1、第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系专题1直线与圆的位置关系(2015江西重点中学协作体一模,直线与圆的位置关系,选择题,理11)已知两点A(1,2),B(3,1)到直线l的距离分别是,则满足条件的直线l共有()条.A.1B.2C.3D.4解析:A(1,2)到直线l的距离为,直线l是以A为圆心,为半径的圆的切线,同理B(3,1)到直线l的距离为,直线l是以B为圆心,为半径的圆的切线,满足条件的直线l为以A为圆心,为半径的圆和以B为圆心,为半径的圆的公切线.|AB|=,两个半径分别为,两圆外切,两圆公切线有3条.故满足条件的直线l有3条.答案:C专题4空间直角坐标系(2015江西三县部
2、分高中一模,空间直角坐标系,选择题,理9)空间直角坐标系中,点M(2,5,8)关于xOy平面对称的点N的坐标为()A.(-2,5,8)B.(2,-5,8)C.(2,5,-8)D.(-2,-5,8)解析:由题意,关于平面xOy对称的点横坐标、纵坐标保持不变,竖坐标变为它的相反数,从而有点M(2,5,8)关于平面xOy对称的点的坐标为(2,5,-8).答案:C9.5椭圆专题1椭圆的定义及标准方程(2015江西重点中学协作体一模,椭圆的定义及标准方程,选择题,理3)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为()A.=1B.=1C.
3、=1D.=1解析:由题意设椭圆G的方程为=1(ab0).因为椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,所以a=6.因为离心率为,所以,解得c=3.所以b2=a2-c2=36-27=9,则椭圆G的方程为=1.答案:A专题2椭圆的几何性质(2015江西师大附中、鹰潭一中模拟,椭圆的几何性质,选择题,理11)椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析:当点P与短轴的顶点重合时,F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,此种情况有2个满足条件的等腰F1F2P;当F1F2P构成以F
4、1F2为一腰的等腰三角形时,以F2P作为等腰三角形的底边为例,F1F2=F1P,点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上.因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2个交点时,存在2个满足条件的等腰F1F2P.在F1F2P1中,F1F2+PF1PF2,即2c+2c2a-2c,由此得知3ca.所以离心率e.当e=时,F1F2P是等边三角形,与中的三角形重复,故e.同理,当F1P为等腰三角形的底边时,在e且e时也存在2个满足条件的等腰F1F2P.这样,总共有6个不同的点P使得F1F2P为等腰三角形.综上所述,离心率的取值范围是e.答案:D(2015江西重点中学协作体二模,椭圆的几何性质,选择题
5、,理12)已知圆O1:(x-2)2+y2=16和圆O2:x2+y2=r2(0re2),则e1+2e2的最小值是()A.B.C.D.解析:当动圆M与圆O1,O2都相内切时,|MO2|+|MO1|=4-r=2a,e1=.当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时,|MO1|+|MO2|=4+r=2a,e2=.e1+2e2=.令12-r=t(10tb0),由题意得解得a=2,c=1,b=,所以椭圆的标准方程为=1.(2)当直线l与x轴垂直时,B1,B2.又F1(-1,0),此时0,所以以B1B2为直径的圆不经过F1.不满足条件;当直线l不与x轴垂直时,设l:y=k(x-1),由即(3+4k2)x2-8k
6、2x+4k2-12=0.因为焦点在椭圆内部,所以恒有两个交点.设B1(x1,y1),B2(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.因为以B1B2为直径的圆经过F1,所以=0,又F1(-1,0),所以(-1-x1)(-1-x2)+y1y2=0,即(1+k2)x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2=0.所以解得k2=.由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.因为直线l与抛物线有两个交点,所以k0.设A1(x3,y3),A2(x4,y4),x3+x4=2+,x3x4=1,所以|A1A2|=x3+x4+p=2+2=.(2015江西上饶一模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)设椭圆E:=
