1、1 第七章第七章不等式 推理与证明 7.2 二次一次不等式二次一次不等式(组组)与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 专题 2 与目标函数有关的最值问题 (2015江西重点中学盟校高三第一次联考,与目标函数有关的最值问题,选择题,理 5)实数 x,y 满足若 ty+2x恒成立,则 t的取值范围是( ) A.t13 B.t-5 C.t-13 D.t5 解析:因为(x-2y)(x-2y+6)0,所以-6x-2y0,又 x-y+10,其可行域如图所示,设 z=y+2x,则 y=-2x+z, 由图象可知当 z=y+2x 经过的交点(-2,-1)时,zmin=-5,所以 t-5,故选 B. 答案:B
2、 (2015东北三省四市教研联合体高三模拟一,与目标函数有关的最值问题,选择题,理 10)在如图所示 的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若目标函数 z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则 的最大值是( ) A. B. C. D. 解析:目标函数可化为 y=-x+z,要使目标函数 z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则-=kAC=1,则 a=-1,故.其几何意义为可行域内的点(x,y)与点 M(-1,0)的连线的斜率,可知=kBC=,故选 A. 答案:A (2015辽宁大连高三双基测试,与目标函数有关的最值问题,选择题,理 9)设变量 x,y满足约束条件则 z=-2x+y 的
3、最小值为( ) A.-7 B.-6 C.-1 D.2 解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线-2x+y=0,平移该直线,当平移 到经过该平面区域内的点(5,3)时,相应直线在 y轴上的截距达到最小,此时 z=-2x+y 取得最小值-7,故 选 A. 答案:A (2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,与目标函数有关的最值问题,选择题,理 10)在平面直角 坐标系中,若 P(x,y)满足则当 xy取得最大值时,点 P的坐标是( ) A.(4,2) B.(2,2) C.(2,6) D. 解析:结合图形求解,不等式组对应的平面区域是以点(0,1),(2,6)和(4,2)为
4、顶点的三角形,当 xy取得最 大值时,点(x,y)必在线段 2x+y-10=0,x2,4上,所以 xy=x(10-2x)=-2x2+10x,x2,4,当 x=时,xy取得最 大值,此时点 P,故选 D. 答案:D (2015银川二中高三一模,与目标函数有关的最值问题,选择题,理 4)若实数 x,y满足则 z=x-2y的最 大值是( ) A.-3 B. C. D.- 2 解析:二元一次不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分所示,观察可知当直线 z=x-2y 过点 C 时,z 取得最大值,最大值为.故选 C. 答案:C (2015辽宁东北育才高三第五次模拟,与目标函数有关的最值问题,选择题,理
5、6)设 x,y满足则 z=x+y( ) A.有最小值 2,最大值 3 B.有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值 解析:作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,观察可知,当直线 z=x+y过点 A(2,0)时,z 有最小值,最小值为 2;无最大值,故选 B. 答案:B 7.3 基本不等式及其应用基本不等式及其应用 专题 1 利用基本不等式求最 值 (2015江西八所重点中学高三联考,利用基本不等式求最值,填空题,理 14)已知点 P(x,y)到 A(0,4)和 B(-2,0)的距离相等,则 2x+4y的最小值为 . 解析:由点 P(x,y)到 A(0,4)和 B(-2,0)的距离相等,得点 P 的轨迹是以这两点为端点的线段的垂直平分 线,方程为 x+2y=3,所以 2x+4y2=2=2=4,当且仅当 x=2y=时取等号,所以 2x+4y的最小值为 4. 答案:4
