1、1 2016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 天津理科数学 1.(2016 天津,理 1)已知集合 A=1,2,3,4,B=y|y=3x-2,xA,则 AB=( ) A.1 B.4 C.1,3 D.1,4 答案 D 由题意知集合 B=1,4,7,10,则 AB=1,4.故选 D. 2.(2016 天津,理 2)设变量 x,y 满足约束条件 - - - 则目标函数 z=2x+5y 的最小值为( ) A.-4 B.6 C.10 D.17 答案 B 如图,作出变量 x,y 满足约束条件表示的可行域 ,为三角形 ABC及其内部,点 A,B,C 的坐标 依次为(0,2),(
2、3,0),(1,3).由图可知,将 z=2x+5y 变形为 y=- x+ ,可知当 y=- x+ 经过点 B时,z 取最小值 6.故选 B. 3.(2016 天津,理 3)在ABC中,若 AB= ,BC=3,C=120,则 AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A 由余弦定理 得 13=9+AC2+3ACAC=1.故选 A. 4.(2016 天津,理 4)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B 依次循环 :S=8,n=2;S=2,n=3;S=4,n=4,满足条件,结束循环 ,输出 S=4.故选 B. 2 5.(201
3、6 天津,理 5)设an是首项为正数的等比数列,公比为 q,则“q0,且 a1)在 R 上单调递减,且关于 x 的 方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,则 a的取值范围是( ) A.( + B.* + C.* + , - D.* ) , - 答案 C 由函数 f(x)在 R 上单调递减,可得 - 解得 a . 当 x0 时,由 f(x)=0得 x0= -1. 3 又a , -12,即 x0(0,2. 如图,作出 y=|loga(x+1)+1|(x0)的图象,由图知当 x0 时,方程|f(x)|=2-x只有一解. 当 x0 时,解得 a1. 又a* +,a* ). 方程有一负根 x0
4、和一零根,则有 x0 0=3a-2=0,解得 a= . 此时 x0+0=2-4a=- f(- )可化为 f(2|a-1|)f( ),则 2|a-1|0,所以 p= . 15.(2016 天津,理 15)已知函数 f(x)=4tan xsin( - ) cos( - ) . (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论 f(x)在区间*- +上的单调性. 6 解(1)f(x)的定义域 为, | -. f(x)=4tan xcos xcos( - ) =4sin xcos( - ) =4sin x( ) =2sin xcos x+2 sin2x- =sin 2x+ (1-cos 2x)-
5、=sin 2x- cos 2x=2sin( - ), 所以,f(x)的最小正周期 T= =. (2)令 z=2x- ,函数 y=2sin z的单调递增区间 是*- +,kZ.由- +2k2x- +2k,得- +kx +k,kZ.设 A=*- +,B=, |- -,易知 AB=*- +.所以,当 x*- +时,f(x)在区间*- +上单调递增,在区间*- - +上单调递减. 16.(2016 天津,理 16)某小组共 10 人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为 1,2,3的人数 分别为 3,3,4,现从这 10人中随机选出 2人作为该组代表参加座谈会. (1)设 A 为事件“选出的
6、2人参加义工活动次数之和为 4”,求事件 A发生的概率; (2)设 X 为选出的 2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量 X的分布列和数学期望. 解(1)由已知,有 P(A)= . 所以,事件 A发生的概率 为 . (2)随机变量 X的所有可能取值为 0,1,2. P(X=0)= , P(X=1)= , P(X=2)= . 所以,随机变量 X的分布列 为 X 0 1 2 P 随机变量 X的数学期望 E(X)=0 +1 +2 =1. 7 17.(2016 天津,理 17)如图,正方形 ABCD的中心为 O,四边形 OBEF为矩形,平面 OBEF平面 ABCD, 点 G 为 AB 的中点,A
7、B=BE=2. (1)求证:EG平面 ADF; (2)求二面角 O-EF-C 的正弦值; (3)设 H 为线段 AF 上的点,且 AH= HF,求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值. 解依题意,OF平面 ABCD,如图,以 O 为原点,分别以 的方向为 x轴、y 轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系,依题意可得 O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(- 1,0,0). (1)证明:依题意, =(2,0,0), =(1,-1,2). 设 n1=(x,y,z)为平面 ADF 的法向量 ,