7、1(ab0),其长轴长是短轴长的倍,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2.(1)求椭圆E的方程.(2)设过右焦点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于P,Q两点,在线段OF2(O为坐标原点)上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)不妨设焦点的坐标是(c,0),则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点坐标为(c,y0),代入=1可得,y0=.因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2,所以2=2.由题意得,a=b,代入上式解得a=2,b=,故所求椭圆方程为=1.(2)假设在线段OF2上存在点M(m,0
8、)(0m1).(1)求椭圆C的方程(用a表示);(2)求三角形F1AB面积的最大值.解:(1)由题意知,椭圆的上顶点为(0,1),下顶点为(0,-1).当B与上顶点(或下顶点)重合时,三角形F1BF2的面积最大.S=2c1=,c=.椭圆C的方程为+y2=1.(2)AB2csin =cABsin (为F2B与x轴正向所成的角).设椭圆的右焦点F2(c,0),直线AB:y=k(x-c)与椭圆联立x2+a2k2(x-c)2=a2,(1+a2k2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2=0.x1+x2=,x1x2=.AB=.S=cABsin=.(1)当a时,S=a;(2)当1ab0)上的点P到左、右
9、两焦点F1,F2的距离之和为2,离心率为.(1)求椭圆的方程.(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点.若y轴上一点M满足|MA|=|MB|,求直线l斜率k的值.是否存在这样的直线l,使SABO的最大值为(其中O为坐标原点)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解:(1)|PF1|+|PF2|=2a=2,a=.e=,c=1.b2=a2-c2=2-1=1.椭圆的标准方程为+y2=1.(2)已知F2(1,0),设直线的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆方程化简得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.x1+x2=,x1x2=,y1+y2=
10、k(x1+x2)-2k=.AB的中点坐标为G.当k=0时,不满足条件;当k0时,|MA|=|MB|,kMG=,整理得2k2-3k+1=0,解得k=1或k=.当k=0时,直线方程为x=1,代入椭圆方程,此时y=,SABO=;当k0时,SABO=|y1-y2|=.kR,k0,41,SABOb0)的离心率为,右焦点为F1,点F1到直线ax+by=0的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点,求证:|PF1|+|QF1|-|PQ|为定值.解:(1),左焦点设为(-c,0),则(-c,0)到直线ax+by=0的距离为d
11、=.,b2+c2=a2.由得a2=9,b2=8.椭圆方程为=1.(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=1.|PF1|=.0x1|EF|=2,动点Q的轨迹是以E(-,0),F(,0)为焦点,长轴长2a=4的椭圆,即动点Q的轨迹方程为+y2=1.(2)依题结合图形知直线l的斜率不为零,设直线l的方程为x=my+n(mR).直线l:x-my-n=0与圆O:x2+y2=1相切,=1得n2=m2+1.又点A,B的坐标满足消去x整理得(m2+4)y2+2mny+n2-4=0,由韦达定理得y1+y2=-,y1y2=.又|AB|=|y1-y2|,点O到直线l的距离d=1.SAOB=d|AB|=
12、|y1-y2|=|n|y1-y2|=2=2.=x1x2+y1y2=(my1+n)(my2+n)+y1y2=(m2+1)y1y2+mn(y1+y2)+n2=,又,令t=1+m2,=,即有t3,6.SAOB=2=2=2.t+,t+6,SAOB,SAOB的取值范围为.9.6双曲线专题2双曲线的几何性质(2015江西重点中学协作体一模,双曲线的几何性质,选择题,理10)点P在双曲线=1(a0,b0)上,F1,F2是这条双曲线的两个焦点,F1PF2=90,且F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是()A.B.C.2D.5解析:设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m-d
