1、第第5.35.3节节 独立同分布场合的极限定理独立同分布场合的极限定理二、辛钦大数定律二、辛钦大数定律三、中心极限定理三、中心极限定理一、一、 独立和问题独立和问题一、独立和问题一、独立和问题1 1、n n重伯努利试验重伯努利试验 nnA 设设为为 重重伯伯努努利利试试验验中中事事件件 出出现现的的次次数数，则则12nnnn .5.1.nnAn 为为 重重伯伯努努利利试试验验中中事事件件 出出现现的的频频率率 在在节节讨讨论论了了的的收收敛敛性性与与极极限限分分布布(01)nin 以以下下将将讨讨论论当当 的的分分布布不不是是分分布布时时，的的极极限限定定理理. .2 2、一般场合的独立和问题
2、、一般场合的独立和问题22,( )(),innF x 1 11 1 设设随随机机变变量量列列独独立立同同分分布布，其其分分布布为为不不限限于于两两点点分分布布 , , 设设那那么么2nnnn1 1的收敛性如何？极限分布是什么？的收敛性如何？极限分布是什么？研究此类问题的实际意义有哪些呢？研究此类问题的实际意义有哪些呢？ 在在测测量量中中会会采采用用多多次次测测量量的的平平均均值值例例如如2nnnn1 1 在在数数理理统统计计中中，常常常常用用样样本本的的均均值值做做为为总总体体均均值值的的估估计计2nnnn 1 1 在在工工厂厂车车间间需需要要计计算算出出每每台台机机器器的的平平均均用用电电量
3、量，以以保保证证用用电电量量的的供供应应，其其平平均均用用电电量量为为2nnnn1 1 对此类问题的研究将采用特征函数法对此类问题的研究将采用特征函数法.二、辛钦大数定律二、辛钦大数定律 , 12,()(1,2,),nkEa k设设随随机机变变量量相相互互独独立立 且且服服从从钦钦数数同同一一分分布布 具具有有数数学学期期望望则则对对于于任任意意正正数数有有辛辛大大定定律律 11lim1.nknkPan 关于辛钦定理的说明关于辛钦定理的说明:(1) 与车贝晓夫大数定理相比与车贝晓夫大数定理相比, 不要求方差存在不要求方差存在;(2) 贝努利定理是辛钦定理的特殊情况贝努利定理是辛钦定理的特殊情况
4、. 辛钦资料辛钦资料证明：证明： 12,( )nf t 设设具具有有同同一一分分布布，因因而而其其具具有有同同一一特特征征函函数数，因因为为数数学学期期望望存存在在，故故可可展展开开成成( )(0)(0)( )1i( )f tffto tato t 11niin 而而的的特特征征函函数数为为( )1i( )nntttfaonnn对于固定的对于固定的ti( )e()nattfnn i1e()1(),2795.2.7atniiI xanI xap 显显然然函函数数是是连连续续函函数数，它它是是退退化化分分布布所所对对应应的的特特征征函函数数，由由逆逆极极限限定定理理可可知知，的的分分布布函函数数弱
5、弱收收敛敛于于再再由由定定理理可可知知 11lim1.nknkPan 例例1(p288例例1） 利用概率论方法计算积分利用概率论方法计算积分( ).baJg x dx解解g(1212, , ),(), (),nna bgg 设设是是一一列列独独立立同同分分布布的的随随机机变变量量序序列列，它它们们在在上上服服从从均均匀匀分分布布，则则也也是是独独立立同同分分布布的的随随机机变变量量序序列列，而而且且1( ()( )dbiaJE gg xxbaba 即即() ( ()iJba E g 由辛钦大数定律可知由辛钦大数定律可知11()( ()nPiiigE gn , (),iib ag 通通过过计计算
6、算机机在在区区间间上上产产生生服服从从均均匀匀分分布布的的随随机机数数，再再计计算算最最后后计计算算11()niign ( ( )E g 由由此此就就可可以以得得到到的的近近似似值值，从从而而也也就就得得到到积积分分的的近近似似值值为为() ( ( ).Jba E g 上述计算方法被称为上述计算方法被称为蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法，即用概率论的，即用概率论的方法计算相关数值，在蒲丰投针问题中介绍过方法计算相关数值，在蒲丰投针问题中介绍过.三、中心极限定理三、中心极限定理122,(),()0(1,2,),nkkEm Dk 设设随随机机变变量量 序序列列相相互互独独立立 服服从从同同一一分分贝贝莱莱
7、布布 且且具具有有数数学学期期望望和和方方差差：则则随随机机变变量量之之维维和和的的定定理理5.3.2(林5.3.2(林德德格格中中心心极极限限定定理理）111nnkkkknnkkED 标标准准化化变变量量1()nkkn 1( )()lim( )limnnkknnnnFxxFxPxn 的的分分布布函函数数对对于于任任意意满满足足定理定理5.3.25.3.2表明表明:,.nn 当当随随机机变变量量序序列列的的分分布布函函数数收收敛敛于于标标准准正正态态分分布布的的分分布布函函数数 xtxte).(d2122 证明证明1( ),() ().knnnkkmttnn 设设的的特特征征函函数数为为则则的
8、的特特征征函函数数为为22(),(),(0)0,(0),kkEm D 由由于于因因而而因因此此2 221( )1()2tto t 所以所以222211()2nnttttoennn 22(0,1),teN由由于于是是连连续续函函数数，它它对对应应的的分分布布函函数数为为由由逆逆极极限限定定理理可可知知21-2-( )() ()1ed( )2nnnkktxFxPxPnxtx 定理证毕定理证毕20201(1,2,20),(0,10),105.kkkVkVVP V一一加加法法器器同同时时收收到到个个噪噪声声电电压压设设它它们们是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量且且都都在在区区间间上上服服从从均均