8、 则 即 - 不妨设 z=1,可得 n1=(0,2,1), 又 =(0,1,-2),可得 n1=0, 又因为直线 EG平面 ADF,所以 EG平面 ADF. (2)易证, =(-1,1,0)为平面 OEF 的一个法向量.依题意, =(1,1,0), =(-1,1,2). 设 n2=(x,y,z)为平面 CEF 的法向量, 则 即 - 不妨设 x=1,可得 n2=(1,-1,1). 因此有 cos= =- , 于是 sin= . 所以,二面角 O-EF-C的正弦值为 . 8 (3)由 AH= HF,得 AH= AF. 因为 =(1,-1,2), 所以 ( - ), 进而有 H(- ),从而 (
9、), 因此 cos= =- . 所以,直线 BH 和平面 CEF所成角的正弦值为 . 18.(2016 天津,理 18)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为 d.对任意的 nN*,bn是 an和 an+1的 等比中项. (1)设 cn= ,nN*,求证:数列cn是等差数列; (2)设 a1=d,Tn= (-1)k ,nN*,求证: . 证明(1)由题意得 =anan+1,有 cn= =an+1an+2-anan+1=2dan+1, 因此 cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2, 所以cn是等差数列. (2)Tn=(- )+(- )+(- - )=2d(a2+a4+a2n)=2d
10、 =2d2n(n+1). 所以 ( - ) ( - ) . 19.(2016 天津,理 19)设椭圆 =1(a )的右焦点为 F,右顶点为 A.已知 ,其中 O为 原点,e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l与椭圆交于点 B(B不在 x轴上),垂直于 l的直线与 l交于点 M,与 y轴交于点 H. 若 BFHF,且MOAMAO,求直线 l的斜率的取值范围. 解(1)设 F(c,0),由 , 即 - ,可得 a 2-c2=3c2, 又 a2-c2=b2=3,所以 c2=1,因此 a2=4. 所以,椭圆的方程 为 =1. (2)设直线 l的斜率为 k(k0), 则
11、直线 l的方程为 y=k(x-2). 9 设 B(xB,yB),由方程组 - 消去 y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0. 解得 x=2,或 x= - , 由题意得 xB= - ,从而 yB= - . 由(1)知,F(1,0),设 H(0,yH),有 =(-1,yH), ( - ). 由 BFHF,得 =0,所以 - =0,解得 yH= - . 因此直线 MH的方程为 y=- x+ - . 设 M(xM,yM),由方程组 - - - 消去 y, 解得 xM= . 在MAO中,MOAMAO|MA|MO|, 即(xM-2)2+ ,化简得 xM1,即 1,解得 k- ,或 k
12、 . 所以,直线 l的斜率的取值范围 为(- - ). 20.(2016 天津,理 20)设函数 f(x)=(x-1)3-ax-b,xR,其中 a,bR. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0),其中 x1x0,求证:x1+2x0=3; (3)设 a0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间0,2上的最大值不小于 . (1)解由 f(x)=(x-1)3-ax-b,可得 f(x)=3(x-1)2-a. 下面分两种情况讨论: 当 a0 时,有 f(x)=3(x-1)2-a0恒成立,所以 f(x)的单调递增区间 为(-,+). 当
13、a0时,令 f(x)=0,解得 x=1+ ,或 x=1- . 当 x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x ( -, ) 1- ( - , ) 1+ ( , ) f(x) + 0 - 0 + 10 f(x) 单调递 增 极大 值 单调递 减 极小 值 单调递 增 所以 f(x)的单调递减区间 为( - ),单调递增区间 为(- - ) ( ). (2)证明因为 f(x)存在极值点 ,所以由(1)知 a0,且 x01.由题意,得 f(x0)=3(x0-1)2-a=0,即(x0-1)2= ,进 而 f(x0)=(x0-1)3-ax0-b=- x0- -b. 又 f(3-2x0)=(2-2x0)3-a(3-2x0)-b= (1-x0)+2ax0-3a-b=- x0- -b=f(x0), 且 3-2x0x0,由题意及(1)知,存在唯一实数 x1满足 f(x1)=f(x0),且 x1x0,因此 x1=3-2x0.所以 x1+2x0=3. (3)证明设 g(x)在区间0,2上的最大值 为 M,maxx,y表示 x,y 两数的最大值.下面分三种情况讨论: 当 a3 时,1- 0 . 综上所述,当 a0 时,g(x)在区间0,2上的最大值不小于 .
