1、南平市20212022学年高三毕业班第三次质量检测数学试题一单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则复数的虛部为（）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】A2. 设集合，集合，若，则的取值范围为（）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】D3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（）A. 至多一枚硬币正面朝上B. 只有一枚硬币正面朝上C. 两枚硬币反面朝上D. 两枚硬币正面朝上【3题答案】【答案】C4. 九章算术中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在正
2、方体中，当分别与，重合时，所形成的四面体中鳖臑共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【4题答案】【答案】B5. 在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为（）A. B. C. D. 【5题答案】【答案】B6. 在中，若，则（）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】A7. 若点是抛物线上一点，点到该抛物线焦点的距离为6，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【7题答案】【答案】D8. 对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】C二多选题：本大题共4小题，每小题5分
3、，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（）A. 若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人B. 该医院青年患者所占的频率为C. 该医院的平均治愈率为28.7%D. 该医院的平均治愈率为31.3%【9题答案】【答案】ABC10. 已知函数的任意两条对称轴间的最小距离为，函数的图象关于原点对称，则（）A.
4、函数在单调递减B. ，C. 把的图象向右平移个单位即可得到的图象D. 若在上有且仅有一个极值点，则的取值范围为【10题答案】【答案】BD11. 已知双曲线的方程为，分别为双曲线的左右焦点，过且与x轴垂直的直线交双曲线于M，N两点，又，则（）A. 双曲线的渐近线方程为B. 双曲线的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方C. 双曲线的实轴长虚轴长焦距成等比数列D. 双曲线上存在点，满足【11题答案】【答案】AB12. 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（）A. B. C. D. 【12题答案】【答案】ABD三填空题：
5、本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 计算：_.【13题答案】【答案】#14. 已知为圆：上任意一点，则的最大值为_.【14题答案】【答案】15. 已知函数有零点，则实数_.【15题答案】【答案】16. 四面体中，且异面直线与所成的角为.若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为_.【16题答案】【答案】四解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 在；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，角ABC所对的边分别是abc，_.（1）求角A；（2）若，点D在线段AB上，且与的面积比为3：5，求CD的长.（注：如果选择多个条件分
6、别解答，按第一个解答内容计分）【17题答案】【答案】（1）；（2）19. 已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若满足，.设为数列的前项和，求.【19题答案】【答案】（1）（2）21. 南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩近似于服从正态分布，近似为这100人测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间
7、的中点值作代表），求的值；利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：测试成绩不低于的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于的可以获赠1次随机话费；每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（元）1030概率今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为（单位：元），试根据样本估计总体的思想，求的分布列与数学期望.参考数据与公式：若，则，.【21题答案】【答案】（1）；（2）分布列见解析；【小问1详解】由题，因为，所以.【小问2详解】由题，所获赠话费的可能取值为，所以的分布列为：所以.23. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形
8、，.（1）证明：平面；（2）若M为棱PD上的点，且二面角的余弦值为，求直线PC与平面ACM所成角的正弦值.【23题答案】【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】证明：因为底面是边长为的正方形，所以，由，则，所以，设，连接，所以，因为，平面，平面，所以平面.【小问2详解】取中点为，易得且，所以为二面角的平面角，则，因为，所以，所以，即，又，所以平面，则，在中，所以，则，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以，设所求的直线与平面所成角为，则，所以，所求的正弦值为. 25. 已知椭圆：，分别为椭圆的左右焦点，焦距为4.过右焦点且与
9、坐标轴不垂直的直线交椭圆于M，N两点，已知的周长为，点M关于x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q.（1）求椭圆方程；（2）求四边形面积的最大值.【25题答案】【答案】（1）；（2）27. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：函数有两个零点，且.【27题答案】【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析【小问1详解】定义域为，当时，在上单调递增；当时，由得，当时，单调递减，当时，单调递增；综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】当时，因为，所以，无零点.当时，由，得，即，设，则有，因为在上成立，所以在上单调递减，当时，所以等价于，即，所以的零点与在上的零点相同.若，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，又，所以在和上各有一个零点，即在上有两个零点，综上有两个零点.不妨设，则，相减得，设，则，代入上式，解得，所以，因为，所以，因此要证，只需证，即证，设，则，所以在递增，即，因为，所以可化成，又因为，所以.