13、,m,m+d.则由双曲线定义和勾股定理可知:m-(m-d)=2a,m+d=2c,(m-d)2+m2=(m+d)2,解得m=4d=8a,c=d,a=d,故离心率e=5.答案:D(2015江西南昌十所省重点中学高考模拟,双曲线的几何性质,选择题,理11)以椭圆=1的长轴顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线C,其左、右焦点分别是F1,F2,已知点M坐标为(2,1),双曲线C上点P(x0,y0)(x00,y00)满足,则等于()A.2B.4C.1D.-1解析:因为椭圆方程为=1,所以其长轴顶点坐标为(3,0),(-3,0),焦点坐标为(2,0),(-2,0),所以双曲线方程为=1,|PF1|-|PF2|=4
14、.由,可得,所以MP平分F1PF2.结合平面几何知识可得,F1PF2的内心在直线x=2上,所以点M(2,1)就是F1PF2的内心.故(|-|)1=41=2.答案:A(2015江西新余一中高考模拟,双曲线的几何性质,选择题,理12)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是()A.B.C.D.+1解析:由双曲线的方程可知,渐近线为y=x,分别与x-3y+m=0(m0)联立,解得A,B,AB的中点坐标为.点P(m,0)满足|PA|=|PB|,=-3.a=2b,c=b,e=.答案:A(2015沈阳
15、大连二模,双曲线的几何性质,填空题,理16)已知双曲线C:=1(a0,b0)左、右顶点为A1,A2,左、右焦点为F1,F2,P为双曲线C上异于顶点的一动点,直线PA1斜率为k1,直线PA2斜率为k2,且k1k2=1,又PF1F2内切圆与x轴切于点(1,0),则双曲线方程为.答案:x2-y2=1(2015江西三县部分高中一模,双曲线的几何性质,选择题,理12)如图,F1,F2分别是双曲线=1(a0,b0)的两个焦点,以坐标原点O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A,B两点.若F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为()A.B.2C.-1D.1+解析:连接AF1,F1F2是圆O的直径,
16、F1AF2=90,即F1AAF2.又F2AB是等边三角形,F1F2AB,AF2F1=AF2B=30.因此,RtF1AF2中,|F1F2|=2c,|F1A|=|F1F2|=c,|F2A|=|F1F2|=c.根据双曲线的定义,得2a=|F2A|-|F1A|=(-1)c,解得c=(+1)a,双曲线的离心率为e=+1.答案:D(2015江西重点中学十校二模联考,双曲线的几何性质,选择题,理9)线段AB是圆C1:x2+y2+2x-6y=0的一条直径,离心率为的双曲线C2以A,B为焦点.若P是圆C1与双曲线C2的一个公共点,则|PA|+|PB|=()A.2B.4C.4D.6解析:圆C1:x2+y2+2x-
17、6y=0的半径r=,线段AB是圆C1:x2+y2+2x-6y=0的一条直径,离心率为的双曲线C2以A,B为焦点,双曲线C2的焦距2c=|AB|=2.P是圆C1与双曲线C2的一个公共点,|PA|-|PB|=2a,|PA|2+|PB|2=40.|PA|2+|PB|2-2|PA|PB|=4a2.c=,e=,a=.2|PA|PB|=32.|PA|2+|PB|2+2|PA|PB|=(|PA|+|PB|)2=72.|PA|+|PB|=6.答案:D9.7抛物线专题2抛物线的几何性质(2015沈阳大连二模,抛物线的几何性质,选择题,理8)设F为抛物线C:y2=2px的焦点,过F且倾斜角为60的直线交曲线C于A
18、,B两点(B点在第一象限,A点在第四象限),O为坐标原点,过A作C的准线的垂线,垂足为M,则|OB|与|OM|的比为()A.B.2C.3D.4答案:C专题3直线与抛物线的位置关系(2015江西上饶一模,直线与抛物线的位置关系,选择题,理11)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(-2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若=0,则k=()A.B.C.D.2解析:由抛物线C:y2=8x得焦点(2,0).由题意可知:斜率k存在,设直线AB为y=k(x-2).代入抛物线方程,得到k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,0.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=4+,x1x
