1、实验目的实验目的实验内容实验内容2、掌握用数学软件包求解统计问题。、掌握用数学软件包求解统计问题。1、直观了解统计基本内容。、直观了解统计基本内容。1 1、统计的基本理论。、统计的基本理论。3 3、实验作业。、实验作业。2、用数学软件包求解统计问题。、用数学软件包求解统计问题。2022-6-5数学建模2统计的基本概念统计的基本概念参数估计参数估计假设检验假设检验数据的统计描述和分析数据的统计描述和分析2022-6-5数学建模31、 表示位置的统计量平均值和中位数 平均值平均值（或均值，数学期望） ：niiXnX11 中位数中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值.2、 表示变异程度的
2、统计量标准差、方差和极差 标准差标准差：2112)(11niiXXns 它是各个数据与均值偏离程度的度量. 方差方差：标准差的平方. 极差极差：样本中最大值与最小值之差.一、统计量一、统计量2022-6-5数学建模4 3. 表示分布形状的统计量偏度和峰度偏度偏度：niiXXsg1331)(1 峰度峰度：niiXXsg1442)(1 偏度反映分布的对称性，g1 0 称为右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的多；g1 0 称为左偏态，情况相反；而 g1接近 0则可认为分布是对称的. 峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为 3，若 g2比 3大很多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多
3、远离均值的数据，因而峰度可用作衡量偏离正态分布的尺度之一. 4. k 阶原点矩阶原点矩：nikikXnV11 k 阶中心矩阶中心矩：nikikXXnU1)(12022-6-5数学建模5二、分布函数的近似求法二、分布函数的近似求法1、 整理资料整理资料： 把样本值 x1，x2，xn进行分组，先将它们依大小次序排列，得*2*1nxxx.在包含,*1nxx的区间a，b内插入一些等分点：,21bxxxan注意要使每一个区间,(1iixx（i=1，2，n-1）内都有样本观测值 xi（i=1，2，n-1）落入其中.2、求出各组的频数和频率、求出各组的频数和频率：统计出样本观测值在每个区间,(1iixx中出
4、现的次数in，它就是这区间或这组的频数.计算频率nnfii.3、作作频频率率直直方方图图：在直角坐标系的横轴上，标出21,nxxx各点，分别以,(1iixx为底边，作高为iixf的矩形，1, 2 , 1,1nixxxiii,即得频率直方图.2022-6-5数学建模6三、几个在统计中常用的概率分布三、几个在统计中常用的概率分布-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.41正态分布正态分布),(2smN密度函数：222)(21)(smspxexp分布函数：dyexFyx222)(21)(smsp其中m为均值，2s为方差，x.标准正态分布：N（0，1）密度函数2221)
5、(xexpjdyexyx2221)(Fp， 分布函数2022-6-5数学建模70510152000.020.040.060.080.10.120.140.162、2分分布布2（n） 若随机变量 X1，X2， Xn相互独立，都服从标准正态分布 N（0，1） ，则随机变量 Y=22221nXXX服从自由度为 n 的2分布，记为 Y2（n）.Y 的均值为 n，方差为 2n.2022-6-5数学建模83、 t分分布布t（n）若 XN（0，1） ，Y2（n），且相互独立，则随机变量 nYXT 服从自由度为n 的t 分布，记为Tt（n）.t 分布t（20）的密度函数曲线和N（0，1）的曲线形状相似.理论上
6、n时，Tt（n）N（0，1）.-6-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.42022-6-5数学建模94. F分布分布 F（n1，n2）若 X2（n1） ，Y2（n2） ，且相互独立，则随机变量 21nYnXF 服从自由度为（n1，n2）的 F 分布，记作 F F（n1，n2）.由 F 分布的定义可以得到 F 分布的一个重要性质： 若 F F（n1，n2） ，则),(112nnFF00.511.522.5300.10.20.30.40.50.60.70.80.91返回返回F分布F（10，50）的密度函数曲线2022-6-5数学建模10无论总体 X 的分布函数 F
