1、微积分（二）保险学院精算与风险管理方向韩雨多元复合函数的求导Contents1多元函数的极值2利用直角坐标计算二重积分3利用极坐标计算二重积分4多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导注意： 逆否命题复合函数求导法则以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz复合函数求导法则 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 在在对对应应点点),(yx的
2、的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dvvzduuzdz .隐函数求导法则隐隐函函数数存存在在定定理理 1 1 设设函函数数),(yxF在在点点),(00yxP的的某某一一邻邻域域内内具具有有连连续续的的偏偏导导数数，且且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则则方方程程0),( yxF在在点点),(00yxP的的某某一一邻邻域域内内恒恒能能唯唯一一
3、确确定定一一个个单单值值连连续续且且具具有有连连续续导导数数的的函函数数)(xfy ，它它满满足足条条件件)(00 xfy ，并并有有 yxFFdxdy . .0),()1( yxF隐函数求导法则0),()2( zyxF隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0) z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导
4、数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .多元函数的极值 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，对对于于该该邻邻域域内内异异于于),(00yx的的点点),(yx：若若满满足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函数数在在),(00yx有有 极极 大大 值值 ； 若若 满满 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函数数在在),(00yx有有极极小小值值；定义定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称
5、为极值点使函数取得极值的点称为极值点.定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函多元函数数取得取得极值极值的的条条件件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连
6、续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时有极值，时有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值. .求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),(
7、 yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可可能能极极值值点点，先先构构造造函函数数),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 为为某某一一常常数数，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可
8、能能的的极极值值点点的的坐坐标标.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值yxyxxx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,1yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？是否存在？解：解：xxy取所以极限不存在所以极限不存在.333,0,)1ln(yxyx利用yxxyxyx)1ln(lim00典型例题例13,. 1ttytx )11)(lim00 xyyxxyyx原式原式解：解：)(2lim00yxxyyx )(2lim00yxxyyx )(2)(lim330ttttttt ttt21lim20 3,. 2ttytx )(2lim00yxxyyx
9、 )(2)(lim330ttttttt )2(2lim3420ttttt )2(2)1(lim220tttt . 0 所以，所以，极限极限yxxyyx 11lim00不存在不存在 . . 例2 设有函数设有函数2222222000,( , ),.x yxyf x yxyxy(0,0)的的( , )f x y（1 1）讨论函数）讨论函数在点在点连续性；连续性；偏导数偏导数（2 2）讨论函数）讨论函数( , )f x y( , ),( , )xyfx yfx y(0,0)的的以及在点以及在点偏导数偏导数. .)0 , 0()0 , 0(证明偏导数在点证明偏导数在点不连续不连续. .在点在点不可微不
10、可微. .（3 3）( , )f x y（4 4）证明证明例3( , )f x y分析：由于分析：由于 是分段函数，需要从定义出发讨论。是分段函数，需要从定义出发讨论。220 xy( , )f x y222x yxy221,2xyxy 解解: :（1 1）当）当时，有时，有= =，又，又所以所以22222()(0,0)()(0,0)limlim0(0,0).xyxyx yxyxfxyxy，从而函数从而函数(0,0)在点在点连续；连续；( , )f x y（2 2）当）当220 xy 时时 32222( , )xxyfx yxy 当当220 xy 时，有时，有0( ,0)(0,0)(0,0)li
