抽象概括、推理论证和创新能力；考查函数与方程、化归与转化、数形结合等数学思想。（1）0a 时，( )eexf xx，( )eexf x.设切点111(ee )xxx，则11( )eexf x，1 分故切线 l 的方程为1111(ee)()eexx
20、yxxx， 2 分由于切线 l 过点(0 0)，则11110(ee)()eexxxx，3 分理科数学答案及评分意见 第 7 页（共 8 页）即11(1)e0 xx ，解得11x ，故切线方程为0y 4 分（2）由( )ee(1 ln )xf xxaxx得( )elnexf xax，(1)0f，令( )( )elnexg xf xax，则( )exag xx， 5 分当0a 时，可知( ) 0g x，( )g x在(0,)上单调递增，又(1) 0g，则01x时，( )0g x 即( ) 0f x，( )f x单调递减；1x 时，( )0g x 即( ) 0f x，( )f x单调递增故( )f
21、x在1x 时取得极小值，则0a 满足条件7 分当0a 时，则( )exag xx在(0,)上为增函数，又(1) ega ， 8 分）若(1)0g即ea 时，由于( )e10ag a ，则存在01)xa ，使得0()0g x，则00 xx 时0()0g x，则( )g x即( )f x单调递减，又(1)0f，故01x时0( )0f x，( )f x单调递增，01 xx 时0( )0f x，( )f x单调递减，此时1x 为( )f x的极大值点，不合题意10 分）若(1)0g即0ea时，由于 x 无限接近 0 时，( )g x无限接近，则存在0(0,1)x ，使得0()0g x，则00 xx 时
22、0()0g x，则( )g x即( )f x单调递减，则0 x x时0()0g x，则( )g x即( )f x单调递增，又(1)0f，故01xx 时( ) 0f x，( )f x单调递减，1x 时( ) 0f x，( )f x单调递增，此时1x 为( )f x的极小值点，符合题意综上所述，函数( )f x在1x 处取极小值时 a 的取值范围是(,e)12 分（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）命题意图：本小题主要考查点的直角坐标与极坐标的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，辅助角公式等基础
23、知识；考查推理论证能力、运算求解等能力；考查化归与转化、数形结合等思想方法。（1）因为cossinxy，所以点M的直角坐标为(0, 2)2 分由2cos()104，得cossin1 0 ，所以1 0 x y ，故直线l的直角坐标方程为1 0 x y 5 分（2）可设(22 2cos22 2sin )N，则M N的中点为(12cos22sin)P，6 分设点P到直线l的距离为d，则|12 cos( 22sin)1| 2 22 cos()|42d 8 分当cos()14，即32 4kkZ，时，min2d 9 分理科数学答案及评分意见 第 8 页（共 8 页）此时点P的直角坐标为(0 1)，极坐标为3(1)2，10 分23选修 45：不等式选讲（10 分）命题意图：本小题主要考查不等式的证明方法、重要不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化等数学思想。（1）证明：因为0a ，0b ，2ab，所以02a，02b，1 分则2222233(2)444abaaaa3 分2(21)33a ，当且仅当12a ，32b取等号 5 分（2）证明：由题，41141(1)()131ababab 7 分141(5)31baab141(52)331baab，当且仅当411baab且2ab，即1ab时取等号10 分