7、（x；k,21）的类型已知或未知，我们总是需要去估计某些未知参数或数字特征，这就是参数估计问题.即参数估计就是从样本（X1，X2，Xn）出发，构造一些统计量(iX1，X2，Xn） （i=1，2，k）去估计总体 X 中的某些参数（或数字特征）i（i=1，2，k）.这样的统计量称为估计量估计量.1. 点估计点估计：构造（X1，X2，Xn）的函数(iX1，X2，Xn） 作为参数i的点估计量，称统计量i为总体 X 参数i的点估计量.2. 区间估计区间估计：构造两个函数(1 i X1，X2，Xn）和(2i X1，X2， Xn）做成区间，把这（21,ii）作为参数i的区间估计.2022-6-5数学建模11
8、一、点估计的求法一、点估计的求法(一）矩估计法假设总体分布中共含有 k 个参数，它们往往是一些原点矩或一些原点矩的函数，例如，数学期望是一阶原点矩，方差是二阶原点矩与一阶原点矩平方之差等.因此，要想估计总体的某些参数i（i=1，2，k） ，由于 k 个参数一定可以表为不超过 k 阶原点矩的函数，很自然就会想到用样本的 r阶原点矩去估计总体相应的 r 阶原点矩，用样本的一些原点矩的函数去估计总体的相应的一些原点矩的函数，再将 k 个参数反解出来，从而求出各个参数的估计值.这就是矩估计法，它是最简单的一种参数估计法.2022-6-5数学建模12(二）极大似然估计法极极大大似似然然法法的想法是: 若
9、抽样的结果得到样本观测值 x1,x2,xn, 则我们应当这样选取参数i的 值 , 使 这 组 样 本 观 测 值 出 现 的 可 能 性 最 大 . 即 构 造 似 然 函 数 ：)()()(),(),(2211221121nnnnkxXPxXPxXPxXxXxXPL),(),(),(),(1111211kniiknkkxpxpxpxp使),(1kL达到最大，从而得到参数i的估计值i.此估计值叫极极大大似似然然估估计计值值.函数),(1kL称为似似然然函函数数.求极大似然估计值的问题，就是求似然函数),(1kL的最大值的问题，则 0iL ki, 2 , 1即 0iLnL ki, 2 , 120
10、22-6-5数学建模13设总体 X 的分布中含有未知参数，若对于给定的概率1（10） ，存在两个统计量(1 X1，X2，Xn） 和(2 X1，X2，Xn）,使得 1)(21P则称随机区间(),21为参数的置信水平为1的置置信信区区间间,1称为置置信信下下限限,2称为置置信信上上限限.二、区间估计的求法二、区间估计的求法2022-6-5数学建模14设样本（X1，X2，Xn）来自正态母体 X，已知方差2sDX，EX 在置信水平 1-下的置信区间为,2121nuXnuXss.1、已知、已知DX，求，求EX的置信区间的置信区间2 未知方差未知方差DX，求，求EX的置信区间的置信区间EX 在置信水平 1
11、-下的置信区间为,2121nstXnstX.(一一)数学期望的置信区间数学期望的置信区间（二）方差的区间估计（二）方差的区间估计DX 在置信水平 1-下的置信区间为) 1(,) 1(2222212snsn.返回返回2022-6-5数学建模151.参数检验参数检验：如果观测的分布函数类型已知，这时构造出的 统计量依赖于总体的分布函数，这种检验称为参数检验. 参数检验的目的往往是对总体的参数及其有关性质作出明 确的判断. 对总体X的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设.2.非参数检验非参数检验：如果所检验的假设并
12、非是对某个参数作出明 确的判断，因而必须要求构造出的检验统计量的分布函数 不依赖于观测值的分布函数类型，这种检验叫非参数检验. 如要求判断总体分布类型的检验就是非参数检验.2022-6-5数学建模16假设检验的一般步骤是假设检验的一般步骤是：1 根据实际问题提出原假设 H0与备择假设 H1，即说明需要检验 的假设的具体内容；2 选择适当的统计量，并在原假设 H0成立的条件下确定该统计量 的分布；3 按问题的具体要求，选取适当的显著性水平，并根据统计量 的分布查表，确定对应于的临界值.一般取 0.05,0.01 或 0.104 根据样本观测值计算统计量的观测值，并与临界值进行比较，从 而在检验水
13、平条件下对拒绝或接受原假设 H0作出判断.2022-6-5数学建模17（一）单个正态总体均值检验（一）单个正态总体均值检验一、参数检验一、参数检验设取出一容量为 n 的样本，得到均值X和标准差 s，现要对总体均值m是否等于某给定值0m进行检验.记00:mmH； 01:mmH称 H0为原原假假设设，H1为备备择择假假设设，两者择其一：接受 H0；拒绝 H0，即接受 H1.2022-6-5数学建模18 用 u检检验验，检验的拒绝域为21uzW 即 2121uzuzW或 用样本方差2s代替总体方差2s，这种检验叫 t检检验验.总体方差2s已知统计量 z=nXsm0总体方差2s未知统计量tnsX0mH