11、m0(0,0)0 xxyf xffxf 同同理理 22422231( , )yx yyfx yxy )0 , 0(证明偏导数在点证明偏导数在点不连续不连续（3 3）由于由于 33220022222lim( , )lim,1xxxy kxy kxxykfx yxyk 224222002223111lim( , )lim,yxxy kxy kxx yykfx yxyk 因此因此 00lim( , ),lim( , )xyxxy kxy kxfx yfx y都不存在，从而函数都不存在，从而函数 ( , ),xfx y 偏偏导导数数( , )yfx y( , )0 0处处不不连连续续；的的在点在点)0
12、 , 0(在点在点不可微不可微. .( , )f x y（4 4）证明证明由于由于0 00 00( , )( , )xyff ，极限，极限2200 00 00 0( , )( , )( , )( , )limxyxy kxf x yfxfyfxy 230222limxy kxx yxy 3221kk 因此因此 22000 00 00 0( , )( , )( , )( , )limxyxyf x yfxfyfxy 所以函数所以函数( , )(0,0)f x y 在在点点处处不不可可微微。不存在，不存在，把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz ，把把x看看成成yz,的的函
13、函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得zy .解解1 基本方法基本方法其中其中f偏导数连续偏导数连续 例4yz ),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1yz 2f yxzxyz 211fyxf12fxz f yx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf解解2 利用利用全微分形式不变性全微分形式不变性，等式两边求微分，等式两边求微分12=()()fdxdydzfyzdxxzdyxydz= (,)z f xyz xyz12()()dzfd xyzfd xyz1
14、21212()()(1)0fyzf dxfxzf dyfxyfdz1212121211fyzffxzfdzdxdyfxyffxyf12121fyzfzxfxyf 1212fxzfxyfyzf ,，,，12121fxyfyzfxzf 也可套用隐函数的也可套用隐函数的偏导数公式法偏导数公式法解解3( , , )(,)F x y zzf xyz xyzxuvFfyzf 1zuvFfxyf,1xuvzuvFfyzfzxFfxyf =yz ？=xy ？ 设产品的产量是劳动力设产品的产量是劳动力x和原料和原料y的函数为的函数为314460(10020030000)x yxy假定每单位劳动力花费假定每单位劳
15、动力花费100元，每单位原料花费元，每单位原料花费200元，元，现有资金现有资金30000元用于生产，应如何按排劳动力与原料，使元用于生产，应如何按排劳动力与原料，使产量达到最大。产量达到最大。解解 该问题是在劳动力该问题是在劳动力x与原料与原料y满足条件满足条件100 x+200y=30000的条件下，求目标函数的条件下，求目标函数 的最大值。的最大值。3144( , )60f x yx y构造函数构造函数3144( , )60f x yx y),( yxF例53144( , , )60(10020030000)F x yx yxy求可能的极值点求可能的极值点1144334436010004
16、16020004100200300000 xyx yxy得到唯一的驻点得到唯一的驻点x=225，y=37.5， =-4.44，仅，仅有一个可能的极值点，由有一个可能的极值点，由问题本身可知最大值一定问题本身可知最大值一定存在，所以存在，所以x=225，y=37.5就是最优解。就是最优解。 计算计算1d d ,4Dxyx y其中其中0,1 0,1.D 解解 记记 (见图见图) 11( , )0,4Dx y xyD21( , )0.4Dx y xyD图图Ox11D2D14xy 1y直角坐直角坐标标系下的二重系下的二重积积分分例则又有则又有 111( , )1,1 ,44Dx yyxx21110,
17、0,1( , ) 0,1 .444Dx yyxx 12111d d()d d()d d444DDDxyx yxyx yxyx y111 41 41dd4xxxyy3131ln2ln26416641631ln2.32811 411d2432xxx1 401d42xx11 41d32xx1 4111 4001 4011dddd44xxxyyxxyy解解）所围的面积（取圆外部所围的面积（取圆外部和圆和圆是由心脏线是由心脏线其中其中计算计算ararDdyxD )cos1(.22 )cos1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a极极坐坐标标系下的二重系下的二
18、重积积分分例 计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD(1) D为圆域为圆域; 122 yx(2) D由直线由直线1,1,xyxy解解: (1) 利用对称性利用对称性.yox1DyxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22围成围成 .例X/Y有奇函数有奇函数的性质，区的性质，区域关于域关于y/x轴轴对称对称,二重积二重积分为分为0yxeyxDyxdd122(2) 积分域如图o1yx11D2Dxyxy , xy将将D 分为分为,21DDyxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112xyxx32添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性 , 得得对称性的应用Thank you