9、匀匀分分布布 记记求求的的近近似似值值例例1 1解解, 5)( kVE由定理由定理5.3.2, 随机变量随机变量Z近似服从正态分布近似服从正态分布N(0,1),2012100520201 kkVZ2012100520 V其中其中105P V20 510520 510010020201212VP20 50.3871002012VP10010.3871002012VP 387. 02d2112tet)387. 0(1 .348. 0 例例2 2 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次已知每遭受一次海浪的冲击海浪的冲击, 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3, 若船舶若船
10、舶遭受了遭受了90000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有2950030500次纵摇角大于次纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 ,则则 是一个随机变量是一个随机变量,1 (90000,).3b 且且所求概率为所求概率为2950030500P kkkk 900003050029501323190000分布律为分布律为Pk kkk 90000323190000.90000,
11、1 k直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理2950030500P 2950030500(1)(1)(1)npnpnpPnppnppnpp )1(30500)1(295002221pnpnppnpnpdtet )1(29500)1(30500pnpnppnpnp ,31,90000 pn2950030500P 225225 .9995. 0 1221,( 1,1)(1, 2, ),1,.ininniinnn设设随随机机变变量量相相互互独独立立 且且在在区区间间上上服服从从均均匀匀分分布布试试证证当当充充分分大大时时 随随机机变变量量近近似似服服从从正正态态
12、分分布布 并并指指出出其其分分布布参参数数例例3 3证证2,(1,2, )iiin记记2()()iiEE()iD ,31 22()() ()iiiDEE42() ()iiEE d14411()2iiiExx 因因为为,51 211()53iD 所所以以,454 12,n 因因为为相相互互独独立立 12,.n 所所以以相相互互独独立立根据根据定理定理5.3.2,454,3 nnN近似服从正态分布近似服从正态分布1ini 1114,.3 45niiNnn 故故近近似似地地服服从从正正态态分分布布 例例4(4(p291p291例例2)2) (正态随机数的产生正态随机数的产生) 在蒙特卡在蒙特卡罗法中
13、经常需要产生服从正态分布的随机数，但是罗法中经常需要产生服从正态分布的随机数，但是一般计算机只备有产生一般计算机只备有产生0,1均匀分布随机数的程序，均匀分布随机数的程序，怎样通过怎样通过 0,1均匀分布的随机数来产生正态随机数均匀分布的随机数来产生正态随机数呢？最常用的是利用林德贝格莱维中心极限定理呢？最常用的是利用林德贝格莱维中心极限定理来完成来完成.12,5.3.2n 设设是是相相互互独独立立、均均服服从从均均匀匀分分布布的的随随机机变变量量，这这时时定定理理的的条条件件得得到到满满足足，因因而而12.n渐渐近近于于正正态态变变量量12,nn 一一般般 取取不不太太大大的的值值就就可可以
14、以满满足足实实际际要要求求，在在蒙蒙特特卡卡罗罗法法中中，一一般般取取同同时时利利用用 1212(1)16,1,2,kkiik得到正态分布得到正态分布N(0,1)的随机数序列的随机数序列，其中其中 ()0,()1.kkED 例例5(5(p292p292例例3)3) (近似数定点运算的误差分析近似数定点运算的误差分析) 数值数值计算时，任何数计算时，任何数x 都只能用一定位数的有限小数都只能用一定位数的有限小数y来来近似，这样就产生了一个误差近似，这样就产生了一个误差 =x-y. 在下面讨论中，在下面讨论中，我们假定参加运算的数都用十进制定点表示，每个我们假定参加运算的数都用十进制定点表示，每个
15、数都用四舍五入的方法得到小数点后五位，这是相数都用四舍五入的方法得到小数点后五位，这是相应的舍入误差可以看作应的舍入误差可以看作 55 0.5 10 ,0.5 10 上上的的均均匀匀分分布布. .111,nnniiiiiiSx Ty 设设则则ST 求求和和带带来来的的误误差差估估计计为为：5| 0.5 10 ,i 第第一一种种传传统统估估计计法法，因因为为因因而而51|0.5 10niin1nii 第第二二种种概概率率法法，利利用用林林德德贝贝格格莱莱维维中中心心极极限限定定理理可可知知，误误差差近近似似服服从从正正态态分分布布，其其中中521(10 )( )()0,( )12niiEEDn则
16、误差估计为则误差估计为212|( )|( )1ed2niitkkPkDPkDt33k 利利用用正正态态分分布布的的可可知知，当当时时，50.5 10| 3( )| 30.9973PDPn比较两种估计法的结果：取比较两种估计法的结果：取n=10000,51|10000 0.5 100.05nii530.5 10| 3100000.866 103 显然概率法得到的误差估计只是传统方法的显然概率法得到的误差估计只是传统方法的60分之一分之一. 类似的可以将中心极限定理推广到多维随机变量类似的可以将中心极限定理推广到多维随机变量的场合的场合2,np 1 1 若若 维维随随机机向向量量相相互互独独立立，具具有有相相同同的的分分布布，其其数数学学期期望望为为 ，方方差差为为 ，则则 (多 (多元元中中心心极极限限定定定定理理5353）. .理理3.3.12()()()/nnn(0, )N的的极极限限分分布布为为证明略证明略 （参见（参见p293证明）证明）作作 业业习题五习题五 29、31、32、34 辛钦资料辛钦资料Aleksandr Yakovlevich KhinchinBorn: 19 July 1894 in Kondrovo, Kaluzhskaya guberniya, RussiaDied: 18 Nov 1959 in Moscow, USSR