14、0H1在显著水平下拒绝 H0，若0mm0mm21 uz) 1(21ntt0mm0mm1uz) 1(1ntt0mm0mm1uz) 1(1ntt1、总总体体方方差差2s已已知知2总总体体方方差差2s未未知知2022-6-5数学建模19（二）单个正态总体方差检验（二）单个正态总体方差检验设 X1，X2，Xn是来自正态总体),(2smN的样本，欲检验假设：2020:ssH 2021:ssH（或 202ss 或 202ss）这叫2检验检验.均值m已知统计量212202)(1msniiX均值m未知统计量212202)(1XXniisH0H1在显著水平下拒绝 H0，若202ss202ss)(222n或)(2
15、212n) 1(222n或) 1(2212n202ss202ss)(212n) 1(212n202ss202ss)(22n) 1(22n（三）两个正态总体均值检验（三）两个正态总体均值检验构造统计量 222121nnYXzss.1、21s与与22s已知时已知时2、21s与与22s未未知知但但相相等等时时构造统计量212121222211)2() 1() 1(nnnnnnsnsnYXt，方差2221,ss已知统计量 z方差2221,ss未知但相等统计量tH0H1在显著水平下拒绝 H0，若21mm21mm21 uz)2(2121nntt21mm21mm1uz)2(211nntt21mm21mm1u
16、z)2(211nntt（四）两个正态总体方差检验（四）两个正态总体方差检验设样本 X1，X2，Xn1与 Y1，Y2，Yn2分别来自正态总体),(211smN与),(222smN，检验假设： 22210:ssH 22211:ssH（或2221ss或2221ss）均值21,mm已知统计量0F均值21,mm未知统计量FH0H1在显著水平下拒绝 H0，若2221ss2221ss),(21210nnFF或),(112210nnFF) 1, 1(2121nnFF或) 1, 1(11221nnFF2221ss2221ss),(2110nnFF) 1, 1(211nnFF2221ss2221ss),(1121
17、0nnFF) 1, 1(1121nnFF21122212110)(1)(1niiniiYnXnFmm， 2221ssF （设2221ss ）2022-6-5数学建模22（一）（一） 皮尔逊皮尔逊2拟合检验法拟合检验法二、非参数检验二、非参数检验（二）概率纸检验法（二）概率纸检验法 概率纸是一种判断总体分布的简便工具.使用它们，可以很快地判断总体分布的类型.概率纸的种类很多.如果一个总体的分布 F（X）是正态的，则（x，F（x） ）点在正态概率纸上应呈一条直线.设 X1，X2，Xn是从正态总体中抽得的样本观测值，将它们按大小排列后，记作 X（1）X（2）X（n）.则当 n 较大时，样本的经验分布
18、函数 Fn（x）和理论分布 F（x）很接近.因此，如果用（x，F（x） ）画图，则必应近似为一条直线.返回返回2022-6-5数学建模23统计工具箱中的基本统计命令统计工具箱中的基本统计命令1.数据的录入、保存和调用数据的录入、保存和调用2.基本统计量基本统计量3.常见概率分布的函数常见概率分布的函数4.4.频频 数数 直直 方方 图图 的的 描描 绘绘5.参数估计参数估计6.假设检验假设检验7.综合实例综合实例返回返回2022-6-5数学建模24一、数据的录入、保存和调用一、数据的录入、保存和调用 例例1 上海市区社会商品零售总额和全民所有制职工工资总额的数据如下年份787980818282
19、84858687职工 工 资 总 额（亿元）23.827.631.632.433.734.943.252.863.873.4商品 零 售 总 额（亿元）41.451.861.767.968.777.595.9137.4155.0175.0统计工具箱中的基本统计命令统计工具箱中的基本统计命令2022-6-5数学建模251、年份数据以1为增量，用产生向量的方法输入。 命令格式： x=a:h:bx=a:h:b t=78:872、分别以x和y代表变量职工工资总额和商品零售总额。 x=23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4 y=41.4,51.