19、2=4.y1+y2=,y1y2=-16.又=0,=(x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=+4=0,k=2.答案:D(2015江西师大附中、鹰潭一中模拟,直线与抛物线的位置关系,解答题,理20)已知抛物线E:y2=2px(p0)的准线与x轴交于点K,过点K作圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,切点为M,N,|MN|=.(1)求抛物线E的方程;(2)设A,B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点,且(其中O为坐标原点).求证:直线AB必过定点,并求出该定点Q的坐标;过点Q作AB的垂线与抛物线交于G,D两点,求四边形AGBD面积的最小值.解:(1)由已知可得K,圆C:(x-2)2+y2=
20、1的圆心C(2,0),半径r=1.设MN与x轴交于R,由圆的对称性可得|MR|=.于是|CR|=,即有|CK|=3,即有2+=3,解得p=2,则抛物线E的方程为y2=4x.(2)证明:设直线AB:x=my+t,A,B,联立抛物线方程可得y2-4my-4t=0.故y1+y2=4m,y1y2=-4t.由,可知+y1y2=,解得y1y2=-18或2(舍去),即-4t=-18,解得t=.则有AB恒过定点Q.由可得|AB|=|y2-y1|=,同理|GD|=|y2-y1|=,则四边形AGBD的面积S=|AB|GD|=4,令m2+=(2),则S=4是关于的增函数,则当=2时,S取得最小值,且为88.当且仅当
21、m=1时,四边形AGBD面积的最小值为88.(2015江西新余一中高考模拟,直线与抛物线的位置关系,填空题,理16)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,F关于原点的对称点为P.过F作x轴的垂线交抛物线于M,N两点.有下列四个命题:PMN必为直角三角形;PMN不一定为直角三角形;直线PM必与抛物线相切;直线PM不一定与抛物线相切.其中正确的命题是.(填序号)解析:抛物线方程为y2=2px(p0),焦点为F,则P点坐标为,可求出点M,N.|PF|=,|MN|=p,MPN=90,故正确,不正确;联立直线PM方程与抛物线方程:得x2-px+=0,其判别式=0.直线PM必与抛物线相切,故正确,不正
22、确.综上正确.答案:9.8直线与圆锥曲线专题1轨迹与轨迹方程(2015江西重点中学协作体一模,轨迹与轨迹方程,解答题,理20)设F,点A在x轴上,点B在y轴上,且=2=0.(1)当点B在y轴上运动时,求点M的轨迹E的方程;(2)设点F是轨迹E上的动点,点R,N在y轴上,圆(x-1)2+y2=1内切于PRN,求PRN的面积的最小值.解:(1)设M(x,y),由=2,得点B为线段AM的中点,B,A(-x,0).由=-x+=0,得y2=2x.动点M的轨迹E的方程为y2=2x.(2)设P(x0,y0),R(0,b),N(0,c),且bc,PR直线的方程为y=x+b,整理得lPR:(y0-b)x-x0y
23、+x0b=0.圆(x-1)2+y2=1内切于PRN,可得PR与圆相切,=1.注意到x02,化简得(x0-2)b2+2y0b-x0=0,同理可得(x0-2)c2+2y0c-x0=0,因此,b,c是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两个不相等的实数根,根据根与系数的关系,化简整理可得|b-c|=,由此可得PRN的面积为S=x0=(x0-2)+48,当x0-2=时,即当x0=4时,PRN的面积的最小值为8.专题4圆锥曲线中的存在、探索性问题(2015江西新余一中高考模拟,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题,理20)设点P是曲线C:x2=2py(p0)上的动点,点P到点(0,1)的距离和它到
24、焦点F的距离之和的最小值为.(1)求曲线C的方程.(2)若点P的横坐标为1,过P作斜率为k(k0)的直线交C于点Q,交x轴于点M,过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N,问是否存在实数k,使得直线MN与曲线C相切?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.解:(1)依题意,点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为.1+,解得p=.曲线C的方程为x2=y.(2)由题意直线PQ的方程为y=k(x-1)+1,则点M.联立方程组消去y得x2-kx+k-1=0.解得Q(k-1,(k-1)2).所以得直线QN的方程为y-(k-1)2=-(x-k+1).代入曲线x2=y,得x2+x-1+-(1-k)2=0.解得N.直线MN的斜率kMN=-.过点N的切线的斜率k=2,由题意有-=2.解得k=.故存在实数k=使命题成立.16