20、8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.03、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。 save data t x y 4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数据。 load dataTo MATLAB(txy)2022-6-5数学建模261、输入矩阵：data=78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.02、将
21、矩阵data的数据保存在文件data1中：save data1 data3 3、进行统计分析时，先用命令： load data1load data1 调用数据文件data1中的数据，再用以下命令分别将矩阵data的第一、二、三行的数据赋给变量t、x、y： t=data(1,:) x=data(2,:) y=data(3,:)若要调用矩阵data的第j列的数据，可用命令： data(:,j)To MATLAB(data)返回返回2022-6-5数学建模27二、基本统计量二、基本统计量对随机变量x，计算其基本统计量的命令如下：均值：mean(x)mean(x)中位数：median(x)median
22、(x)标准差：std(x)std(x) 方差：var(x)var(x)偏度：skewness(x) 峰度：kurtosis(x)例例 对例1中的职工工资总额x，可计算上述基本统计量。To MATLAB(tjl)返回返回2022-6-5数学建模28三三、常见概率分布的函数常见概率分布的函数常见的几种分布的命令字符为：正态分布：norm 指数分布：exp帕松分布：poiss 分布：beta威布尔分布：weib 2分布：chi2 t 分布：t F 分布：FMatlab工具箱对每一种分布都提供五类函数，其命令字符为：概率密度：pdf pdf 概率分布：cdfcdf逆概率分布：inv inv 均值与方差
23、：statstat随机数生成：rnd （当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数即可.）2022-6-5数学建模29例例 2 画出正态分布) 1 , 0(N和)2 , 0(2N的概率密度函数图形.在Matlab中输入以下命令：x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z)1、密度函数、密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当mu=0,sigma=1时可缺省)To MATLAB(liti2)如对均值为mu、标准差为sigma的正态分
24、布，举例如下：2022-6-5数学建模30例例 3 3 计算标准正态分布的概率 P-1X1. 命令为：P=normcdf(1)-normcdf(-1) 结果为：P =0.6827To MATLAB(liti3)3、逆概率分布、逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma). 即求出x ，使得PXx=P.此命令可用来求分位数.2、概率分布、概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)例例 4 取05. 0，求21u 21u的含义是：) 1 , 0( NX,PX50），按中心极限定理，它近似地 服从正态分布；二.使用Matlab工具箱中具有特定分布总体的估计命令.（1）muhat,
25、 muci = expfit(X,alpha)- 在显著性水平alpha下，求指数分布的数据X的均值的点估计及其区间估计.（2）lambdahat, lambdaci = poissfit(X,alpha)- 在显著性水平alpha下，求泊松分布的数据X 的参数的点估计及其区间估计.（3）phat, pci = weibfit(X,alpha)- 在显著性水平alpha下，求Weibull分布的数据X 的参数的点估计及其区间估计.返回返回2022-6-5数学建模35六、假设检验六、假设检验 在总体服从正态分布的情况下，可用以下命令进行假设检验.1、总体方差总体方差sigma2已知时，总体均值的
26、检验使用已知时，总体均值的检验使用 z-检验检验 h,sig,ci = ztest(x,m,sigma,alpha,tail)检验数据 x 的关于均值的某一假设是否成立，其中sigma 为已知方差， alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值：tail = 0，检验假设“x 的均值等于 m ”tail = 1，检验假设“x 的均值大于 m ”tail =-1，检验假设“x 的均值小于 m ”tail的缺省值为 0， alpha的缺省值为 0.05. 返回值 h 为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为均值的
27、1-alpha 置信区间.2022-6-5数学建模36 例例7 Matlab统计工具箱中的数据文件gas.mat.中提供了美国1993年一月份和二月份的汽油平均价格（price1,price2分别是一，二月份的油价，单位为美分），它是容量为20的双样本.假设一月份油价的标准偏差是一加仑四分币（s=4），试检验一月份油价的均值是否等于115.解解 作假设：m = 115.首先取出数据，用以下命令： load gas然后用以下命令检验 h,sig,ci = ztest(price1,115,4)返回：h = 0，sig = 0.8668，ci = 113.3970 116.9030.检验结果: 1
28、. 布尔变量h=0, 表示不拒绝零假设. 说明提出的假设均值115 是合理的. 2. sig-值为0.8668, 远超过0.5, 不能拒绝零假设 3. 95%的置信区间为113.4, 116.9, 它完全包括115, 且精度很 高. To MATLAB（liti7）2022-6-5数学建模372、总体方差总体方差sigma2未知时，总体均值的检验使用未知时，总体均值的检验使用t-检验检验 h,sig,ci = ttest(x,m,alpha,tail)检验数据 x 的关于均值的某一假设是否成立，其中alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值：tail = 0，检验假设“
29、x 的均值等于 m ”tail = 1，检验假设“x 的均值大于 m ”tail =-1，检验假设“x 的均值小于 m ”tail的缺省值为 0， alpha的缺省值为 0.05. 返回值 h 为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为均值的 1-alpha 置信区间.2022-6-5数学建模38返回：h = 1，sig = 4.9517e-004，ci =116.8 120.2.检验结果: 1. 布尔变量h=1, 表示拒绝零假设. 说明提出的假 设油价均值115是不合理的. 2. 95%的置信区间为116.8 120.2, 它不包括
30、 115, 故不能接受假设. 3. sig-值为4.9517e-004, 远小于0.5, 不能接受零 假设. To MATLAB（liti8）例例8 试检验例8中二月份油价 Price2的均值是否等于115.解解 作假设：m = 115，price2为二月份的油价，不知其方差，故用以下命令检验h,sig,ci = ttest( price2 ,115)2022-6-5数学建模393、两总体均值的假设检验两总体均值的假设检验使用使用 t-检验检验 h,sig,ci = ttest2(x,y,alpha,tail)检验数据 x ，y 的关于均值的某一假设是否成立，其中alpha 为显著性水平，究竟
31、检验什么假设取决于 tail 的取值：tail = 0，检验假设“x 的均值等于 y 的均值 ”tail = 1，检验假设“x 的均值大于 y 的均值 ”tail =-1，检验假设“x 的均值小于 y 的均值 ”tail的缺省值为 0， alpha的缺省值为 0.05. 返回值 h 为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为与x与y均值差的的 1-alpha 置信区间.2022-6-5数学建模40返回：h = 1，sig = 0.0083，ci =-5.8,-0.9.检验结果:1. 布尔变量h=1, 表示拒绝零假设. 说明提出的 假设
32、“油价均值相同”是不合理的. 2. 95%的置信区间为-5.8,-0.9,说明一月份油 价比二月份油价约低1至6分. 3. sig-值为0.0083, 远小于0.5, 不能接受“油价均 相同”假设. To MATLAB（liti9）例例9 试检验例8中一月份油价Price1与二月份的油价Price2均值是否相同.解解 用以下命令检验h,sig,ci = ttest2(price1,price2)2022-6-5数学建模414、非参数检验：总体分布的检验非参数检验：总体分布的检验Matlab工具箱提供了两个对总体分布进行检验的命令:（1）h = normplot(x)（2）h = weibplo
33、t(x) 此命令显示数据矩阵x的正态概率图.如果数据来自于正态分布，则图形显示出直线性形态.而其它概率分布函数显示出曲线形态. 此命令显示数据矩阵x的Weibull概率图.如果数据来自于Weibull分布，则图形将显示出直线性形态.而其它概率分布函数将显示出曲线形态.返回返回2022-6-5数学建模42例例10 一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障.故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同.工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的.现积累有100次故障纪录，故障出现时该刀具完成的零件数如下： 459 362 624 542 509 584 433
34、 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724
35、 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851试观察该刀具出现故障时完成的零件数属于哪种分布.2022-6-5数学建模43解解 1、数据输入To MATLAB（liti101）2、作频数直方图 hist(x,10) 3、分布的正态性检验 normplot(x)4、参数估计： muhat,sigmahat,muci,sigmaci = normfit(x)（看起来刀具寿命服从正态分布）（刀具寿命近似服从正态分布）估计出该刀具的均值为594，方差204，均值的0.95置信区间为 553.4962，63
36、4.5038，方差的0.95置信区间为 179.2276，237.1329.To MATLAB（liti104）To MATLAB（liti102）To MATLAB（liti103）2022-6-5数学建模445、假设检验To MATLAB（liti105） 已知刀具的寿命服从正态分布，现在方差未知的情况下，检验其均值 m 是否等于594.结果：h = 0，sig = 1，ci =553.4962，634.5038.检验结果: 1. 布尔变量h=0, 表示不拒绝零假设. 说 明提出的假设寿命均值594是合理的. 2. 95%的置信区间为553.5，634.5, 它 完全包括594, 且精度很
37、高. 3. sig-值为1, 远超过0.5, 不能拒绝零假 设. 返回返回2022-6-5数学建模451、某校60名学生的一次考试成绩如下:93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 551)计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；2)检验分布的正态性；3)若检验符合正态分布，估计
38、正态分布的参数并检验参数.2022-6-5数学建模462、据说某地汽油的价格是每加仑115美分，为了验证这种说法，一位学者开车随机选择了一些加油站，得到某年一月和二月的数据如下：一月：119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 109 112 119 112 117 113 114 109 109 118二月：118 119 115 122 118 121 120 122 128 116 120 123 121 119 117 119 128 126 118 1251）分别用两个月的数据验证这种说法的可靠性；2）分别给出1月和2月汽油价格的置信区间；3）给出1月和2月汽油价格差的置信区间.
